自适应光学系统误差分析与参数优化研究

赵子云，顾 虎，马文超，胡栋挺，曹 朔，刘新宇，吴晶晶，朱华新，苏宙平，胡立发*

(1.江南大学 理学院，江苏 无锡 214122；2.江苏省轻工光电工程技术研究中心，江苏 无锡 214122)

1 引 言

在早期的天文观测中，地基光学望远镜对天体目标的成像会由于大气湍流的扰动、光学系统本身的像差等因素影响，导致成像分辨力较低，因而人们引入自适应光学(Adaptive optics,AO)技术来克服湍流的影响[1-7]。自适应光学系统通过对畸变波前的探测和补偿来达到改善成像质量的目的[8-13]。目前，AO系统广泛运用于Keck、MMT、GMT等大口径地基光学望远镜的天文观测中，显著提升了光学望远镜的观测能力[14]。

在地基光学望远镜对天文目标的高分辨率成像过程中，大气、望远镜和AO系统中存在着众多的影响因素，例如，带宽误差[15-16]变形镜驱动器数目和间距[17-21]、等晕角[22]、质心和波前重构误差[20-29]等。对这些误差的分析关系到校正精度的高低，直接影响目标成像分辨力。

另一方面，对AO系统设计来说，由于系统参数之间的关联和复杂性，总体误差估算对光学成像系统性能做出预先的评估和分析非常关键，对进一步指导地基光学望远镜AO系统的开发和优化意义重大。1989年，Hardy等人从波前探测器、变形镜以及波前重构方面分析了AO系统的性能，但所讨论的误差并不全面，也并未给出统一的误差模型[30]。90年代以来，人们在误差估算方面做了大量工作[31-43]，结合眼底成像和天文目标观测等领域的应用，提出了光学传递函数法[31]、傅里叶变换法[35]、功率谱的方法[43]等不同的误差估算模型。已有的报道一般对部分误差进行了分析，有一定的参考价值。建立一个系统、全面的误差评价模型来定量地分析和预期成像质量，是自适应光学系统进行设计的关键问题之一。

近年来，地基光学望远镜的口径越来越大，所匹配的AO系统在设计时，非常迫切需要有一个合理、有效的误差模型，来评价和分析AO系统中的误差，并能根据成像质量要求，来合理选择和设计AO系统的关键参数所需要满足的指标，这对于地基光学望远镜非常重要。类似的要求对于AO技术在眼底成像、生物医学超分辨成像、激光通信、激光武器等应用也同样具有重要的意义。

2 大气湍流与AO系统模型

一般的AO系统采用闭环控制，其控制框图如图1所示，受大气湍流扰动的目标源信号，经过波前探测和数据处理，得到相应的控制电压信号，并驱动波前校正器产生形变来补偿畸变像差。

图1 AO系统闭环控制框图Fig.1 Framework of AO system closed-loop control

根据如图1所示的AO系统控制模型，通过将复频率域s转为频域的f讨论更为方便，因而下式中做出了调整(s=i2πf)。系统有两个输入，X(f),N(f)分别是像差信号和噪声信号，输出信号根据不同输出节点有剩余误差信号R(f),变形镜补偿信号M(f)，以及波前探测器探测重构信号D(f)，以上信号都为功率谱。其开环HOL和闭环传递函数HCL分别如下：

(1)

(2)

其中：Hsensor、HDelay、HComp和HZOH分别是波前探测器、系统延时、变形镜和高压放大器等的传递函数[44]。因此，系统的误差传递函数HError为：

(3)

作为输入畸变信号的大气湍流，其功率谱X(f)和噪声功率谱N(f)模型如下[17]：

(4)

式中：ξ为天顶角，D为望远镜的口径，kc为其波数，μn和vn分别为大气湍流和风速的n阶矩[45]。常用来描述白天大气条件的湍流模型有SLC-Day[46]模型和HV[47]模型。本文中采用经过修改的HV模型[32](后文中称NHV模型)：

(5)

式中：w为平均风速，h为湍流高度。在图1所示的控制模型中，目标源光照条件、波前探测、相机等都不可避免地引入了噪声，这些噪声包括光子噪声、读出噪声、暗电流以及背景噪声等。通常我们将在各个频率分量上都拥有相同功率的噪声称为白噪声，这里的探测噪声显然也符合这一条件。

按照[36]中所提出的噪声功率谱计算方法，可以得出仅在噪声影响下X方向质心偏移量Cx的方差为：

(6)

其中：p为光子数量，T为相机积分时间，d是暗电流，b是背景通量，σread是读出噪声的标准差，I为像素点光强。以上的噪声分量都以每像素为计。Y方向质心偏移量方差有着完全相同的表达式。

为了计算变形镜的噪声功率谱，首先将仅在噪声影响下的质心偏移量转化为噪声误差波前；其次，通过将质心偏移量乘以重构矩阵就能得到波前校正所需的电压指令，最后能够得出由噪声引起的波面。计算该波面的方差即可得出噪声功率谱。假设处于中等视宁度条件下，可以得出噪声功率谱为：

|N(f)|2=1.252|RS|2V(Cx)

.

(7)

3 AO系统的误差模型

为了评价AO系统性能，一般选择残余像差的rms(均方根误差)或者校正图像的SR(斯特列尔比)。波前相位误差较小时，存在以下关系[14]：

(8)

其中:σΦ为剩余波前相位标准差，σχ为光瞳处对数幅度标准差。通常的AO系统中，主要误差源为带宽误差、拟合误差、噪声误差、锥效应和等晕误差[33]。对于钠导星AO系统，主要包括激光导星、波前探测器、波前校正器、波前处理机。其中影响成像的误差主要包括：与激光导星有关的非等晕误差σiso和角锥误差σcone，与探测器有关的波前测量误差σNoise，与校正器有关的波前拟合误差σfit，与系统时间延迟有关的带宽误差σBW，以及与系统装调有关的校准误差σcalib。对于自适应系统来说，它们是互相独立的误差源，因此，总的误差可以计算如下：

(9)

其中，带宽误差、拟合误差以及测量误差由于其值较大而占据着主体地位。对这些主要的误差源进行分析，对多共轭系统和单共轭系统都有一定参考价值。

多重共轭自适应光学系统(Multi-Conjugated Adaptive Optics,MCAO)是基于单共轭自适应系统所搭建的，如星向多重共轭结构中，探测器与导星一一对应，就其某一导星分支而言，与单共轭系统并无差异，且其误差来源基本相同；就其区别而言，MCAO中将分层湍流相位投影至望远镜内，投影矩阵计算和重构算法计算等存在较小误差；而多校正器多探测器的系统，也存在较高的共轭对准要求。

3.1 带宽误差

σBW是由于AO系统大气湍流变化相对快，而波前校正器的采样速度、数据处理和变形镜响应存在时间延迟，导致闭环AO系统无法对动态变化的像差做出及时响应。可以根据格林伍德频率与系统带宽之比粗略地计算带宽误差。为了更精确地计算，可以考虑湍流的功率谱和系统传递函数，计算AO系统对各个频率成分的校正能力。即闭环系统中带宽误差σBW由于AO系统无法补偿的像差引起，结合上述分析有：

(10)

3.2 测量误差

测量误差主要体现在质心偏移位置测量的不准确上。主要因素为探测器在曝光时间内所接收的有限光子数量的不确定性(光子噪声)、背景噪声、暗电流、相机读出噪声等，所测质心偏移量就出现了误差。这一误差在AO系统内随着波前重构环节开始传递，最终导致了校正后的波前误差分量——测量噪声误差的存在。闭环控制系统测量误差为：

(11)

3.3 波前拟合误差

σfit是由于驱动器间隔、行程大小、响应函数等导致所需校正的像差的空间特征和变形镜自身的空间特征存在固有差异，进而导致变形镜无法校正高于自身空间频率的畸变[35]。变形镜拟合误差与驱动器的数目、变形镜的大小、中央遮拦比以及支撑变形镜表面的外边缘等多方面因素有关[17,48]。本文中拟合误差可用式(12)计算[32]：

(12)

其中：λ为目标源波长，d为变形镜的驱动器对应到望远镜上的间距。

3.4 非等晕误差

σiso是对暗弱目标进行观测时，AO系统需要参考源(导星)用以探测大气扰动，这导致引入了非等晕误差σiso[14,49-50]：

(13)

其中：a为系数，θ为目标与信标之间的角距离，θ0为等晕角。Sasiela等人根据Mellin变换[51]，给出了较为详细的自然导星角度非等晕误差表达式：

(14)

其中:a=kD/2，k为空间频率，k0为波数，其他参数同上统一，Jn为n阶贝塞尔函数。上式中包含了平移项σP和倾斜项σT[52-53]：

(15)

(16)

在σIPT中移除平移和倾斜后可得较为准确的非等晕误差值：

(17)

使用人造信标时，以上计算过程仍然适用[54]。

3.5 角锥误差

σcone是由于激光导星的锥效应引起的误差，也被称为聚焦非等晕性误差。Tyler提出了使用特征参量d0来表征这一由于激光导星高度有限所造成的误差[55]。

(18)

式中的μ+和μ-为湍流n阶矩的部分湍流矩，Z为激光导星所在高度。由聚焦非等晕所造成的波前探测误差可以表示为[56]：

(19)

除了以上误差之外，还有倾斜误差、混叠误差[35]、闪烁引起的误差[57]，以及夏克哈特曼波前探测器标定[58]等引起的误差，文中主要对高阶误差和易于模拟验证的误差进行了介绍。通过对以上误差的系统分析，我们可以获得可全面评价AO系统性能的总体误差。

需要说明的是，文中误差模型基于使用变形镜等器件的AO系统，一些较新的技术如液晶等[59-61]，则需要对部分误差计算方法进行小的调整。

(a)10 m口径(a) Telescope diameter=10 m

4 模拟及分析

(a)-10星等(a) Magnitude = -10

我们选择在不同条件下对数值模型进行分析模拟，并结合基于MATLAB的自适应光学工具包(Object-Oriented Matlab Adaptive Optics，OOMAO)所搭建的AO模型进行对比验证。多重共轭系统引入了激光导星，因此多了非等晕误差、锥光误差。而主体误差分析仍是以带宽误差、噪声误差、拟合误差为主。对不同星等、采样时间2 ms条件下进行分析，结果如图2所示。图2(a)中模拟条件为r0=18 cm，波长为550 nm，口径D=10 m，采用了修改后的HV模型；图2(b)中模拟条件为r0=7 cm、波长为1 215 nm、口径D=4 m，使用了SLC湍流模型。可以看出随着目标星等的提升，残差逐渐增大，且数值模型与OOMAO仿真曲线接近。光子充足的条件下(噪声误差影响很小可忽略)，数值预测与模拟值更加吻合；但在低信噪比条件下，由于采样时间变短，噪声影响增大，误差也增大。

相机采样频率对AO校正残差有着重要影响，高采样频率能有效降低带宽误差的影响，但同时将降低信噪比导致噪声误差增强，二者需要平衡。分析了AO系统的采样频率对误差的影响，结果如图3所示。

图3(a)、(b)、(c)、(d)分别为选取了-10、4、6、8星等的目标源，在1～20 ms/frame的采样频率下的rms模拟分布。首先，3(a)与3(b)图中OOMAO仿真与数值分析曲线基本一致，表明在高于某个信噪比条件时，校正效果取决于湍流强弱和系统采样频率。其次，图3(a)～3(c)的RMS曲线误差模型值与模拟结果非常接近，在信噪比较高的条件下，噪声误差影响小。在图3(d)中，可以看到采样时间低于5 ms时仿真与数值分析结果相差明显。这是由于低信噪比时，过快的采样频率导致测量不准，而慢的采样又导致时间延迟引起的误差增加，因此，数值分析得到一个误差最低的采样频率非常合理，这相对于OOMAO仿真更为准确。

天文观测系统所观测的目标、所处的湍流强度是变化的，为获得最佳的补偿效果，针对D=2 m、r0=7 cm条件下采样频率和目标星等在一定变化范围内的误差进行分析，结果如图4所示。需要指出的是，大于500 nm的残差已不具备校正效果，无法进行有效成像，因此，将所有大于500 nm的残差置为500 nm。低星等导致了高信噪比，此时高的采样频率使得残差更小；星等增加时，信噪比会降低，此时模型预测的最低误差对应着最优化的采样频率，在此频率下可以获得最佳的校正效果。

图4 不同采样频率和目标星等下的波前残差分布Fig.4 Distribution of residual wavefront error under different sampling frequencies and target magnitudes

在MCAO(多重共轭自适应光学系统)内，非等晕误差是MCAO主要区别于单重共轭AO系统的误差源。在波长550 nm和SLC湍流模型下，模型预测的结果如图5所示。随着D/r0的逐渐增大，误差曲线不断右移；而同一星等条件下，低星等时D/r0的提高对成像精度的提升很小，但高星等处高D/r0将能有效降低残差。

图5 不同D/r0的误差曲线Fig.5 Error curves of different D/r0

图6(a)为望远镜口径为D=10 m，波长为550 nm条件下，角度非等晕误差的模型预测结果。随着r0提高，误差曲线趋于平稳，且在导星与目标源角距离较小时，各模型误差值非常接近。与带宽误差类似的是，同一湍流条件下，选用不同的探测波长对角度非等晕误差无影响。其主要的影响因素为固有的湍流条件好坏和角距离的大小。图6(b)为不同口径下残差随角度的变化情况。口径对角度非等晕误差的影响集中在低于1 m的口径范围内，随着望远镜口径的增加，角度非等晕误差也在提升，而当口径大于1.2 m时，口径所造成的角度误差影响越来越小直至不再提升。

图6 (a)不同湍流模型的角度非等晕误差曲线；(b)不同口径下的角度非等晕误差。Fig.6 (a) Angles anisoplanatic error of different turbulence model；(b) Angles anisoplanatic error of different telescope diameter.

2003年6月凯克天文台，在500 nm波段，大气相干常数为18 cm左右，所观测的7星等目标残差为260 nm[36]，在选用近似的条件和参数后，我们得到了285 nm的预测值；与2002年首光的MMT自适应光学系统实测数据相比[62]，其6、8、10星等SR为0.15、0.21、0.1，模型预测值为0.31、0.10、0.07，整体预测符合其H波段SR为0.2左右的观测效果。可见误差模型与实际测量数据相比有一定的先验性。

5 结 论

本工作尝试为带有AO系统的大口径地基光学望远镜系统建立合理的误差评价模型。一方面，该模型可以在自适应光学系统设计阶段提供合理的误差评价、性能预估，以选择最佳的参数；另一方面，也可以在自适应光学系统使用阶段，为选择合理的曝光时间等关键参数提供理论指导。这为大口径地基光学望远镜获得最佳成像效果提供了理论依据。同时，也为自适应光学系统在生物显微成像、眼底成像、激光大气通信等方面的合理应用提供了有意义的方法指导。

本文全面整理了自适应光学系统的误差来源并给出了合理的数值模型，该模型与仿真结果进行了对比验证，证实了模型的合理性，在合适条件下能达到误差在30 nm以内的高精度残差估计，值得说明的是本模型在信噪比低于5时预测精度将大幅衰减；许多误差源之间存在明显的耦合关系，单独对某一误差源进行研究并不能有效用于整体误差预测，通过数值模型对系统误差进行整体的数值模拟对实际应用更具有意义。