基于多目标优化设计的主动约束层阻尼板振动控制研究

张东东，郑 玲

（重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆，400030）

主动约束层阻尼(Active Constrained Layer Damping，ACLD)技术已被证明是一种有效的减振降噪技术[1-3]，它结合了传统的约束层阻尼技术和主动振动控制的优点，在较宽的频段范围内都能够很好地抑制结构的振动噪声。ACLD采用离散结构时，其布置位置对抑制结构振动具有重要的影响。对ACLD的位置进行优化设计，可以保证在主动控制失效时，仍然有较好的减振降噪效果[4]。目前，采用ACLD技术对结构进行主动振动控制时，对ACLD衬片布置位置的选择多是基于某一单一的性能指标[5-7]。但在工程应用中，ACLD的配置优化问题多为多目标优化问题，要求能够同时有效抑制若干阶模态的振动，且考虑到实际的条件限制，还要求有备选方案。因此，研究基于ACLD衬片多目标优化问题的结构振动控制，是十分必要的。

本文首先基于局部覆盖ACLD片体的悬臂板有限元动力学模型，建立了多目标优化设计模型。然后采用改进的NSGA-II算法对4片ACLD衬片的布置位置进行了多目标优化设计研究，确定了基于Pareto最优解理论的ACLD衬片的布置方案。最后选取3组ACLD衬片的布置方案，基于FxLMS算法设计了前馈控制器，研究了在同一外扰激励下，采用不同的ACLD配置方案时，结构的振动控制效果。

1 ACLD板结构的多目标优化模型

1.1 状态空间模型

采用能量法和Hmilton原理，以及粘弹性材料的GHM模型[8]，建立了部分覆盖ACLD板结构的有限元动力学模型[9]，将其写为状态空间形式。

式中，fd为外激励向量；fc为控制电压；A为系统矩阵；Bd为外激励输入矩阵；Bc为控制力输入矩阵；C为输出矩阵；X为状态变量；Y为输出变量。

对系统矩阵A求解特征值，其特征值为一系列的共轭复数对，ri=αi±jβi，这里，可定义模态损耗因子为

1.2 多目标优化设计模型

2 改进的NSGA-II算法

2.1 NSGA-II算法

NSGA-II是一种基于Pareto方法的多目标进化算法。该算法是Deb[10]等人在非支配排序算法（Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm，NSGA）的基础上改进得到的。由于NSGA-II算法具有算法简单、收敛速度较快和鲁棒性较强的特点，已经成为多目标优化算法的基准算法之一。其基本流程图如图1所示。

2.2 对NSGA-II的改进

本文采用全新的能够处理整形变量的Laplace交叉算子和幂变异算子，对NSGA-II算法进行改进。

2.2.1 Laplace交叉算子

此时，对于子代中第2对变量的取值范围已经发生了改变，更新为

然后，对第2对变量执行交叉算子，得到

类似地进行操作，直到父代中的每对变量执行完交叉操作，得到新的子代个体。

2.2.2 幂变异算子

变异后新个体的表达式为

3 FxLMS控制算法

FxLMS算法是一种易于实现的主动振动前馈控制算法，图2是该算法用于振动主动控制时的原理图。被控对象的控制输出为

滤波器和自适应算法是FxLMS控制器的两个核心组成部分。文中采用了横向滤波器（FIR），其基本原理如图3所示，其输出即为控制器输出

式中，L为滤波器长度。滤波器的权向量w(k)采用LMS自适应算法进行更新。

式中，m为步长。

4 数值算例

以部分覆盖ACLD的悬臂板为研究对象，如图4所示，ACLD板由基层的铝板、粘弹性层的ZN-1型粘弹材料以及约束层的P-5H压电陶瓷组成。各层板的材料参数见表1。约束阻尼板一端约束，形成悬臂板，左端为约束端，将其单元划分4×8个单元，则单元的优化布置区间为[1，32]，单元编号如图4所示。在下述的优化过程中，选取布置4片ACLD衬片。

表1 材料参数

以上述的悬臂板的前两阶损耗因子最大化为优化目标，采用改进后的NSGA-II算法对ACLD衬片的位置多目标优化计算。设置合适的遗传算法参数，达到最大进化代数时结束程序。各个目标的进化历程如图5所示，可以看出大约进化10代左右，各个目标的最大值已经收敛。图5是得到的Pareto前沿，对应的9组ACLD衬片的优化配置方案，即Pareto最优解集，见表2。由图6可知，Pareto前沿近似为一条曲线，但比较分散，这是由于设计变量为一离散的整数空间而导致的。从Pareto最优解集中，挑选4组ACLD的配置，进行振动响应分析，如图7所示。可以看出，采用配置1时，第1阶响应最小，但第2阶的响应最大；采用配置9时，则反之。采用配置3和7时，第1阶振动响应相对于配置9分别下降了5.6 dB和1.9 dB，第2阶振动响应相对于配置1分别下降了6.2 dB和8.8 dB。与配置1和9相比时，配置3和7则能够同时对前两阶的振动响应都具有较好的抑制，其中配置3的控制效果更好。

表2 两目标优化时的Pareto解集及对应的目标函数值

分别选取ACLD衬片的配置1、3和9，基于FxLMS控制算法，建立悬臂板的SISO振动控制系统。此时，ACLD衬片作为作动器，激励点和响应点如图4中的点E。保持FxLMS控制器中横向滤波器的长度L以及步长μ不变，同时，限制控制电压为 100 V，在外激励为 0.1sin(2πf1t)+0.1sin(2πf2t)的激励下，（f1和f2分别为悬臂板结构的第1、2阶模态频率），悬臂板结构控制前后的响应曲线如图8所示。悬臂板第1阶模态的振动能量较第2阶模态的振动能量大，在同样的激励下，第1阶振动响应就比较大。此外，配置9对第1阶的振动抑制较弱，因此，采用优化配置9时，未控制的振动响应大于优化配置1和3。在同样的控制器参数和控制能量下，配置9的振动响应趋于发散，配置1和配置3都能够有效抑制结构的振动，振动响应分别由2.05 mm和2.14 mm衰减到0.25 mm和接近于0 mm。图9是ACLD不同衬片下的振动响应的频域图。在未施加控制时，频响曲线与图7的结果有同样的趋势。配置3对第1阶和第2阶振动响应都能够很好地抑制，配置1则对第1阶振动响应更有效。由此可以看出，采用多目标优化算法，对振动被动控制时的ACLD衬片配置进行优化，并基于此设计振动主动控制器对结构进行主动振动控制时，都能够有效地衰减悬臂板的前两阶振动响应，保证了ACLD技术用于主被动模式时都具有较好的振动抑制效果。

5 结论

本文基于主动约束层阻尼结构的有限元动力学模型，采用改进的NGSA-II算法对ACLD衬片进行了多目标优化设计，并基于优化设计的结果设计了FxLMS前馈控制器，对结构的振动抑制情况进行了仿真分析和研究。结果表明，当ACLD结构工作于被动模式时，采用多目标优化算法得到的ACLD配置能够同时对结构的前两阶振动响应进行较好的抑制；工作于主动模式时，基于优化的ACLD配置设计的控制系统，具有更好的振动抑制效果，这就保证了ACLD技术用于主被动模式时都具有较好的振动抑制效果。

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