基于SD振子的弹簧支撑模型隔振特性实验研究

王翠艳　杨小鑫　陈恩利

（石家庄铁道大学1）　河北石家庄　050043　天津市地下铁道集团有限公司2）　天津　300384）

基于SD振子的弹簧支撑模型隔振特性实验研究

王翠艳1）杨小鑫2）陈恩利1）

（石家庄铁道大学1）河北石家庄050043天津市地下铁道集团有限公司2）天津300384）

建立支撑系统的力学模型，在对其运动微分方程进行动力学仿真计算基础上设计制作与力学模型相对应的实验装置，确定实验装置的力学参数，制订可行的实验方案；应用数学分析和实验分析相结合的方法对支撑系统在一定频率范围和不同激励幅值下的隔振特性进行了初步探究，发现系统存在较好的隔振效果，为此类支撑系统应用到工程实际提供一定的理论依据和实验验证。

非线性隔振支撑系统动力学实验

随着现代科技的发展，人们对环境的要求越来越高，对振动进行有效的控制和隔离的呼声也越来越高，振动隔振问题在工程实际和日常生活中引起越来越多的关注。SD振子是曹庆杰等在浅曲拱模型的基础上对其进行了拓展，于2006年提出的一种具有光滑不连续特性的新的非线性动力学系统，由于其几何非线性的特性使系统具有产生非线性现象的特征一类强非线性系统，当SD振子的光滑参数a发生变化时，振子系统会呈现出光滑和非连续特征[1-3]。同时，SD振子具有典型的几何非线性特性和在平衡位置具有负刚度特性，文中所述含有 SD振子的弹簧支撑系统是是正负刚度元件结合且具有可调参数的一种在有限范围内提供低频隔振的无源隔振系统，系统具有高的支撑能力的同时具有较低的隔振频率，工程中许多减振机构具有该系统特性，因此研究支撑系统的隔振特性具有一定的实际意义。强非线性系统的研究成为非线性研究领域的重点与难点之一，技术人员们越来越关注利用实验的方法研究非线性动力学的各种特征[4-7]。关于基于SD振子的支撑模型，现有文献对其非线性特性做出了一系列初步的探究，但是没有发现文献对支撑模型的理论进行过实验验证[8-9]。本文应用数学分析和实验分析相结合的方法对支撑系统减振特性进行研究，为支撑模型的进一步研究提供更加可信的证据，使其在通往工程实际的道路上迈出坚实的一步。

1　模型建立

SD振子的动力学模型是由一对可以自由拉伸和压缩的线性弹簧和一个质量块组成，线性弹簧通过铰接的方式联接，其联接端可以自由转动。虽然弹簧具有线性特征，但是通过几何配置可以获得具有非线性特性的支撑模型。本文支撑系统的动力学模型如图 1所示，其主体是由两根相同的斜支弹簧，一根竖直（Z向）方向支撑弹簧和与弹簧相连接的质量振子构成，两根斜支弹簧关于竖直（Z向）弹簧对称分布，三根弹簧共同组成支撑系统，质量块为需要支撑的重物。

图1　支撑系统动力学模型

m为系统质量块的质量，单位为kg。1k为斜支弹簧的刚度，2k为竖直弹簧的刚度，单位均为N/m。l为斜支弹簧原长，单位为m。考虑系统阻尼，该系统的动力学方程为

其中“×”代表Z对时间t的导数，单位为m/s；在Z方向上竖直弹簧在原点O以上的自然长度为hd+，单位为m；c为系统的阻尼系数；A表示振动幅值；w表示激励频率。显然，该系统具有无理恢复力和强非线性特征,属于强非线性系统[13]。令

可得系统（1）的无量纲化方程

2　系统隔振性能探究

在弹性范围内刚度是元件载荷与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力[10]。以机械弹簧为例，假设弹簧变形量为xD 时所受载荷增量为FD，即使其产生单位变形的外力，所以该弹簧的刚度为

对刚度概念进行扩充，使其成为广义下的刚度，即元件所受到的载荷增量 Fd和变形量 xd的比值，所以

由上面的刚度的定义得到系统的无量纲的变刚度函数为

对系统进行分析后可以把该刚度函数分解称为两部分，分别是斜支弹簧刚度k1((X))，支撑弹簧刚度k2((X))，二者满足关系

系统中正负刚度元件的受力关系如图2所示，其中f((x))为系统受的总的恢复力曲线，f 1((x))，f2((x))为斜支弹簧和支撑弹簧恢复力曲线。分析可知，当系统正刚度元件受载荷发生变形时，负刚度元件可以对其进行一定程度的补偿，使系统的总刚度值 k((X) )维持在很小的数值，由此获得较低的隔振频率，以达到低频隔振的目的。

图2　刚度元件恢复力关系

3　实验方案

（1）实验装置：首先对支撑模型的实验系统的运动方程式。

（2）进行多次计算，并结合实验室设备参数，最终确定了支撑系统数值仿真与实验研究的各个参数：振子质量m=3.4 kg；每根斜支弹簧刚度k1=500 N/m，长度l=0.12 m；竖直弹簧刚度k2=300N/m，长度H=0.2 m；参数a的变化范围为0.5～1.5；激励幅值范围为15～35 mm。在此基础上，设计加工符合系统特性的实验模型，实现数学微分方程到实际物理模型的转化。如图3所示。

（3）位移采集系统：实验系统主要由以电动振动实验系统为主的激振系统，以激光位移传感器为主的测量系统，以信号采集仪器为主的信号采集系统三个部分组成[12]。实验开始时，质量块在平衡位置处于静止状态。当系统运动状态稳定后开始采集实验数据，同组参数下的实验数据要在相同的环境下一次采集完成，最后对所采集到的实验数据进行分析处理，得到实验结果。

图3　支撑系统实验装置

4　隔振性能实验探究

由图4可知，三组不同参数条件下，在一定的频率范围内支撑系统有较好的隔振效果，并且在此范围内，系统的响应峰峰值随频率的增加而减小，且位移响应峰值比垂直支撑的线性系统峰值小；由图5所知，激励幅值对隔振性能有较大影响，在三组参数条件下，系统响应位移峰峰值都是随着激励幅值的减小而减小，即相同支承条件下支撑系统位移响应峰值随着振幅的减小而减小，且其峰值小于垂直支撑时的线性系统。

图4　不同a时激励频率对位移响应影响

图5　不同a时激励频率对位移响应影响

5　结语

本文阐述了系统线性弹簧在几何非线性配置下产生负刚度的特性，以及利用正负刚度结合的方法产生隔振效果的工作原理，对文中支撑系统的负刚度特性在隔振中的应用进行分析。经实验初步研究得到在相同支撑条件下，支撑系统位移响应峰值随着振幅的减小而减小；在一定的频域范围内，系统的响应峰峰值随频率值的增加而减小，且位移响应峰值小于垂直支撑的线性系统，说明文中系统有一定的隔振效果。

[1]曹庆杰, Wiercigroch M,Pavlovskaia E E, 等. SD振子，SD吸引子及其应用[J]. 振动工程学报, 2007, 20(5): 454-458.

[2]Tian R L, Cao Q J, Yang S P. The codimention-two bifurcation for the recent proposed SD oscillator[J]. Nonlinear Dynamics, 2010, 59(2): 19-27.

[3]Tian R L, Cao Q J, Li Z X. Hopf bifurcations for the represently proposed smooth and discontinuous oscillator[J]. Chin Phys Lett, 2010, 27(7): 074701.

[4]RAMLAN R, BRENNAN M J, MACE BR, et al. Potential benefits of a non-linear stiffness in an energy harvesting device[J]. Nonlinear Dynamics , 2010, 59(4): 545-558.

[5]王龙. 运载火箭C型结构减振系统动力学设计[D]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2011.

[6]周桐, 范宣华, 田光明, 等. 仪表板结构非线性振动特性的试验分析[J]. 机械工程学报, 2008, 44(8): 40-44.

[7]张红星, 张伟, 姚明辉, 等. 粘弹性传动带非线性振动实验研究[J]. 动力学与控制学报， 2007, 5(4): 361-364.

[8]MOFFAT R L, Gaukroger D R.Air bags as flexible supports in ground resonance testing of aircraft[J]. ARC, Current Paper, 1950: 32.

[9]BELEBDEZ A, HERNANDEZ A, BELENDEZ T, et al. Application of He’s homotopy perturbation method to the Duffing-harmonic oscillator[J]. Int J Non-linear Sci Numer Simulat, 2007, 8(1): 79-88.

[10]倪振华. 振动理论[M]. 西安:西安交通大学出版社, 1990.

[11]满楠, 张新娜, 李东升. 空气弹簧隔振系统试验研究与性能分析[J]. 噪声与振动控制, 2010, 04: 89-92.

Experimental Research on Isolation Characteristics of the Spring Supporting Model Based on SD Oscillators

WANG Cui-yan1)YANG Xiao-xin2)CHEN En-li1)
( Shijiazhuang Tiedao University1)ShijiazhuangHebei050043China Tianjin Metro Group Co. Ltd2)Tianjin300384China)

The mechanics model of support system is established. Based on numerical analysis, the corresponding supporting system of the mechanical model is designed and built. Then the mechanical parameters of the experimental apparatus are determined, and feasible experimental scheme is established. By the application of numerical and experimental analysis, the nonlinear and vibration-reduction characteristics of this model under different excitation frequency and amplitude are given a preliminary research. The results show that the system has good vibration isolation effect, which provides theoretical and experimental basis for the application of the supporting system in vibration-reduction engineering.

nonlinearisolationsupporting systemdynamic experiment

文献标识码：A文章编号：1673-1816(2015)04-0062-06

2015-10-14

王翠艳（1979-），女，江苏人，工程师，研究方向载运工具振动与噪声控制研究，振动测试技术与实验分析。

河北省高等学校科学研究项目(QN2015239)