基于FOPI+FOPD控制器的单区域电力系统频率控制及电压调节

崔明勇，曹 朋，朱大伟，唐英干，陆 瑶，吕 静

(1.燕山大学 河北省电力电子节能与传动控制重点实验室，河北 秦皇岛 066004；2.燕山大学 电气工程学院，河北 秦皇岛 066004；3.呼和浩特市城市燃气热力集团有限公司，内蒙古 呼和浩特010020)

0 引言

电力系统频率与电压稳定是衡量电能质量的标准，较小的频率偏差和良好的端电压响应是可靠电源的特征。有功功率需求的变化影响频率，而无功功率的变化影响电压。自动发电控制单元包含负荷频率控制与自动电压调节，其中负荷频率控制是保持频率偏差在规定范围内；自动电压调节是通过控制励磁电压将同步发电机的端电压保持在规定的水平[1-2]，故上述两方面的研究对提高电力系统的稳定性起着至关重要的作用。

随着互联电网的发展，电力系统对电压和频率质量的要求越来越高，选择一个性能可靠的控制器显得尤为重要，控制器的选取涉及到两方面的内容，即控制器结构的选取与控制器参数的获取与调整。传统的PID控制器结构简单，易于实现，控制效果较理想，所以在相关控制领域中得到了广泛的应用。但是由于实际电力系统通常具有非线性、时变不确定性、强干扰等特性，应用常规PID控制器难以达到理想的控制效果。随着分数阶微积分理论的发展，在科学与工程领域实现了分数阶PID(Fractional Order Proportional Integral Differential，FOPID)控制器的应用[3-7]。文献[8]指出FOPID控制器比传统PID控制器具有更强的鲁棒性，并且FOPID控制器对非线性过程具有很强的适应性。文献[9]指出单独使用模糊PI控制器在瞬态响应中表现不佳，而单独使用模糊PD控制器在消除稳态误差的能力上表现欠缺，所以可将PI与PD控制器进行级联操作，混合两种控制器的不同特点和优势，能够在干扰传递到系统其他部分之前将其快速抑制。

对于控制器参数的选取与调整，文献[10-13]分别采用遗传算法、粒子群优化算法、细菌觅食优化算法、蚁群算法优化PID控制器参数，这些算法虽能够获得较快的收敛速度，但是可能会出现陷入局部最优的问题，而基于Levy变异的帝国竞争算法相比于传统的帝国竞争算法以及传统的优化算法具有收敛速度快、避免陷入局部最优、寻优精度高等优点[14]。故本文采用基于Levy变异的帝国竞争算法对控制器参数进行优化。

本文在FOPID以及PI+PD控制器的基础上，提出分数阶比例积分(Fractional Order Proportional Integral，FOPI)与分数阶比例微分(Fractional Order Proportional Differential，FOPD)级联的FOPI+FOPD控制器，并将其应用到单区域电力系统负荷频率控制及自动电压调节中。采用基于Levy变异的帝国竞争算法优化控制器参数，在加入负荷扰动以及改变系统参数的情况下，通过与传统PID、FOPID控制器对比分析可以得出，单区域电力系统采用FOPI+FOPD控制器具有更好的稳定性以及鲁棒性。

1 负荷频率控制及自动电压调节

在电力系统中负荷频率控制是指控制有功功率和频率，自动电压调节是指控制无功功率和电压，负荷频率控制与自动电压调节都可以看作是一个简单的闭环控制系统，如图1所示。针对一定的运行条件对负荷频率控制与自动电压调节控制器参数进行设置，并根据负载需求的微小变化，调整汽轮机的进气量以及发电机的励磁，从而可以将频率和电压保持在规定的限值内。

1.1 负荷频率控制模型

负荷频率控制系统是通过调节发电机的调速器，将频率保持在标称范围内，包含4个主要部分：调速器、汽轮机、发电机负荷和控制器。其中调速器、汽轮机、发电机负荷构成主回路，这个主回路不足以获得零稳态误差，因此需要增加一个控制器构成次回路。本文采用FOPI+FOPD控制器，如图2所示。考虑到电网因频率波动会引起汽轮机调速器频繁动作，故设置调速器死区，以保护调速器，延长其使用寿命。调速器死区是一个具有滞后性的非线性问题，其输入与输出的关系为

当函数Y接近正弦关系时，可以用描述函数法将Y用傅立叶级数展开，并取前3项得

其中，各式系数为

其中，ω0是系统角频率，A是系统角频率对应的周期分量幅值，将具有死区的调速器线性化后，其传递函数为

图1 负荷频率控制与自动电压调节示意图Fig.1 Schematic diagram of load frequency control and automatic voltage regulation

图2 负荷频率控制模型Fig.2 Model of load frequency control

1.2 自动电压调节模型

自动电压调节系统是保持发电机端电压恒定的局部闭环控制系统，将电压传感器测得的电压和参考电压之间的误差放大并馈送到励磁回路，通过调节发电机的励磁调整无功功率平衡，保持系统电压在限值之间。自动电压调节系统包括放大器、励磁机、发电机、传感器和控制器，本文同样采用FOPI+FOPD控制器，如图3所示[15]。

图3 自动电压调节模型Fig.3 Model of automatic voltage regulation

1.3 负荷频率控制和自动电压调节组合模型

本文采用的组合模型如图4所示，其中所涉及的系统参数如表1所示，常数增益如表2[16]所示。图4中的ΔPLD为区域负荷波动引起的功率偏差，当出现负荷扰动时，该区域频率会出现偏差，并且端电压也会发生变化，此时整个系统对频率偏差及端电压偏差进行抑制。

表1 系统基本参数Tab.1 Basic parameters of system

表2 常数增益Tab.2 Constant gain

最后通过考察区域内的频率偏差Δf以及系统端电压响应，评判控制系统的稳定性及其动态性能的优劣。

图4 负荷频率控制与自动电压调节组合模型Fig.4 Combination model of load frequency control and automatic voltage regulation

2 FOPI+FOPD控制器设计

2.1 分数阶微积分的定义

现代分数阶微积分计算理论是由Riemann-Liouville和Caputo等人建立与完善的，其中应用最广的是Riemann-Liouville提出的定义：

(1)

其中，a是为初值，β为分数阶微分的阶次。

分数阶控制系统的传递函数可以描述为

(2)

式中，α0<α1<…<αn，β0<β1<…<βm。

2.2 FOPI+FOPD控制器

FOPI+FOPD控制器如图5所示，包含FOPI控制器与FOPD控制器，通过级联方式连接。通过调节FOPI+FOPD控制器的6个参数，使FOPD控制器输出值最小。

图5 FOPI+FOPD级联控制器Fig.5 FOPI+FOPD cascade controller

FOPI+FOPD控制器的微分方程为

u(t)=[(Kp1+KiD-λ)×(Kp2+KdDμ)]e(t)，

(3)

式中，u(t)为控制器输出；e(t)为控制器的误差输入；D为微分算子；Kp1与Kp2为比例增益；Ki、Kd分别为积分系数、微分系数；λ和μ分别为积分阶次、微分阶次。

则FOPI+FOPD控制器的传递函数为

式中，μ>0,λ>0。

根据λ和μ的取值不同，可得到不同形式的FOPI+FOPD控制器。FOPI+FOPD控制器优势明显，可将λ和μ改成任意阶次，比整数阶PID控制器操作灵活，应用更加广泛。

FOPI+FOPD控制器既具有PID控制器的优点，又有单独使用PI控制器与PD控制器时的特征，所以其适用范围更广，操作更加灵活，可调参数更多，具有良好的调节和追踪能力，从而能获得更好的系统性能。FOPI+FOPD控制器既适用于分数阶系统，也适用于传统的整数阶系统。

3 FOPI+FOPD控制器参数优化

本文利用基于Levy变异的帝国竞争算法对FOPI+FOPD控制器参数进行优化。本文将对负荷频率控制器、自动电压调节控制器的参数进行优化，将时间乘误差绝对值积分(Integral of Time multiplied Absolute Error，ITAE)作为目标函数，其结果可反映时域动态响应[17]。

3.1 帝国竞争算法

帝国竞争算法(Imperialist Competitive Algorithm，ICA)是一种基于群体而衍生的智能优化算法[18]，流程图如图6所示。

图6 帝国竞争算法流程图Fig.6 Flow chart of imperialist competitive algorithm

3.2 基于Levy变异的帝国竞争算法

变异是遗传算法和进化算法中的基本算子。本文采用Levy变异算子，从而保证其可覆盖更广的区间范围。Levy变异根据Levy分布产生随机数，在分布关于z=0对称时，其概率密度函数为

(4)

式中，α为控制率密度函数的形状，通常规定范围为0<α<2；γ为尺度缩放因子，γ>0。

在ICA中，帝国集团的搜索过程与优化结果直接相关。由于各个帝国集团的殖民地国家都朝帝国移动，一旦帝国陷入局部最优，其所属的殖民地则有可能陷入局部最优，从而发生早熟现象。同时，种群的分散性也就丢失了。因此本文在帝国上增加变异操作。设P=[p1,p2,…,pNvar]表示帝国，变异过程实现如下:

式中，r为按照Levy分布产生的随机数；k为尺度参数。

变异操作分别针对向量中的各个维度进行，如果解的质量有所提高，则变异成功。为了提高变异的成功率，本文对每一维进行5次变异[19]。

3.3 负荷频率控制与自动电压调节控制器参数优化

3.3.1负荷频率控制器参数优化

首先，将国家表示为向量形式，即P=[Kp1,Kp2,Ki,Kd,λ,μ]，P为FOPI+FOPD控制器的控制参数，并分别对P中的参数设置范围、限定条件。单区域电力系统负荷频率控制的目标函数为

(5)

其约束条件为

负荷频率控制系统采用基于Levy变异的ICA算法得到的性能指标ITAE收敛曲线如图7所示，在FOPI+FOPD控制器参数优化的过程中，采用基于Levy改进的ICA算法相比PSO、ICA算法具有更快的收敛速度以及更高的收敛精度，可以获得更小目标函数值，故基于Levy变异的ICA算法能够提高算法的全局收敛能力以及寻优精度。

图7 负荷频率控制系统在不同算法下的ITAE收敛曲线Fig.7 ITAE convergence curves of load frequency control system under different algorithms

基于Levy变异的ICA算法优化的负荷频率控制器参数如表3。为了与FOPI+FOPD控制器的性能作对比分析，同样采用该算法，得出PID控制器、FOPID控制器的参数记录于表3中。

表3 负荷频率控制器参数Tab.3 Load frequency controller parameters

3.3.2自动电压调节控制器参数优化

在自动电压调节系统中，同样采用基于Levy变异的ICA算法求解以式(6)为目标函数的最优的FOPI+FOPD控制器参数，得到最佳的Kp1、Kp2、Ki、Kd、λ，μ最终获得具有良好动态响应特性的自动电压调节控制器。

(6)

H是以ITAE准则获取得目标函数，与3.3.1类似，自动电压调节系统采用基于Levy变异的ICA算法得到的性能指标ITAE收敛曲线如图8所示。该算法具有更加良好的寻优精度和收敛速度，对于同一种FOPI+FOPD控制器，基于Levy变异的ICA算法可获得更小的ITAE目标值。

图8 自动电压调节系统在不同算法下的ITAE收敛曲线Fig.8 ITAE convergence curves of automatic voltage regulation system under different algorithms

将该算法优化的FOPI+FOPD控制器、PID控制器、FOPID控制器优化参数记录于表4。图9给出了优化目标收敛图，可以看出采用FOPI+FOPD控制器得到控制器参数更优。

表4 自动电压调节控制器参数Tab.4 Automatic voltage regulation controller parameters

图9 不同控制器在相同算法下的ITAE收敛曲线Fig.9 ITAE convergence curves of different controllers under the same algorithm

4 仿真结果与分析

为了评估单区域电力系统采用不同控制器的稳定性与鲁棒性，本文在不同负荷扰动以及系统参数变化下，针对图4所示系统进行仿真，对比分析不同控制器作用下系统的调整时间、上升时间、超调量、ITAE参数，以及整体动态响应性能。

4.1 动态响应性能分析

为了验证本文所提出的控制器在不同初始条件下具有更优的整体动态性能，系统分别采用PID控制器、FOPID控制器、FOPI+FOPD控制器，在初始条件为无扰动、加+0.1pu负荷扰动、加-0.1pu负荷扰动进行仿真，系统响应曲线如图10所示。

(a) 采用PID控制器

(b) 采用FOPID控制器

(c) 采用FOPI+FOPD控制器

根据系统频率偏差响应曲线，系统采用FOPI+FOPD控制器对频率超调的抑制效果更加明显，其最大超调量分别是采用FOPID控制器、PID控制器的1/3与1/4，能够有效地抑制负荷扰动引起的系统频率波动，并且整体响应速度快，具有较好的整体动态性能。

4.2 控制器稳定性分析

1) 加入瞬时负荷扰动

当系统稳定运行后，在12 s时加入+0.1pu阶跃负荷扰动，频率偏差Δf及端电压响应曲线如图11所示，系统的各项瞬态响应性能参数如表5所示。

(b) 端电压响应曲线

表5 各控制器瞬态响应特性Tab.5 Transient response characteristics of each controller

从图11(a)频率偏差响应曲线中可以看出，负荷频率控制采用FOPI+FOPD控制器时，其瞬态响应性能优于传统的PID控制器和FOPID控制器，能够很好地抑止系统频率偏差，使系统很快达到稳定状态。采用FOPI+FOPD控制器时，系统产生的ITAE为0.35，比FOPID控制器减小了23.9%；Δf的调整时间为2.25 s，比传统PID控制器快4 s左右。仿真结果可以看出，采用FOPI+FOPD控制器可比其他控制器更快、更平稳地使系统频率波动减小到零。

从图11(b)端电压响应曲线中可以看出自动电压调节控制器采用FOPI+FOPD控制器的优越性，电压调整时间为0.67 s，上升时间为0.13 s，大大缩短了端电压从波动到稳态的时间，并且能够实现与额定电压的稳态误差为零，对扰动具有较强的抗干扰性。

2) 加入随机负荷扰动

为了验证系统采用FOPI+FOPD控制器的稳定性，本文加入随机负荷扰动，扰动发生时间与幅值为：3 s发生-0.1pu扰动、10 s发生+0.08pu扰动、15 s发生-0.06pu扰动，系统的频率偏差与端电压响应曲线如图12所示。

(a) 频率偏差Δf响应曲线

(b) 端电压响应曲线

从图12(a)可以看出，系统仿真时间为25 s，在每次出现负荷扰动时，采用FOPID控制器时频率偏差较大，需要较长的时间消除扰动带来的影响。而采用FOPI+FOPD控制器时，超调量明显下降，且系统能快速恢复稳定，各项性能指标都具有优越性。从图12(b)端电压响应曲线可以看出，采用FOPI+FOPD控制器时响应迅速，具有更好的稳定性，电压响应得到很好的改善。

4.3 控制器鲁棒性分析

为分析采用FOPI+FOPD控制器时系统参数变化对其响应性能的影响，本文将励磁机时间常数Te、放大器时间常数Ta改变+50%与-50%，得出的系统响应曲线如图13、14所示，动态响应性能指标如表6所示。

(a) 频率偏差Δf响应曲线

(b) 端电压响应曲线

从上述仿真结果可以看出，当系统参数变化时，对系统的响应影响较小，调节时间、上升时间、ITAE差别也较小，说明本文采用的FOPI+FOPD控制器具有较强的鲁棒性，能够很好地抵御系统参数变化带来的影响，保持系统的整体稳定性。

(a) 频率偏差Δf响应曲线

(b) 端电压响应曲线

表6 系统参数变化时动态性能指标Tab.6 Dynamic performance index when system parameters change

5 结论

本文针对电力系统频率控制以及自动电压调节系统发生扰动时控制器响应速度较慢以及超调量较大的问题，提出了在单区域电力系统中采用FOPI+FOPD级联控制器，并通过基于Levy变异的ICA算法优化控制器参数。仿真验证了系统采用FOPI+FOPD控制器相比于传统的PID控制器、分数阶PID控制器时系统频率与电压的调整时间分别缩短了13%以及18%，能够更快速地将电力系统频率波动减小到零、端电压恢复到额定值。在负荷扰动以及系统参数变化时，控制器能为系统提供较强的阻尼，将频率与电压偏差保持在规定的限值内，系统可以获得更小的ITAE与时域动态性能指标，以及能够获得更好的稳定性与鲁棒性。