不动点集为Dold流形P（2，3）的对合

孟成芳， 李 倩， 谢世伟

（1.河北师范大学 数信学院，河北 石家庄 050024；2.张家口市第一中学 数学组，河北 张家口 075000；3.石家庄职业技术学院 管理系，河北 石家庄 050081）

设Mn是一个未定向的光滑闭流形，T∶M→M是微分同胚，且T2∶M→M是恒同映射，称T为M的光滑对合，记作（Mn，T）.F ＝ ｛x∈ M｜T（x）＝x｝称为（Mn，T）的不动点集.

如果存在光滑闭流形（Bn＋1，T），使得（Mn，T）与（Bn＋1，T）等变微分同胚，则称对合（Mn，T）协边.如果 （Mn1∪ Mn2，T）协 边，称 （Mn1，T）协 边 于（Mn2，T）.所有的带对合的光滑闭流形可以按照协边分成不同的等价类.

问题：给定一个光滑闭流形F，是否存在光滑闭流形M及其非平凡的对合T，使T的不动点集为F，进而能否决定以F为不动点集的所有对合流形（M，T）的等变协边类？

上述问题是协边理论中的一个重要问题，在20世纪60年代由Steenrod提出.近年来，很多学者对其做了深入的研究，得到了很好的结果［1－4］.

本文研究不动点集F为Dold流形P（2，3）的情况.在这一情况下，不动点集的法丛更加复杂，计算量更大.

定理1 设（M8＋k，T）是一个8＋k维光滑闭流形，T是光滑非平凡对合，T在M 上的不动点集为F ＝P（2，3），k＞0，则对合（M，T）协边于零.

本文综合利用微分周期映射、示性类理论的证明方法，通过构造合适的对称多项式，借助文献［5］的Kosniowski－Stong公式，否定对合流形的存在，或者通过计算示性数得到对合协边.

1 预备知识

设（Mn，T）是一个带有光滑对合T的光滑闭流形，T 在M 上的不动点集F ＝∪Fn－k，其中，Fn－k是不动点集F的n－k维分支的并.λk为Fn－k在Mn中的法丛.由文献［6］知，带有对合的流形（Mn，T）的协边类由它的不动点集（Fn－k，λk）的法丛的协边类决定.

引理1［5］设f（x1，…，xn）是Z2上的任意对称多项式，它的次数deg（f（x））≤n，则有示性数公式：f（x1，…，xn）［Mn］＝其 表达式中的多项式可用基本对称多项式σi（x），σi（y），σi（z）表 示.分 别 用 Mn，λk，Fn－k的 第i 个Stiefel－Whitney 类 ωi（Mn），ωi（λk），ωi（Fn－k）代 替σi（x），σi（y），σi（z）后，等式两边得到上同调类分别在基本同调类上作用的值.

引理2［5］设σi（x1，…，xk，xk＋1，…，xk＋n）是k＋n个变元的第i个基本多项式∑xj1xj2…xji，则

令P（m，n）表示Dold流形，它是通过把Sm×CP（n）的元素（x，z）与（－x，¯z）粘合而得到的m＋2n维流形，其中Sm表示m维球面，CP（n）表示n维复射影空间，表示z的共轭元，则它的模2上同调环［7］H＊（P（m，n）；Z2）＝Z2［a，b］／（am＋1＝bn＋1＝0）.其中，a∈ H1（P（m，n）；Z2），b∈ H2（P（m，n）；Z2）是生成元.它的全Stiefel－Whitney类ω（P（m，n））＝（1＋a）m（1＋a＋b）n＋1.设λ→P（m，n）是P（m，n）上的任意向量丛，文献［8］给出了它的全Stiefel－Whitney类.

引理3［8］设P（m，n）是一个m＋2n维Dold流形，则在P（m，n）上存在向量丛，其Stiefel－Whitney示性类为：（1）1＋a＋b＋a2，m＝2，n≥1；（2）（1＋a＋b＋a2）2，m＝4，5，n≥2；（3）（1＋a＋b＋a2）2（1＋a＋b）＋a6，m＝6，n≥1；（4）1＋a2b3，m＝2，n＝3.于是，P（m，n）上的任意向量丛的全Stiefel－Whitney示性类都可表示为这些类与类1＋a和1＋a＋b的积，其中，a∈H1（P（m，n）；Z2）和b∈H2（P（m，n）；Z2）是生成元.

2 F＝P（2，3）的情形

若（M8＋k，T）是一个光滑闭流形，T是M 上的光滑对合，对合的不动点集为F＝P（2，3），k＞0.令λ→F是F 在M 中的法丛.设a∈H1（P（2，3）；Z2）和b∈ H2（P（2，3）；Z2）是生成元，则P（2，3）的全Stiefel－Whitney类ω（P（2，3））＝ （1＋a）2（1＋a＋b）4＝ （1＋a）2，由引理3知，λ的全Stiefel－Whitney示性类的形式为：ω（λ）＝ （1＋a）g（1＋a＋b）h，g，h为非负整数；或者ω（λ）＝ （1＋a＋a2＋b）（1＋a）u（1＋a＋b）v，u，v为非负整数；或者ω（λ）＝ （1＋a2b3）（1＋a）s（1＋a＋b）t，s，t为非负整数.示性数a2b3［P（2，3）］＝1.

2.1 ω（λ）＝ （1＋a）g（1＋a＋b）h 的情形

引理4 若h为偶数，则对合（M，T）存在，且协边于零.

证明因为h是偶数，ω（P（2，3））＝ （1＋a）2，ω（λ）＝（1＋a）g（1＋a＋b）h，所以在计算示性类时，所有项中都不会出现a2b3，于是对任何次数小于8＋k的对称多项式f（x），都有0，所有对合（M，T）存在.又由于对合（M，T）的法丛的所有Stiefel－Whitney示性数全为零，因此，对合（M，T）协边于零，故引理获证.

引理5 若h为偶数，g为奇数，则对合（M，T）不存在.

证明利用反证法.假设h与g均是奇数时，对合（M，T）存在.此时因为g＋2h≥3，所以k≥3.

情况1 当时，由引理2知取因 为 deg（f（x））＝ 8 ＜8＋k，故f（x）［M］＝0.根据引理1，

从而推出矛盾.

情况2 当时，由引理2知取因为deg（f（x））＝8＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但依据引理1，

从而推出矛盾，综合情况1与情况2，引理5获证.

引理6 若h为奇数，g为偶数，则对合（M，T）不存在.

证明用反证法.假设h为奇数，g为偶数，对合（M，T）存在，此时，因为g＋2h≥2，所以k≥2.由引理2知因为deg（f（x））＝8＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但依据引理1，f（x）［M］＝

从而推出矛盾，引理6获证.

2.2 ω（λ）＝ （1＋a＋a2＋b）（1＋a）u（1＋a＋b）v的情形

引理7 若v为偶数，u为偶数，则对合（M，T）不存在.

证明用反证法.假设v为偶数，u为偶数时，对合（M，T）存在，由引理2知，

从而推出矛盾.引理7获证.

引理8 若v为偶数，u为奇数，则对合（M，T）不存在.

证明用反证法.假设v为偶数，u为奇数时，对合（M，T）存在，由引理2知取因为deg（f（x））＝8＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但根据引理1，

从而推出矛盾.引理8获证.

为了便于分类.以下计算按

ω（λ）＝（1＋a＋a2＋b）（1＋a）u（1＋a＋b）v＝（1＋a2b＋b2）（1＋a）u（1＋a＋b）v－1来进行.

引理9 当v是奇数时，对合（M，T）不存在.

证明

情况1 当u为奇数时，由引理2知，

σ1取.因为deg（f（x））＝6＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但根据引理1，

从而推出矛盾.

情况2 当u为偶数时，由引理2知.

σ2（1＋y，z）＝取f（x）＝1＋因为deg（f（x））＝4＜8＋k，故f（x）［M］＝0.但根据引理1，

即可推出矛盾.综合情况1与情况2，引理9获证.

引理10 当u为奇数时，对合（M，T）存在且协边于零.

证明由于ω（P（2，3））＝1＋a2，ω（λ）＝（1＋a2b＋b2）（1＋a）u（1＋a＋b）v－1，因为v－1是偶数因此，此时有ω（λ）＝ （1＋a2b＋b2）（1＋a）u.这种情况下，在示性类中不会出现a2b3项，则对合存在且协边于零.

2.3 ω（λ）＝ （1＋a2 b3）（1＋a）s（1＋a＋b）t 的情形

引理11 若t为偶数，则对合（M，T）不存在.

证明当t为偶数时，假设对合存在，取f（x）＝1，因为 deg（f（x））＝ 0 ＜ 8＋k，故f（x）［M］＝0.但根据引理1，有f（x）［M］＝

即可推出矛盾，引理11获证.

引理12 若t为奇数，则对合（M，T）不存在.

证明利用反证法.假设s，t都为奇数时，对合（M，T）存在.

情况1 当时，由引理2知，

情况2 当时，由引理2知，取即可推出矛盾.

综上，引理12获证.

引理13 若t为奇数，s为偶数，则对合（M，T）不存在.

证明利用反证法.假设t为奇数，s为偶数时，对合（M，T）存在.由引理2知，

综合以上引理，得到定理2.

3 结论

定理2 设（M8＋k，T）是一个8＋k维光滑闭流形，T是M 上的光滑对合，对合作用的不动点集为F＝P（2，3），则对合（M，T）协边于零.

［1］吴振德.不动点集为Dold流形P（2 m，2n）的带有对合的流形［J］.数学学报，1998（1）：72－82.

［2］刘秀贵.不动点集为Dold流形P（2 m＋1，2n＋1）的对合 ［J］.数学年刊，2002（6）：779－788.

［3］刘秀贵.不动点集为Dold流形P（2 m，2n＋1）的对合 ［J］.四川大学学报，2003（5）：795－797.

［4］丁雁鸿，赵彦，李珊珊.不动点集为P（2m，2l＋1）∪P（2m，2n＋1）的对合 ［J］.数学学报，2008，51（5）：971－978.

［5］KOSNIOWSKI C，STONG R E.Involutions and Characteristic Numbers［J］.Topology，1978（17）：309－330.

［6］CONNER P E.Differentiable Periodic Maps（2nd ed）［M］.Berlin and New York：Lecture Notes in Math，1979：738.

［7］FUJII M，YASUI T.Ko－cohomologies of Dold Manifold［J］.Math J，1973（16）：55－84.

［8］STONG R E.Vector Bundles over Dold Manifolds［J］.Fundamenta Mathematicae，2001（169）：85－95.