低渗水驱油藏水平井见水后产能研究新方法

袁　淋，李晓平，李松岑

（1.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，成都610500；2.中国石化中原油田普光分公司，四川达州636155）

油气田开发

低渗水驱油藏水平井见水后产能研究新方法

袁淋1，李晓平1，李松岑2

（1.西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室，成都610500；2.中国石化中原油田普光分公司，四川达州636155）

在利用水平井开发低渗水驱油藏的过程中，油井见水是制约其产量的一个重要因素。基于Joshi水平井产能分析理论，将水平井三维渗流问题简化为2个二维平面渗流问题，考虑启动压力梯度，利用保角变换方法分别获得了2个二维平面内的产量公式，再结合水驱油藏中非活塞式驱替过程油水两相渗流特征，最终求得了低渗水驱油藏中水平井产油量计算新公式。通过实例计算与对比发现，本文公式与水平井单相经典产能公式计算结果虽然均比实际产油量大，但是本文公式计算结果与实际产油量相对误差最小，为2.94%，从而证明本文公式准确性较高、实用性较好。此项研究为低渗水驱油藏水平井见水后产量预测提供了新的思路。

低渗储层；水驱开发；水平井；油水两相；油井产能

0　引言

在利用水平井开发低渗水驱油藏过程中，由于黏度差异、毛细管现象以及油层非均质性等因素的影响，驱替方式通常为非活塞式驱替，且在驱替相与被驱替相之间存在一油水两相渗流的过渡带，加之启动压力梯度的影响，使得低渗水驱油藏中水平井周围的渗流更加复杂，因而用常规水平井单相产能公式无法准确预测其产能［1-5］。国内外学者［6-14］将理论与实验相结合，研究了低渗油藏中油水两相渗流规律，但对于水驱油藏水平井见水后产能的研究尚存在不足。笔者认为水平井见水后外部渗流场为驱替相的单相渗流，内部渗流场为油水两相渗流，进而在考虑启动压力梯度的基础上，求得低渗水驱油藏水平井见水后产油量预测新公式，并通过实例证明新公式的准确性以及产水对水平井产能的影响，以期为低渗水驱油藏水平井合理工作制度的研究提供理论依据。

1　产能公式推导

流体在水平井周围地层中的渗流为椭球形三维渗流。对于该三维渗流问题的处理，目前最常用的方法是Joshi［3，15］提出的将三维渗流简化为水平平面与垂直平面2个二维渗流。在水驱油藏见水后，水平平面内的渗流为水相的渗流，而垂直平面内的渗流为油水两相的渗流。在2个二维渗流平面内分别求取产能公式，再利用等值渗流阻力法与水电相似原理便可获得水平井产能公式。

1.1水平平面内的产能公式

流体在水平平面内的渗流为椭圆形供给边界中存在一排液坑道的渗流问题［5］，引入儒柯夫斯基变换，取保角变换函数，即

式中：L为水平段长度，m；Z与ξ分别为儒柯夫斯基变换前后2个复平面内的变量，Z=x+iy，ξ=u+iv。

通过此变换，将Z1平面内长半轴为a、短半轴为b的椭圆渗流场转换成Z2平面内半径为（a+b）/（L/2）的圆形区域，并将线段（-L/2，0）到（L/2，0）映射成单位圆周，这就等价于半径为（a+b）/（L/2）的泄油区域内一口半径为1的直井的渗流问题（图1）。

经过儒柯夫斯基变换后，启动压力梯度变为

式中：λ′为保角变换后的启动压力梯度，MPa/m；re为泄油半径，m；λ为启动压力梯度，MPa/m；a为椭圆形泄油区域长半轴长度，m；b为椭圆形泄油区域短半轴长度，m。

图1　水平平面内保角变换示意图Fig.1　The sketch map of conformal mapping in horizontal plane

水平平面内的渗流为单相水的流动，考虑启动压力梯度的运动方程为［16］

式中：v为油藏中任一点的渗流速度，m/d；kh为油藏水平方向渗透率，mD；μw为地层水黏度，mPa·s；p为油藏中任一点的压力，MPa；r为油藏中任一点的径向距离，m。

分离变量，将式（3）在r区间［1，（a+b）/（L/2）］上积分，化简得到水平平面内的压降为

式中：pe为油藏驱动压力，MPa；pF为内部渗流场驱动压力，MPa；h为油藏厚度，m；qL为日产液量，m3/d。

1.2垂直平面内的产能公式

垂直平面内的渗流可看成上下封闭边界中一点汇的渗流问题，引入儒柯夫斯基变换，取保角变换函数

通过此变换，将Z1平面的带型区域（-0.5h＜y＜0.5h）转换成Z2平面的单位圆形区域，Z1平面上的汇点（0，0）变成Z2平面上的圆心（0，0）（图2）。

图2　垂直平面内保角变换示意图Fig.2　The sketch map of conformal mapping in vertical plane

Z1平面上的井筒半径rw在Z2平面上变成ρw

式中：rw为水平井井筒半径，m；ρw为保角变换后的水平井井筒半径，m。

启动压力梯度变为

垂直平面内为油水两相渗流，考虑启动压力梯度的油水两相运动方程为［17］

式中：kv为油藏垂直方向渗透率，mD；krw为水相相对渗透率；kro为油相相对渗透率；μo为原油黏度，mPa·s。

式中：pwf为水平井井底流压，MPa。

在垂直平面内，油藏的含水饱和度分布满足径向Buckley-Levereet方程［16］：

式中：φ为储层孔隙度，%；ΣQ1为累计产液量，m3；rf为垂直平面内供给半径，m，文中为1 m；fw为油藏中任一点的分流率，%；Sw为油藏中任一点的含水饱和度，%。

当r为井筒半径时，则此时位于油水驱替前缘，rf=1，则式（10）可以写为

式中：Swf为前缘含水饱和度，%。

综合式（10）和（11）可得

式（12）等号两边同时微分得

将式（13）代入式（9），并利用分流率的表达式

则式（9）可以变化为

1.3水平井产能公式

结合式（4）与（15），可得到水平井的产液量公式，即

利用产液量与产油量之间的关系，将式（16）转化为产油量公式

其中

式中：qo为日产油量，m3/d。

A的求取方法有2种：一是利用数值积分法求解，根据梯形公式或辛普森公式进行计算；二是采用图形拟合法求解。考虑到数值积分法计算结果精度不高，因此采用图形拟合法求解，具体步骤如下：①根据两相渗透率实验测试数据做油水两相相对渗透率曲线；②根据含水率计算公式，结合相渗曲线，做分流率随含水饱和度变化的关系曲线，再过（Swr，0）点做该曲线的切线，切点对应的含水饱和度即为水驱前缘含水饱和度；③利用分流率曲线，计算求得分流率导数随含水饱和度变化的关系曲线，拟合得到分流率导数与含水饱和度的表达式；④根据第①～②步分流率计算结果以及第③步分流率导数与含水饱和度拟合关系式，计算得到B与fw′（Sw）关系曲线，进而拟合得到二者之间关系式，将变量fw′（Sw）在区间［0，fw′（Swf）］上积分得到A的值。

2　实例计算与分析

某低渗水驱油藏处于开发中后期，日产液量较高，但油井含水率较高，产油量低，其中一水平井参数如表1所列。

表1　某低渗水驱油藏一水平井基本参数Table1　The parameters of a horizontal well in one low permeability water flooding reservoir

若要计算水平井产液量以及产油量，则必须先计算出A的值。根据所给相渗测试资料，做该区块油水两相相对渗透率曲线（图3）。

图3　油水两相相对渗透率曲线Fig.3　The relative permeability curve of oil-water two phase

根据该相渗曲线，利用式（16）分流率计算公式获得分流率曲线（图4）。

图4　分流率随含水饱和度变化曲线Fig.4　The change of shunt index with water saturation

过（0.3，0）点做分流率曲线的切线，切点对应的含水饱和度为47%，即前缘含水饱和度，对应的前缘分流率约为0.7。根据该分流率曲线，通过计算可以得到分流率导数曲线（图5）。

图5　分流率导数曲线Fig.5　The derivative curve of shunt index

通过拟合发现，采用六次多项式拟合，相关系数为0.975 1，准确性较高，则得到分流率导数与含水饱和度的关系式为

结合式（19）、相渗曲线以及分流率曲线，做B与fw′（Sw）关系曲线（图6）。

图6　B与fw′（Sw）的拟合关系曲线Fig.6　The fitting curves between B and fw′（Sw）

为了提高拟合精度，可以进行分段拟合，从0增加到fw′（Sw）max为第一段，fw′（Sw）max递减到fw′（Swf）为第二段。由拟合结果可以看出，相关系数为1，拟合程度较高，可以得到关系式为

fw′（Sw）max的值通过分流率导数曲线可以得到，约为5.5，对式（20）进行积分得到A值为84.305 2。将表1中的参数代入式（16）和（17），进而求得产液量为30.628 m3/d，产油量为8.06 m3/d。

将所给已知参数代入考虑启动压力梯度的水平井单相经典产能公式进行计算，并将计算结果（表2）与实际产油量7.83 m3/d进行对比。

表2　水平井单相经典产能公式与本文公式产油量计算结果对比Table2　Comparison of results calculated by new formula and single-phase productivity formula of horizontal well

从表2可以看出，本文公式与水平井单相经典产能公式计算结果虽然均比实际产油量偏高，但本文公式计算结果与实际产油量相对误差最小，为2.94%。这是因为水平井见水后，井筒周围渗流场由纯油区变为油水两相区，渗流阻力增加，进而导致产油量比水平井单相经典产能公式计算结果偏低，说明水平井井底见水对其产油量具有较大的影响。因此，水驱油藏开发过程中应采取合理控水措施，以延缓水的突破，延长无水采油期。

3　结论

（1）在考虑启动压力梯度的基础上建立了低渗水驱油藏渗流数学模型，求得了水平井产液量以及产油量公式，实例计算表明本文公式与水平井单相经典产能公式计算结果虽然均比实际产油量偏高，但是本文公式计算结果更加接近实际产油量。

（2）在水驱油藏中，由于井底水体的突破，使得井筒附近的渗流变为油水两相渗流，并且含水饱和度沿径向呈非均匀分布，而远井地带仍为单相水的渗流。

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（本文编辑：于惠宇）

New method for productivity study of horizontal well after water breakthrough in low permeability water flooding reservoir

YUAN Lin1，LI Xiaoping1，LI Songcen2
（1.State Key Laboratory of Oil and Gas Reservoir Geology and Exploitation，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；2.Gas Production Plant，Puguang Branch，Zhongyuan Oilfield Company，Sinopec，Dazhou 636155，Sichuan，China）

During the development of low permeability water flooding reservoir with horizontal well，water breakthrough is an important factor to restrict the production.Based on the Joshi theory of productivity of horizontal well，this paper simplified3Dflowofhorizontalwellintotwo2Dflows；consideringthestartuppressuregradient，usedconformal mapping method to obtain productivity formulas in two 2D flow planes respectively；combined with the flow characteristics of oil-water two phase during non-piston-like displacement in water flooding reservoir，eventually obtained a new production formula of horizontal well in low-permeability water flooding reservoir.Through case study and comparison，the results calculated by new formula and single-phase productivity formula of horizontal well are more than the actual output，but the result calculated by new formula has a small relative error with actual output，only of 2.94%.It demonstrates that the new formula has a high degree of accuracy and is very practical.The study will provide a new method for predicting the production after water breakthrough of horizontal well in low permeability water flooding reservoir.

low permeability reservoir；developing with water flooding；horizontal well；oil-water two phase；productivityofoil well

TE328

A

1673-8926（2015）03-0127-06

2014-10-30；

2014-12-04

国家杰出青年科学基金项目“油气渗流力学”（编号：51125019）资助

袁淋（1990-），男，西南石油大学在读硕士研究生，研究方向为油气藏工程与渗流力学。地址：（610500）四川省成都市新都区西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室B403室。E-mail：yuanlin343@163.com

李晓平（1963-），男，教授，博士生导师，主要从事渗流力学、试井分析及油气藏工程领域的教学和科研工作。E-mail：nclxphm@126.com。