小样本字典学习的兰姆波模态识别方法∗

李娟娟

(1 山西师范大学 太原 030031)

(2 中北大学 信息探测与处理山西省重点实验室 太原 030051)

0 引言

对厚度尺寸有限的多层板进行兰姆波检测时，因兰姆波频散及多模态特征、多层板边界、噪声等影响，传感器采集的信号包含多个模态的直达波、边界反射波、缺陷波、干扰噪声等，多个波包的混叠使得信号处理变得困难，模态识别技术一直是兰姆波检测技术中的难点。将信号分布和频散曲线叠绘是常用的兰姆波模态识别方法。

基于时间-频率域分布的识别方法是通过时频域分析方法计算得到兰姆波信号的时频域联合分布图，然后结合波导的频散曲线和兰姆波的传播距离计算得到理论时间-频率曲线，最后将信号时频分布和理论时间-频率曲线叠绘在一张图中区分模态。典型的时频域分析方法有短时傅里叶变换［1]、连续小波变换［2−3]、经验模式分解［4−5]、维格纳分布［6−7]等。

基于频率-波数域分布的识别方法是结合兰姆波信号的频率-波数分布图和理论波数频散曲线，二者叠绘进行兰姆波模态识别。由频散特性可知，不同模态波可能在时域、频域上发生混叠，但是每一种模态都遵循独立的频率-波数频散曲线。典型的时频域分析方法有二维傅里叶变换［8−10]、压缩感知技术［11−13]等。

另外，Xu 等［14]将频散兰姆波补偿成为时间轴上不重叠的脉冲来分离模态；Xu 等［15]提出了实现频散补偿和模态分离的位移信号处理技术；Minonzio 等［16]应用奇异矢量分解进行模式分离；张志勇［17]利用人工蜂群算法实现模态分离；Xu等［18]采用crazy-climber 算法提取模态能量脊线重构模态波形；Zhao 等［19]提出基于Vold-Kalman滤波的模态分离方法。

本文提出了一种基于小样本字典学习的兰姆波模态识别方法，模拟不同模态兰姆波传播特定距离后得到的信号，提取走时和小波能量特征作为字典中样本的键、模态和距离作为样本的值［20]；通过字典查询，识别待测兰姆波的模态，估计传播距离；根据小波能量分布估计参数后重构各个模态波信号［21]。

1 基于小样本字典学习的兰姆波模态识别方法

1.1 字典创建

兰姆波可以通过激励信号和待测结构的波数频散曲线进行数值模拟［22]，激励信号作为输入、特定模态兰姆波作为输出，则兰姆波的频域表达式如式(1)所示，系统函数如式(2)所示：

其中，传播距离为r，频率为f，波数为k，兰姆波模态为M；系统函数幅值A(r,f)在激励信号频带范围内变化微小，默认为“1”；Y(0,f)、YM(r,f)、H(r,f)分别表示频域内的激励信号、兰姆波信号、系统函数，KM(f)是该模态的频率-波数频散特性。以“铝-亚克力-铝”(Aluminum-Acrylic-Aluminum plate,AAA)三层复合板为例，铝和亚克力的材料参数如表1所示，每层厚度为2 mm。选取中心频率为250 kHz、周期数为4 的海宁窗调制信号作为激励信号，较窄的频带宽度能够有效地减小频散影响。根据频散分析软件对AAA 板中传播的兰姆波波数频散曲线绘制结果，此时，AAA 板中有A1、S1、A0、S0四种模态同时传播，4 个模态波的时间-距离分布如图1所示，其中斜率代表群速度、发散程度代表频散程度。由图1 可知，S0模态的频散性最差且传播群速度最慢。

图1 AAA 板中兰姆波信号的时间-距离分布Fig.1 Time-distance distribution of Lamb waves in AAA plate

表1 AAA 板的材料参数Table 1 Material parameters of AAA plate

结合AAA 板的波数频散曲线和激励信号，使用数学软件模拟AAA 板中传播的兰姆波并采集保存，其中传播距离设置为100～500 mm、步长为1 mm。各模态波形如图2所示，兰姆波传播距离越远，波包扩展和波形变换等频散现象越严重，其中频散最严重的是S0模态，频散性较好的是A0模态和A1模态。

图2 AAA 板中兰姆波信号的时域波形Fig.2 Time domain waveform of Lamb waves in AAA plate

传播不同距离的各模态兰姆波采集完成后，提取模态M和传播距离r作为字典中样本的键，提取信号走时T和平均小波能量E作为样本的值。其中E［23](平均小波能量，SAP2)的计算过程如式(3)所示，信号能量分布的每个极值点代表一个波包的到达，到达时间用于计算信号走时。

小样本字典创建流程如图3所示，每一个样本在字典中的键为[模态，传播距离]，用[M,r]表示；对应值为[走时，最大小波能量]，用[T,E]来表示。小样本字典中共有1604 个样本，包含传播401 个距离的4种模态的兰姆波信息。

图3 小样本字典创建流程Fig.3 Creation of small sample dictionary

1.2 兰姆波模态识别

字典创建完成后，字典查询就是兰姆波模态识别过程，其流程图如图4所示。

图4 兰姆波模态识别流程Fig.4 Lamb mode identification procession

(1)使用式(3)计算待识别信号的能量分布，提取能量极值点和对应到达时间，多个[Tj,Ej]组合表示多个波包的到达。

(2)使用时间Tj在字典中查询得到字典中存储的最接近走时信号，进而查询得到[Mj,rj]组合。

（1）拥有数量可观的读者群体。全院读者普遍好评清华大学出版社、电子工业出版社以及北京邮电大学出版社的TP类图书。同样，科学出版社的Q类教材和中国人民大学出版社的F类参考书也受到大量读者的青睐。

(3)结合兰姆波检测的仿真设置，判断各个[Mj,rj]组合的合理性。

(4)前3 步实现了单个波包的模态识别，由[Tj,Ej]查询字典后预测的模态和传播距离为[Mj,rj]，接着对该波包进行参数估计用于重构兰姆波，如式(4)所示：

其中，ˆyMj(rj,t)为重构兰姆波，E、yMj(rj,t)分别表示字典中预测信号的小波能量和原信号。

(5)判断残差项是否满足误差条件：残余项的幅值小于原始信号幅值的0.05 倍。若满足，字典查询结束，否则继续执行前4个步骤。

2 兰姆波模态识别仿真验证

使用有限元分析软件模拟兰姆波在AAA 板二维模型中的传播，仿真设置如图5所示，其中“A”表示兰姆波激励点，“T”表示兰姆波采集点。激励信号是垂直入射的，即沿x3方向添加集中力载荷。通常高阶模态的振动位移会远远小于低阶模态，因此，AAA 板中主要有A0、S0两种模态同时传播，两种模态的直达波传播距离为0.3 m，反射波传播距离为0.5 m。

图5 仿真设置模型Fig.5 Simulation model

图6(a)显示了“T”点采集到的兰姆波信号，使用式(3)计算得到该信号的小波能量分布如图6(b)所示，两个能量极值点能够清晰看到。根据兰姆波的位移分布理论可知，反对称的振动位移以面外位移为主，对称S模态的振动位移以面内位移为主，因此传感器采集到的信号中A模态的位移要远大于S模态，可初步判断这两个波包是关于A0模态的直达波和边界反射波。两个波包到达时间和小波能量组合是[120 µs,0.1763]和[196 µs,0.07852]。

两个[Tj,Ej]组合，[120 µs,0.1763]和[196 µs,0.07852]，按照图4所示流程查询字典后得到组合如表2所示，分别找到两组走时最接近的[Mj,rj]组合。根据图5 的仿真设置条件，A0模态直达波和反射波的传播距离分别是0.3 m、0.5 m，可以判断[A0,0.299 m]和[A0,0.5 m]的查询结果较为合理，由此可得图6(b)中两个波包的模态识别结果分别是传播距离为0.299 m 的A0模态直达波、传播距离为0.5 m的A0模态反射波。

表2 第一轮字典查询结果Table 2 The first round of dictionary search

图6 待识别兰姆波信号Fig.6 Lamb waves received by sensor

模态识别完成后，根据式(3)计算得到A0模态直达波和反射波的参数估计值是0.6569 和0.6938，使用该系数分别乘以字典中存储的0.299 m 和0.5 m 的A0模态波重构这两个波包信号，如图7所示。

图7 第一轮查询重构信号Fig.7 The first round of reconstruction

关于A0波的模态识别和信号重构完成后，得到的残余项信号如图8(a)所示，残余项的小波能量分布如图8(b)所示，两个波包的[Tj,Ej]值分别是[143 µs,0.007651]和[226 µs,0.003065]，这两个波包是关于S0模态的直达波和反射波。

图8 第一轮查询后残余项Fig.8 Remaining item after the first reconstruction round

两个[Tj,Ej]组合，[143 µs,0.007651]和[226 µs,0.003065]，按照图4所示流程查询字典后得到组合如表3所示。根据图5的仿真设置条件，S0模态直达波和反射波的传播距离分别是0.3 m、0.5 m，可以判断[S0,0.307 m]和[S0,0.491 m]的查询结果较为合理，由此可得图7(b)中两个波包的模态识别结果分别是传播距离为0.307 m 的S0模态直达波、传播距离为0.5491 m的S0模态反射波。

表3 第二轮字典查询结果Table 3 The second round of dictionary search

S0模态直达波和反射波的参数估计值分别为0.7583、0.8078，两个波包的重构信号如图9所示。

图9 第二轮查询重构信号Fig.9 The second round of reconstruction

仿真设置图5 中接收点T收到的信号：传播距离为0.3 m的A0直达波、传播距离为0.5 m的A0反射波、传播距离为0.3 m 的S0直达波、传播距离为0.5 m的S0反射波。基于小样本字典学习的模态识别结果：传播距离为0.299 m 的A0直达波、传播距离为0.5 m 的A0反射波、传播距离为0.307 m 的S0直达波、传播距离为0.491 m 的S0反射波。综上所述，基于小样本字典学习的兰姆波模态识别结果与仿真设置基本一致的。

3 结论

本文分析了基于小样本字典学习的兰姆波模态识别原理和实现流程，将AAA 板频散特性看作一个线性时不变系统，激励信号作为系统输入，不同模态的兰姆波传播特定距离后得到的信号作为系统输出，建立字典，其中键是模态和距离的组合，值是走时和小波能量的组合；获取待测兰姆波信号的走时和能量分布，通过查询字典，得到对应的模态和传播距离，从而识别兰姆波模态，根据能量分布估计参数后重构各模态信号。对AAA 板中传播距离为0.3 m、0.5 m 的A0、S0模态直达波和反射波进行了模态识别，识别结果准确，并能够准确地重建各个波包信号，验证了该模态识别方法的可行性。

致谢衷心感谢中北大学韩焱教授对我的学术指导。