基于数学期望的决策模型

黑龙江 张春红 王家宇 田 宇

数学模型是针对现实世界的某一特定现象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地描述出来的一种数学结构。数学期望简称期望，又称均值，是随机变量最基本的特征之一，是反映随机变量总体取值平均水平的一个重要数字特征。基于数学期望这一数学工具建立的各种决策模型，在实际中有着广泛的重要应用，为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。

一、数学期望的基本知识

定义1（离散型随机变量的数学期）：设离散型随机变量的分布律为

P｛X=xK｝=Pkk=1、2、3…

若级数

定义3（方差和标准差）：若随机变量X2的数学期望E(X2)存在，则称偏差平方(X-E(X))2的数学期望E[X-E(X)]2为随机变量(或相应分布)的方差，记为：

二、以数学期望为基础建立的各种决策模型

1.最优存储决策

已知一商家在一展销活动期间供应一种商品，正常进价50元/件，售价56元/件，若销售势头良好，很快销售一空，需紧急从其他渠道调货，调货价格52元/件，若货物供应量过大，活动结束后造成货物积压，每件需在现有价格上降价10元出售。已知该商品的需求量X服从[2000-6000]上的均匀分布，商家应该准备多少货源才能获得最佳收益？

因为需求量X服从[2000-6000]上的均匀分布，故需求量X的概率密度函数为

不妨设存储量为y，则2000≤y≤6000

储量为y时利润为

期望利润为

取近似值y≈2700（件）

即储存量大约是2700件时，期望利润最大且最大期望利润为

从上述的计算可知由于一旦造成商品积压，将有损失，所以不是进货越多利润越大。

2.商业营销决策

作为一种营销策略，厂家经常推出一些有奖销售活动，以扩大销售量，现有一儿童食品生产厂家欲采用将印有各种图案的小卡片作为赠券放入每一包装袋中，集齐一套有奖作为促销模式。这里假设每套张且装有各种不同类型的卡片的袋子出厂时是均匀混合的。为了使该方案可行，厂家事先必须推算出顾客搜集齐这些卡片的难易程度，即平均需买多少袋能集齐，然后才能决定设置的奖项应该多大。

实际上，该问题与下列问题同属一个模型，即：

有一个盒子装有标号为1-n的n张不同卡片，每次独立的从盒子中取一张，看后放回，并记录取出卡片的标号，问题是平均需抽多少次才能抽齐这张不同的卡片。

引入随机变量Xk(k=1,2,3,…,i…):表示已经取得k-1张不同花色的卡片后为获得第k张卡片所需的抽检次数，若设每次抽取成功率为Pk，则易得Xk服从参数为Pk的几何分布，且相互独立。

下求 E(Xk)(k=1,2,3,…,i…)

只需先求Xk的分布列

设A={收集到第k张卡片}则

故P(Xk=1)=P(A)=Pk

P(Xk=2P(A)=(1-Pk)Pk

即取得第k张型卡片所需的平均抽取次数为

故取到n张不同卡片的平均次数

建立了数学模型后我们可知

当n=10时 E(X)=10In10=23.03≈23

当n=15时 E(X)=15In15=40.62≈41

当n=20时 E(X)=20In20=59.91≈60

当n=30时 E(X)=30In30=102

当n=50时 E(X)=50In50=195.6≈196

当n=100时 E(X)=100In100=460.51≈461

当n=200时 E(X)=200In200=1059.67≈1060

由此可知，期望次数随着n的增大而快速增加，即使厂家没有故意让某些卡片少一些。但只要n足够大，要收集到整套的卡片还是相当困难的。比如，厂家若设置水浒108将作为一整套卡片，为集齐该套卡片顾客需平均购买大约

E(X)=108In108=505.67≈500（袋）

食品。依据该数学模型的计算结果厂家制定营销计划，对后期的营销成果做到心中有数。

3.经济方案决策

在商业活动中偷税漏税可非法获益，造成国家财政损失。国家为了防止税收流失,通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款。统计发现，偷漏税者被查出的概率为0.2。这时罚款额度n至少多大才能起到惩罚作用，让我们为决策者提供决策依据。

引入随机变量X，X表示偷税时商家的收益数，x为假设偷税额，则X的数学期望为

E(X)=0.8x-0.2x-0.2nx

=0.2x(3-n)

要使处罚行之有效，必须使逃税者无利可图，即平均收益E(X)＜0

由上式知3-n＜0

故n>3

也就是说一旦查出有偷税行为，执法者至少要对偷税者处以3倍以上的罚款，才能起到防止偷税漏税现象发生的作用。

4.项目投资决策

现有一企业拟投资两个项目，分别生产甲产品与乙产品，其收益与市场状态相关。若把该项目生产的产品未来市场销售形势列为好、中、差3个等级，根据市场调查研究发现其发生概率均分别为0.3、0.5、0.2，但相应收益不同。详见下表：

根据这些信息该企业投资哪一个项目好呢？

我们先考虑一下平均收益，即其数学期望值：

从平均收益上看，生产甲产品比生产乙产品要多赢利15万元。

我们知道方差、标准差越大，收益的波动就越大，从而风险越大。因此，在已知该项目的数学期望后还应考察其方差、标准差这些指标才能进行进一步的评估。

从方差标准差来看，生产乙产品减少风险约32%，但收入相应减少15万。

这类问题是根据期望利润最大的原则进行决策，是建立在风险中性的基础上，也是风险决策的前提。如果有两个方案都能使期望收益达到最大，那么就应该比较收益的方差（风险），风险较小较优。所以，在风险投资决策中，应综合考虑收益的期望和方差，将超额收益（超过无风险收益的部分）作为承担风险的补偿。选择最优方案才是最合理的，这是我们为决策者提供的决策理论依据。

[1]张少华.数学期望在农业生产中的应用[J].安徽农业科学，2011（8）.

[2]黄旭玲.利用随机变量的和式分解计算数学期望[J].玉林师范学院学报（自然科学)，2003(4).

[3]盛骤，等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001，12.

[4]王凤英，等.数学期望在经济决策中的应用[J].商场现代化，2009，（2）.