应用样条插值提高GRAPES模式物理过程反馈精度

苏 勇沈学顺张 倩刘俊杰

1）（中国气象科学研究院，北京100081）2）（南京信息工程大学大气科学学院，南京210044）

3）（中国气象局数值预报中心，北京100081）4）（中国气象局气象宣传与科普中心，北京100081）

5）（南京信息工程大学水文气象学院，南京210044）

应用样条插值提高GRAPES模式物理过程反馈精度

苏 勇1）2）3）沈学顺3）*张 倩4）刘俊杰5）

1）（中国气象科学研究院，北京100081）2）（南京信息工程大学大气科学学院，南京210044）

3）（中国气象局数值预报中心，北京100081）4）（中国气象局气象宣传与科普中心，北京100081）

5）（南京信息工程大学水文气象学院，南京210044）

GRAPES（Global/Regional Assimilation and Pr Ediction System）模式动力框架中垂直方向变量的跳层设置采用Charney-Phillips分布，在整层上进行位温、水物质的计算，物理过程中在半层上对其进行处理。这样在GRAPES模式中，进入物理过程之前和物理过程计算完毕之后，都要采用线性插值进行整层和半层之间物理量的转换。由于线性插值精度欠佳，为提高上述反馈过程的精度，并保证水物质的正定性，该研究引入样条插值，并在水物质的插值过程中进行保单调处理，有效减小了位温场、水物质场的预报偏差，并提升了模式的综合预报性能。

GRAPES模式；线性插值；样条插值；单调

引 言

GRAPES模式［1-3］的垂直坐标采用地形高度追随坐标［4］，在垂直方向离散过程中，动力框架［5-6］中变量分布采用Charney-Phillips跳层分布［7］，垂直速度、位温、水物质放置在模式预报面的整层，水平速度和无量纲气压放在模式面的半层；物理过程［8-9］中所有变量都在模式面的半层。在模式垂直分层的设计中，为了满足中心差分计算的需要并更好地表示边界层内的物理过程，采用不均匀分层的设计，在近地面边界层，模式分层较密，而在模式大气的中高层分层较为稀疏。

鉴于以上设计，GRAPES模式在进入物理过程之前，采用线性插值将位温和水物质从整层插值到半层；在物理过程计算完毕之后，将物理过程反馈给动力框架的位温和水物质同样采用线性插值从半层插值回整层。在强涡流与强层流系统，以及地转适应等过程的处理中，Charney-Philips跳层设置优于Lorenz跳层设置［7］，但前者的缺点是物理过程与动力模式之间的耦合比较复杂，如前所述，需要引入垂直方向整层与半层之间的相互插值。

国际上各大预报中心的天气模式，物理过程部分变量置于模式面的半层，动力框架部分则采用Lorenz跳层的较多，采用Charney-Philips跳层的较少。英国气象局的原统一模式［10］、加拿大气象局的GEM（Global Environmental Multiscale）模式［11］、法国气象局AROME（Application of Research to Operations at Mseoscale）计划发展的非静力模式［12］、中国科学院大气物理研究所发展的AREM（Advanced Regional Eta-coordinate Model）模式［13］、新一代中尺度预报模式WRF［14］（Weather Research and Forecasting Model）等，均采用Lorenz跳层设置；欧洲中心的IFS（Integrated Forecast System）预报系统［15］在2002年之前采用Lorenz跳层设置，之后将垂直方向的离散方法改为基于样条函数的有限元方法；目前，只有英国气象局的新统一模式［16］在动力框架中采用Charney-Philips跳层设置，在处理类似的物理量在整层和半层之间插值的问题上，采用线性插值，也不能保证较高的精度。GRAPES模式的处理方法与英国气象局的新统一模式相类似。

线性插值比较简单，精度欠佳，会在物理过程和动力框架之间信息的传递过程中带来偏差，特别是对于模式的低层和高层区域。随着偏差的累积，温度、湿度场的偏差又会进一步影响高度场、风场等，对模式的预报效果造成一定影响。

在位温和水物质的插值过程中，首先要求具有较高的精度，另外水物质的分布具有正定、空间变化梯度大、易不连续且受相变过程影响大等特点［17］，这就要求在水物质的插值过程中必须保证单调性，即在区间上拟合出的函数分布与原分布保持相同的增减性。保证了单调性也就保证了插值过程的正定性。非单调的插值方法，如传统的三次样条插值、多项式插值等，不能保证插值过程的单调性，这样一方面会导致负水汽的出现，影响模式预报及稳定性；另一方面插值过程产生的新的极大值在某些情况下也会影响模式的稳定性。

本研究在借鉴数值模拟与流体力学等领域的研究进展之后，为了减小物理量在整层与半层之间相互插值过程中的偏差，提高GRAPES模式物理过程反馈的精度，将传统的三次样条（traditional cubic spline，T_spline）插值方法引入GRAPES模式中对位温进行插值；对传统的三次样条插值做了保单调处理之后得到单调的三次样条（monotonic cubic spline，M_spline）插值，对水物质场进行插值。

1 方案简介

1.1 线性插值

线性插值是数学、计算机等领域中广泛使用的一种简单的插值方法［18］。一般假设函数f（x）在区间［xa，xb］上呈线性分布，即由斜率不变来推导出区间内某一点xc处的f（xc）值。

1.2 样条插值

三次样条插值在数值模拟、流体力学等领域有广泛的应用，它用分段三次曲线拼接起来去逼近解析解，在连接点上要求二阶导数连续，但该方法不能保证插值过程的单调性［19-20］。在这里通过牺牲插值曲线二阶导数连续带来的光滑性，来保证插值过程的单调性［21］。

在传统的三次样条插值解法中，假设函数f（x）在区间［a，b］上的一个划分Δ：a=x0＜x1…＜xn-1＜xn=b中，可以用三次样条函数s（x）来拟合，那么在（n-1）个内节点处需要满足如下的连续及光滑性条件：

在这里为了得到单调的插值函数，将式（1）中第3个条件替换为

这样单调样条插值函数求解的关键就转化为如何近似每个节点处的一阶导数。一个简单的、行之有效的近似如下：

这样采用和原求解相类似的方法，即可确定每个区间上单调的三次样条函数s（x）。

2 理想试验

本章通过一系列的理想试验，对线性插值、传统的三次样条插值以及单调的三次样条插值的精度、单调性等进行分析和对比。

2.1 正弦波的模拟

如图1所示，在一正弦波的上半部分中选定对称的8个点，分别采用上面的3种算法，利用这8个点，去拟合正弦波。拟合出来的曲线与真解越接近的偏差越小。8个点在x方向的位置和对应y方向的值分布如下：（0，0），（30，29.6），（70，64.5），（127，95.5），（187，95.5），（244，64.5），（284，29.6），（314，0）。

此模拟试验的设置比较接近于真实大气中位温场的分布状态，正弦函数在区域内呈连续的、较为缓慢的变化。从图1的模拟结果中可见，无论在单调的区间还是非单调的区间，传统的三次样条插值都可以精确地模拟出实际正弦函数的分布；在单调区间内，线性插值和单调的三次样条插值可以较为准确地模拟正弦函数的分布，相对来说线性插值偏差更大；在非单调的区间内，线性插值和单调的三次样条插值都无法模拟出区间内的极大值，保持了模拟曲线在区间内的单调性，但与真解的偏差较大。

图1 3种不同算法对正弦波的模拟Fig.1 Three different algorithms on the sinusoidal wave simulation

2.2 给定分布的模拟

对于给定位置x和对应y值的如下7个点：（0，150），（10，200），（30，200），（50，200），（70，180），（80，100），（82，0），分别采用上面的3种方法，拟合区间内曲线的分布，见图2。

图2 3种不同算法对给定分布的模拟Fig.2 Three different algorithms on the given distribution simulation

此模拟试验的设置比较接近于真实大气中水物质场的分布状态，给定的序列点在空间内呈变化梯度大、准不连续的分布。此试验虽然没有真解，但希望得到的是符合水物质在实际大气中分布状态，且符合数值计算需要的结果。由图2的模拟结果可以看出，线性插值方法虽然不光滑，但可以保证区间内的单调性，模拟结果相对实际需要偏差不大；传统的三次样条插值方法为了保证二阶导数的连续，拟合出的曲线频散非常明显，不能确保区间内函数的单调性，不符合需要；相对于前两者来说，单调的三次样条插值方法模拟效果最佳，既保证了函数在区间内的单调分布，又兼顾了区间之间的光滑连接，符合对于水物质模拟的需要。

综合上面两组试验可知：①对于连续、空间变化梯度较小的物理量模拟，采用传统的三次样条插值方法效果较好，可以得到光滑、精确的模拟结果；②对于准不连续、空间变化梯度大的物理量模拟，采用单调的三次样条插值方法最为合适，既可保证解的精度，又可兼顾单调性、光滑性。

2.3 GRAPES模式中的理想试验

将样条插值接入GRAPES_GFS中动力框架与物理过程接口处整层与半层之间相互插值的部分，替换原有的线性插值。通过如下的理想试验，检验模式中不同插值方案的反馈精度。

任意选取一个时次美国国家环境预报中心（NCEP）的分析资料（FNL）作为初始场，本个例时次为2009年7月1日12：00（世界时，下同）。将该初始场转化到GRAPES的地形高度追随坐标面上，对位于整层上的位温场和水汽场，参照模式中的反馈过程，从整层插值到半层，再从半层插值回整层。除了这两次插值，不做任何其他处理。插值方法分别选择模式中原有的线性插值和新接入的样条插值，其中位温采用传统的三次样条插值，水汽采用单调的三次样条插值。

如果插值方案是完美的，那么经过两次插值回到整层后的位温场和水汽场应该与插值之前完全相同。现在通过插值后与插值前的差异，对比GRAPES模式中不同插值方案的反馈精度。影响插值过程精度的因素主要有以下两点：①模式在垂直方向采用非均匀分层，所以垂直格距大的地方插值偏差会比较大；②物理量呈不连续分布或者变化梯度大的地方插值偏差也会比较大。

首先对比单点偏差的垂直分布。由图3可以看到，对于位温场（图3a），线性插值在模式的第10层左右以及第20层以上偏差较大，特别是高层，插值过程带来的偏差可以达到3℃，采用传统的三次样条插值之后，各层的偏差明显减小；对于水汽场（图3b），因为水汽主要分布于中低层，所以插值的偏差也随着高度逐渐减小，同样，在各个层次上，单调的三次样条插值的偏差都要明显小于线性插值。

图3 插值前后长江中下游平原示例点（30°N，115°E）偏差的垂直分布（a）位温场，（b）水汽场Fig.3 The deviation vertical distribution after interpolation at the sample point（30°N，115°E）over the Yangtze River Plain（a）the potential temperature，（b）the water vapor

均方根误差的区域平均可以更好地反映不同插值方法在反馈过程中带入模式的误差，它的垂直分布与单点偏差相类似。如图4所示，对于位温场（图4a），在北半球中纬度地区，均方根误差主要集中在模式的高层，传统的三次样条插值的误差都要明显小于线性插值；同样对于水汽场（图4b），均方根误差主要集中在模式的中低层，单调的三次样条插值误差要明显小于线性插值。下面通过图5、图6进一步对不同插值方法的均方根误差进行分析。

图4 插值前后北半球中纬度地区（20°～60°N）均方根误差的区域平均的垂直分布（a）位温场，（b）水汽场Fig.4 The regional averaged root mean square error vertical distribution after interpolation of the Northern Hemisphere mid-latitude region（20°—60°N）（a）the potential temperature，（b）the water vapor

由图5可以看到，对于位温场的插值来说，线性插值（图5a）的均方根误差主要集中在模式的中高层，且低纬度地区明显大于高纬度地区。主要原因是在模式垂直方向的分层中，越往高层格距越大；而且，低纬地区对流强烈，导致位温场的变化梯度比高纬地区大。以上两点导致线性插值无法合理拟合位温的实际分布，插值精度较低。采用传统的三次样条插值（图5b）之后，虽然均方根误差也呈现出类似的分布形态，但数值明显变小，约为线性插值的1/4。另外，线性插值时存在于中低层的误差，在采用传统的三次样条插值之后也得到了较好控制。

图5 插值前后位温场均方根误差的全球纬向平均垂直剖面（单位：℃）（a）线性插值，（b）传统的三次样条插值Fig.5 The zonal mean vertical distribution of temperature root mean square error after interpolation（unit：℃）（a）linear interpolation，（b）traditional cubic spline interpolation

与位温不同的是，水汽从模式的低层向上大致按照指数规律递减，高层几乎没有水汽，所以水汽场插值的均方根误差主要集中于中低层（图6）。水汽场均方根误差的大值区出现在模式的中层，低纬度地区的误差也要大于高纬度地区，这主要是因为模式中层垂直分层较低层稀疏，插值误差较大；且中低纬度地区对流旺盛。采用单调的三次样条插值（图6b）之后，虽然误差也呈现出类似的分布形态，但数值相对线性插值（图6a）明显减小。

通过GRAPES模式理想试验可以看到，在动力框架与物理过程接口处应用样条插值进行整层和半层之间物理量的相互转化之后，可以明显减小插值过程的偏差，有效提高模式物理过程的反馈精度。

图6 插值前后水汽场均方根误差的全球纬向平均垂直剖面（单位：g·kg-1）（a）线性插值，（b）单调的三次样条插值Fig.6 The zonal mean vertical distribution of water vapor root mean square error after interpolation（unit：g·kg-1）（a）linear interpolation，（b）monotonic cubilc spline interpolation

3 GRAPES模式的批量预报试验

理想试验部分已经将样条插值接入GRAPES_GFS中物理过程与动力框架相互反馈的部分，现在进一步通过批量的实际预报试验，检验物理过程反馈精度提高以后，对模式实际预报效果的改善。

批量试验的时间范围2009年7月1—20日，每日12：00起报，积分8 d，水平分辨率为1.0°×1.0°，垂直方向36层，时间步长600 s。积分初始场选择FNL分析资料，不做变分同化过程。试验所选取的物理过程参数化方案包括：WSM6微物理方案、RRTMG长短波辐射方案、Common Land Model（Co LM）陆面过程方案、MRF边界层参数化方案、SAS积云对流参数化方案等。下面通过对两种不同插值方案情况下温度场、水汽场、高度场预报效果的对比，检验动力框架与物理过程接口处应用样条插值之后，对模式实际预报效果的改善。

图7 2009年7月7—20日批量试验72 h温度场预报与FNL的平均偏差（单位：K，阴影为偏差，灰线为预报场）（a）线性插值700 hPa的偏差，（b）传统的三次样条插值700 hPa的偏差，（c）线性插值偏差的纬向平均垂直剖面，（d）传统的三次样条插值偏差的纬向平均垂直剖面Fig.7 Average deviation of 72-hour temperature forecast from bulk test against FNL data during 7—20 July 2009（unit：K，shaded for deviation，gray line for forecast field）（a）linear interpolation of 700 hPa deviation field，（b）traditional cubic spline interpolation of 700 h Pa deviation field，（c）zonal mean deviation vertical profile of linear interpolation，（d）zonal mean deviation vertical profile of traditional cubic spline interpolation

由图7温度场偏差的对比可以看出，原来的线性插值方案在北半球的中纬度区域有较大的正偏差，如图7a亚欧大陆的中部地区700 hPa温度场平均偏高1～3℃，图7c中30°～60°N之间500 h Pa以下为明显的正偏差区。当采用样条插值之后，温度场的平均偏差明显减小，亚欧大陆正偏差区的偏差减小了1～2℃，纬向平均偏差的垂直剖面图中，北半球中纬度地区低层的正偏差区域也几乎消失。但同时也看到，在采用了样条插值之后，低纬度地区中高层温度场的偏差略有增大。

由图8湿度场预报结果对比可以看出，采用单调样条插值之后，湿度场的预报结果略有改善，低层预报偏差略有减小。在偏差纬向平均垂直剖面图中，采用样条插值之后，整个中纬度、低纬度地区低层的正偏差都有所缓解，北半球中纬度地区中层的偏差也有所减小，其他区域预报效果无明显变化。

在动力框架与物理过程的接口处位温和水物质的插值过程中采用样条插值之后，会改善温度场与湿度场的预报效果，通过模式中的动力与热力过程，又会进一步的影响风场、高度场的模拟。预报场相对于分析场的距平相关系数与均方根误差可以很好代表模式的预报能力。图9展示了采用样条插值之后，对北半球高度场预报效果的改进。可以看到，在北半球的低层、中层、高层高度场的距平相关系数都有所增加，均方根误差都有所减小，其中低层的改进效果略明显于中层和高层。南半球的对比结果与北半球类似。

图8 2009年7月7—20日批量试验72 h湿度场预报与FNL的偏差（单位：g·kg-1，图中阴影为偏差，灰线为预报场）（a）线性插值700 hPa的偏差，（b）单调的三次样条插值700 hPa的偏差，（c）线性插值偏差的纬向平均垂直剖面，（d）单调的三次样条插值偏差的纬向平均垂直剖面Fig.8 Average deviation of 72-hour humidity forecast from bulk test against FNL data during 7—20 July 2009（unit：g·kg-1，shaded for deviation，gray line for forecast field）（a）linear interpolation of 700 hPa deviation field，（b）monotonic cubic spline interpolation of 700 h Pa deviation field，（c）zonal mean deviation vertical profile of linear interpolation，（d）zonal mean deviation vertical profile of monotonic cubic spline interpolation

图9 2009年7月7—20日北半球高度场各层的距平相关系数与均方根误差Fig.9 The hight anomaly correlation coefficient and root mean square error in the Northern Hemisphere during 7—20 July 2009

4 结论与讨论

由理想试验以及批量预报试验可以看到，在GRAPES_GFS的动力框架与物理过程接口处，将位温和水物质在整层与半层之间相互插值的方案由线性插值分别改变为传统的三次样条插值和单调的三次样条插值之后，有效减小了插值过程的偏差，提高了模式物理过程反馈的精度，改进了模式对温度场、湿度场、高度场等的预报效果，提升了模式的综合预报性能。得到以下主要结论：

1）对于连续、空间变化梯度较小的物理量，如位温，采用传统的三次样条插值方法效果较好，可以得到光滑、精确的模拟结果；对于准不连续、空间变化梯度大的物理量，如水物质，采用单调的三次样条插值方法更为适合，既可保证解的精度，又可兼顾单调性、光滑性。

2）在GRAPES_GFS中动力框架与物理过程接口处的插值过程中采用样条插值，可以有效减小位温场和水物质场的插值偏差，提高物理过程的反馈精度，改善模式对温度场和水物质场的模拟效果。其中对北半球中纬度地区中低层温度场预报效果的改进尤为明显。

3）在使用样条插值减小了模式中位温场和水物质场的插值偏差之后，通过模式中的动力与热力过程，可以进一步改善模式高度场等的模拟效果，提升模式的综合预报性能。

本研究在取得了一些有意义结果的同时，也看到了存在的一些问题：对温度场和水物质场分别采用传统的三次样条插值和单调的三次样条插值方法之后，水汽场预报效果的改善没有温度场明显。其原因可能是水物质在垂直方向的分布基本上遵循指数递减的规律，样条插值可能不是最适合这种分布型的插值方法，可以考虑在水物质插值时采用其他更加适合指数分布的方法。采用了传统的三次样条插值之后，相对于线性插值，赤道地区高层温度场的偏差有所增大，具体原因和改进方法仍需更深入的研究。

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Application of Spline Interpolation to Physical Process Feedback Accuracy Improvement of GRAPES Model

Su Yong1）2）3）Shen Xueshun3）Zhang Qian4）Liu Junjie5）

1）（Chinese Academy of Meteorological Sciences，Beijing 100081）
2）（Department of Atmospheric Sciences，Nanjing University of Information&Technology，Nanjing 210044）
3）（Numerical Prediction Center of CMA，Beijing 100081）
4）（CMA Center for Communication and Outreach，Beijing 100081）
5）（Department of Hydrographical Meteorology，Nanjing University of Information&Technology，Nanjing 210044）

The variable distribution in the vertical direction of GRAPES model’s dynamic core adopts Charney-Phillips method.Vertical velocity，potential temperature，water substance are calculated at the whole layer，horizontal velocity and dimensionless pressure are calculated at the half layer，but in physical process，all the variables are placed on the half layer.In order to satisfy the needs of the central difference calculations and better representation of the physical processes in the boundary layer，a nonuniform stratification is adopted，which is dense near the ground，and the higher the more sparse.Therefore，in GRAPES model，linear interpolation is needed to convert variables between whole and half layers before and after the physical process calculation.

For the weather prediction model of various international centers，Lorenz layers are used in the physical part and all the variables are on the half layer.Most models also use Lorenz layers in the dynamic core，except for the Unified Model of the UK Meteorological Office，which chooses Charney-Philips layer for dy-namic core and uses linear interpolation in dealing with the similar problem of interpolation between whole and half layers.

Linear interpolation is relatively simple，but the accuracy is not high，and it will cause deviation especially for lower and higher layers.The cumulative deviation in the temperature and humidity fields will further impact the height and wind fields.In addition，the interpolation process of water substance is also required to ensure monotonic，but the traditional cubic spline interpolation，polynomial interpolation，cannot be guaranteed monotonic，which will bring negative water，instability and other issues.

In order to solve the problems above，the traditional cubic spline interpolation method is introduced for potential temperature interpolation in GRAPES model.After some special handling of the boundary value based on the traditional one，a monotonic cubic spline interpolation method is established for water substance，by which the forecast error of potential temperature and humidity fields in the GRAPES model is effectively reduced.The feedback accuracy of physical process is improved，and the model comprehensive performance is also enhanced.

GRAPES model；linear interpolation；spline interpolation；monotonic

苏勇，沈学顺，张倩，等.应用样条插值提高GRAPES模式物理过程反馈精度.应用气象学报，2014，25（2）：202-211.

2013-01-15收到，2013-12-20收到再改稿。

“十二五”国家科技支撑计划（2012BAC22B01），公益性行业（气象）科研专项（GYHY201006013），国家自然科学基金项目（41275103，41375108，41205078），国家自然科学基金创新研究群体科学基金项目（4092103），江苏省普通高校研究生科研创新计划（CXLX12_0491）

*通信作者，email：shenxs＠cam.gov.cn