指数函数不等式的教学注记

姜 雄，丛 静

(辽宁科技学院 基础部，辽宁 本溪 117004)

1 问题的提出

对于自然科学和工程技术来说，高等数学是其理论研究的重要工具，它在工程技术、信息科学、经济管理等各个领域都有着广泛的应用。高等数学是学习自然科学的基础，该课程所教授的基本概念、基本理论和基本方法是构成学生科学素养的重要组成部分，所以熟悉高等数学知识间的内在联系，有助于提高学生的逻辑思维能力，更有助于提高学生用数学方法分析问题和解决问题的能力，为进一步学习各专业课程打下基础。

在高等数学教学过程中，常常用到许多教学方法，诸如联想法、比较法、构造法等，在指数函数不等式的讲解过程当中，灵活性教学方法显得尤为重要。下面以指数函数不等式为例，来展示高等数学教学过程中的教学方法。

指数函数不等式，在学生的专业课程和生产实践中有非常广泛的应用，通过研究它的产生过程，探究它的证明过程和应用条件，从高等数学教学角度来揭示它们的内在联系，对于培养学生对科学的探索精神，有着十分重要的意义。

xε<1+ε(x-1)〔1〕

(1)

式(1)中：x为任意正数，0<ε<1为任意真分数。

化成：

(2)

化成：

(3)

(4)

2 指数函数不等式的来源

3 指数函数不等式的应用

通过上述对指数不等式的了解，在高等数学教学过程中，可以对指数不等式进行进一步地运用。

3.1 指数函数的极限形式

3.2 将ex展开成x的幂级数

关于ex的展开，高等数学教材一般采用泰勒展开，这里不妨变换另一种形式，运用指数不等式进行展开。

定理：f(x),g(x)在(0,x)上恒正，且M=max(g(x))，则有：

对于ex<1+xex，两边同时求均值，并且运用定理得：

对上式两边继续按上面方法求值，得：

因此，当x>0时，有：

当x<0时，可以得到：

如果写成：

(5)

当x无限增大时，式子(5)引起的误差因此消失，所以对于任意x：

3.3 在复变函数下的展开与应用

指数不等式不仅运用在高等数学教学中，也可以直接应用在复变函数的教学中。

3.3.1ez的展开

由z代替x：

∴En+m(z)-En(z)=Rm(z)。

令|z|=ξ，则：

3.3.2eα·eβ=eα+β的证明

令α与β是两个任意复数，且|α|+|β|=γ。

所以，En(α)En(β)=En(α+β)+εδ(|ε|<1)。

当n→∞时，δ→0，则有：

eα·eβ=eα+β。

3.3.3 欧拉公式的证明

令z=x+iy(x,y为实数)，因为eα+β=eα·eβ,有：

=ex(cosy+isiny)，这就是欧拉公式。

高等数学课程是工科各专业的基础课程，为了培养高素质、创新性的工科人才，需要教师不断地深化教学内容、改进教学方法，引导学生更好地思考和探索数学知识之间的联系，提高学生运用数学方法分析问题和解决问题的能力，使之成为符合新时代要求的高素质人才。