动态模型全局灵敏度分析及其在汽车前桥结构中的应用

时间：2024-06-19

张凯超，付锐，袁伟，罗耿，贺冰清

（1. 长安大学汽车学院，西安 710064；2. 中国联合网络通信有限公司陕西分公司，西安 710075）

工程结构系统中存在着大量的不确定性分析问题，特别是在复杂的汽车结构系统中，受零部件加工、制造、装配误差，结构中材料分布不均匀及复杂的工作环境等因素的影响，汽车结构系统中不可避免地存在不确定性［1-2］，不确定性分析对于汽车结构系统的分析、设计以及优化等问题有着十分重要的意义。不确定性分析的主要内容包括可靠性分析和灵敏度分析［3-4］：可靠性分析研究结构系统中输入变量不确定性向输出响应的传递问题，也即研究结构系统中输出响应的不确定性特征问题；灵敏度分析通常也被称作重要性分析，研究结构系统中输出响应不确定性向输入变量不确定性的分配问题，也即研究结构系统中输出响应不确定性和输入变量不确定性之间的关系。

目前，在针对灵敏度分析的研究方面，国内外已经有了大量的研究成果［5-7］，其中，SOBOL等［8-9］提出的基于方差的全局灵敏度分析理论因其概念清晰简单、易于理解、具有模型通用性等特点，成为最主流的全局灵敏度分析方法，并且在工程实际中得到了广泛应用，但是该理论只适用于输入变量独立且输出响应为一维变量的模型。对于动态模型的灵敏度分析问题，可以通过时间维度的离散化将其转化为多维输出问题［10-14］，SALTELLI 等［10］建议将多维输出问题转化为单维问题，即依据实际问题定义一个综合的输出响应，然后对这个定义的单个输出响应进行全局灵敏度分析。该方法可以处理一部分工程实际问题，但是还存在一些不能通过这样的转化来解决的问题。CAMPBELL 等［11］提出了一种多维输出情况下的全局灵敏度分析方法，该方法首先利用正交基对多维输出进行分解，然后对分解

式中的正交基系数进行全局灵敏度分析，该方法也被简称为输出分解法。LAMBONI 等［12］对输出分解法进行了补充完善，并定义了一套综合的全局灵敏度指标以反映输入变量对多维输出的综合影响。输出分解法将一个维数较高的多维输出全局灵敏度分析问题，转化为维数较少的多维输出问题，一定程度上简化了多维输出情况下的全局灵敏度分析。GAMBOA等［13］基于输出响应的协方差分解以及高维模型替代定义了一套多维输出情况下的全局灵敏度指标，该方法可以认为是Sobol 基于方差的单维输出全局灵敏度分析的一种拓展，并且该方法与输出分解法具有一定的等价性。分析发现，输出分解法和协方差分解法得到的灵敏度指标反映的是输入变量对多维输出响应的协方差矩阵中的对角元素之和的影响，即只反映了输入变量对多维输出各个分量方差的影响，并不包含多维输出之间的相关性。ZHANG Kaichao 等［14］在多维随机变量不确定性方差量化的基础上，将多维输出响应的不确定性归结为输入变量单独的影响，输入变量之间交叉作用的影响和模型模式不同的影响。

对于动态模型Y=g(X，t)，t∈T=[t1，t2]，工程实际中往往是通过在不同时刻进行采样来近似研究动态模型的不确定性分析问题，当然，也可以通过该方法将动态模型转化为多维输出模型，来实现对动态模型进行全局灵敏度分析。但是依据这样的思路分析得到的结果往往会受到时间t的离散精度的影响，因此，需要针对动态模型的全局灵敏度分析作进一步研究。动态模型随着时间t的变化而变化，本文提出的动态模型基于方差的全局灵敏度分析将动态模型输出响应不确定性影响因素分解为：输入变量单独的影响、模型变化单独的影响、输入变量交互作用的影响、输入变量与模型变化交互的影响。文中对各个不确定性影响因素的内涵进行了详细分析，得到的输入变量灵敏度指标的物理意义解释与一维输出Sobol 基于方差的全局灵敏度分析相同，只多了一维反映模型变化对输出响应不确定性影响的量，因此，计算量方面与Sobol 基于方差的全局灵敏度分析相当，不会造成新的计算难度。

1 Sobol基于方差的全局灵敏度分析

假设所考虑结构系统的输入-输出关系可以由函数Y=g(X)来描述，其中X=(X1，X2，…，Xn)为n维相互独立的输入变量，Y为结构系统的一维输出响应，输入随机变量Xi(i= 1，2，...，n)的概率密度函数表示为fXi(xi)，联合概率密度函数表示为fX(x)。Sobol 基于方差的全局灵敏度分析以输出响应函数的高维模型展开为基础，如式（1）所示［15-17］。

其中

式中：E( · )为期望算子。

在输入变量独立的情况下，对式（1）两边求方差，可得：

其中

式中：Var( · )为方差算子；式（3）右端的各个方差项为部分方差贡献；Vi为主方差贡献，Vi1i2为二阶方差贡献，依此类推。

输入变量Xi的总方差贡献VTi定义为与Xi有关的各阶方差贡献的总和，即：

总方差贡献也可通过式（6）进行计算：

式中：X-i为除Xi以外的所有输入变量组成的向量。

式（3）表明，结构系统响应函数的方差可以分解为每个输入变量的方差贡献及它们之间交互作用的方差贡献。其中，Vi表示输入变量Xi独自变化对输出响应方差的贡献，Vi1i2表示由于响应函数结构关系产生的Xi1与Xi2交互作用对输出响应方差的贡献，依此可以解释高阶的方差贡献。总方差贡献表示输入变量Xi对输出响应方差的总贡献。用式（3）中的部分方差贡献除以无条件方差V，可得到SOBOL 等定义的基于方差的全局灵敏度指标，其中主贡献灵敏度指标（主指标）为：

总贡献灵敏度指标（总指标）为：

主贡献灵敏度指标反映了输入变量Xi单独作用时对输出响应方差的贡献（主影响）。而总贡献灵敏度指标反映Xi对输出响应方差的总贡献（总影响），其中，除了包含Xi单独的贡献外，还包括由于功能函数结构形式而产生的Xi与所有其他变量的交互作用对输出响应方差的贡献。

依据主指标和总指标可以获得输入变量对输出响应不确定性影响的重要性排序，对结构系统的分析设计以及概率安全评估等有着非常重要的指导意义。可以通过忽略重要性程度低的变量达到降低问题维度的目的，工程实际中往往可以大大简化所考虑问题的复杂程度。重点考虑重要性程度高的变量，可以大大改善分析、设计、评估等工程实际问题的效率。

2 动态模型基于方差的全局灵敏度分析

2.1 动态模型方差分解

动态模型随着时间t的变化而变化，从而导致模型输出也随时间的变化而变化，将模型输出随时间的变化定义为模型不确定性，即在动态模型中除了存在输入变量的不确定性外，还存在模型变化引起的输出响应不确定性。动态模型的模型变化不确定性是由时间t的不同取值而引起的，工程实际问题中一般通过对时间t进行均匀的离散化（不同时刻采样）来处理动态模型不确定问题，分析发现这等于将时间t看做[t1，t2]区间上的均匀分布，因此动态模型的模型不确定性可以用时间区间[t1，t2]上的均匀分布变量来t描述，此时，可以得到动态模型输出的方差分解，如式（9）所示。

其中

对比式（4）和式（9）可以发现，这里的方差分解式与式（4）形式上相同，但是需要注意这里的t是动态模型的时间参数，用来描述动态模型的模型不确定性。Vt是模型变化的主方差贡献，它描述模型随时间变化单独作用时对动态模型输出响应方差的影响，实际含义是瞬态输出响应均值随时间变化的变异性。VXi是输入变量Xi的主方差贡献，它是输入变量Xi单独作用时对动态模型输出响应方差的影响。主方差贡献VXi可以作进一步推导，如式（11）所示。

式中：VXi为输入变量Xi对Et(Y)的主方差贡献；Et(Y)为动态模型关于时间的平均模型；VXi，t为输入变量Xi和模型不确定性的二阶交叉贡献，反映Xi和模型不确定性的二阶交叉作用对动态模型输出响应方差的影响，也反映Xi对瞬态输出主效应随时间变化的变异性。

VXi，Xj为输入变量Xi和Xj对动态模型输出响应方差的二阶交叉方差贡献，对其可以进行推导，如式（12）所示。

因此，二阶方差贡献VXi，Xj实际上也是输入变量Xi和Xj对Et(Y)的二阶交叉方差贡献。

动态模型的模型不确定性的总方差贡献定义为式（9）中部分方差与t有关的所有方差贡献的加和，如式（13）所示。

也可通过式（14）进行计算为：

总方差贡献是动态模型的模型不确定性对输出响应方差的总影响，当总方差贡献较小时，表明动态模型随时间t的变化而变化较小。

输入变量Xi的总方差贡献定义为式（9）中部分方差与Xi有关的所有方差贡献的加和，如（15）所示。

也可通过式（16）进行计算。

可以对其作进一步推导，如式（17）所示。

总方差贡献是输入变量Xi对动态模型输出响应方差的总影响，通过式（17）的结论可以发现，实际上也是输入变量Xi对每一瞬时输出响应Y(t)的方差V[Y(t)]的总方差贡献VX(Y(t)) -关于t的平均值。

2.2 准-方差贡献及灵敏度指标

除了以上方差贡献，根据实际问题分析的需要，定义准-方差贡献为：

准-主方差贡献Vi可以作如式（19）所示的推导。

由式（19）可知，Vi包含了主方差贡献VXi和二阶交叉贡献VXi，t，通过式（19）的推导，Vi是输入变量Xi对每一瞬时输出Y(t)的方差V[Y(t)]的主方差贡献VXi[EX-i(Y(t)|Xi)]关于t的平均值。类似的，由式（18）可知，Vij包含了二阶方差贡献VXi，Xj和三阶方差贡献VXi，Xj，t，同时，Vij是输入变量Xi和Xj对每一瞬时输出Y(t)的方差V[Y(t)]的二阶方差贡献关于t的平均值。

输入变量Xi的准-总方差贡献VTi定义为式（9）中所有与Xi有关的变量方差贡献的加和（不包含与t有关的），如式（20）所示。

也可通过式（21）进行计算。

式中：为输入变量Xi对动态模型关于时间的平均模型Et(Y)的总方差贡献。

类似的，全局灵敏度指标定义为方差贡献或准-方差贡献与动态模型输出响应方差V(Y)的比值，其中应用价值最高的是以下5类。

1）与模型不确定性的主方差贡献Vt对应的灵敏度指标St反映模型不确定性对动态模型输出响应方差的主影响，即瞬态输出响应均值随时间变化的变异性；总方差贡献对应的灵敏度指标反映动态模型的模型不确定性，当= 0 时，模型不随时间的变化而变化。

2）与主方差贡献VXi对应的灵敏度指标SXi反映输入变量Xi对动态模型输出响应方差的主影响，也反映Xi对动态模型关于时间的平均模型Et(Y)的主影响。

3）与总方差贡献对应的灵敏度指标反映输入变量Xi对动态模型输出响应方差的总影响，也反映输入变量Xi对每一瞬时输出响应Y(t)的方差V[Y(t)]的总影响的平均。

4）与准-主方差贡献Vi对应的灵敏度指标Si反映输入变量Xi对每一瞬时输出Y(t) 的方差V[Y(t)]的主影响的平均。

5）与准-总方差贡献对应的灵敏度指标反映输入变量Xi对平均模型Et(Y)的总影响。

以上方差贡献和灵敏度指标的具体计算方法与Sobol 方差贡献及灵敏度指标计算完全相同，本文不再赘述。

3 算例分析

车桥通过悬架与车架连接，支承汽车大部份重量，并将车轮的牵引力或制动力，以及侧向力经悬架传给车架［18］。由图1可知，在转向桥中起主要承载作用的是前轴，主要承受弯矩和转矩，作为汽车上重要的安保件，前轴的力学性能要求极高，因此，有必要对其进行灵敏度分析，降低前轴力学性能的不确定性，提高其鲁棒性和可靠性。

工字梁结构由于弯曲强度高且质量轻，所以在前轴设计中得到了广泛应用，如图2 所示，危险横截面位于工字梁部分。最大法向应力和剪切应力分别为σ=M/Wx和τ=T/Wρ，其中，M和T是弯矩和转矩，并且它们是随时间变化的，如式（22）～（23）所示。

图2 工字梁前轴横截面

式中：M0和T0分别为基础弯矩和转矩；z为连续动态因子，取值范围是z∈[0，10]（与正弦和余弦函数一起使用时，以弧度为单位）。

Wx和Wρ分别为截面系数和极截面系数，如式（24）～（25）所示。

为了检验本例中前轴的强度，极限状态函数可以表示为：

式中：σS为屈服极限应力。根据前轴的材料特性，屈服极限应力σS为460 MPa。

工字梁的几何参数a，b，c，h和载荷M0和T0均为独立正态分布变量，分布参数见表1。

表1 汽车前轴模型变量的分布参数

利用本文提出的动态模型基于方差的全局灵敏度分析，研究表1 中前轴模型变量对极限状态函数输出g的不确定性的影响，可以获得主灵敏度指标、总灵敏度指标、准-主灵敏度指标和准-总灵敏度指标，见表2。准-主灵敏度指标Si和总灵敏度指标的柱状图，如图3 所示；主灵敏度指标SXi和准-总灵敏度指标的柱状图，如图4所示。

表2 汽车前轴模型全局灵敏度指标

图3 主灵敏度指标和准-总灵敏度指标

图4 准-主灵敏度指标和总灵敏度指标

根据全局灵敏度分析结果，可以得出以下结论：主灵敏度指标给出的变量重要性排序为T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映变量对平均模型Ez(g)的主影响程度；准-总灵敏度指标给出的重要性排序为T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映变量对平均模型Ez(g)的总影响程度；准-主灵敏度指标给出的重要性排序为T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映变量对每一瞬态输出g(z)的主影响的平均；总灵敏度指标给出的重要性排序为T0＞c＞b＞a＞M0＞h，反映变量对每一瞬态输出g(z)的总影响的平均。Sz≠0 表明g的瞬态均值随着z值的变化而变化；表明模型g随着z值的变化而变化。

依据以上灵敏度分析结果，可以对前轴强度极限状态函数模型参数的不确定性影响关系有一个清晰的认识，本例中不同灵敏度指标反映出来的变量重要性排序基本一致，且其中基础转矩T0较其他变量表现出更大的影响，因此，在前轴的分析、设计中需要重点考虑其不确定性，以有效降低前轴强度的不确定性。