三维力作用下人体立体刚体模型的太极拳力学分析

顾 杰，郭振兴，李恩杰

（邯郸学院 太极文化学院，河北 邯郸 056005）

太极文化研究

三维力作用下人体立体刚体模型的太极拳力学分析

顾 杰，郭振兴，李恩杰

（邯郸学院 太极文化学院，河北 邯郸 056005）

在平面模型的基础上建立了人体立体刚体模型，对太极拳进行了更加全面和更加深入的力学分析。平面模型虽然计算便捷，但只能讨论平面运动，难以对复杂动作进行力学分析。太极拳是 “一动俱动，一静俱静”的人体运动，人体是具有六个自由度的刚体，作用于人体上有三个方向的力和三个方向的力矩。只有立体模型才能对这个体系作完整的力学分析。立体模型简括了人体的立体构架、质量、转动惯量、速度、角速度、攻击力、重力、地面反力、摩擦力等因素，并引入了深方向的维度，填补了平面刚体模型的不足。立体模型运用更加精细的运算，分析了转腰胯、翻胯、旋胯、等复杂动作的力学原理；分析了顺弓步与拗弓步的力学区别；分析了步宽对功架的力学影响；为规范太极拳动作及技术提供了更科学的方法和更充分的理论依据。

太极拳；人体立体刚体模型；力学分析

引 言

平面模型有一定的局限性，为此本文建立了立体模型，而能更准确的应用于太极拳的力学分析，得出了几个重要结论和平面模型的结论相仿，但在量的运算上更符合实际：即人体的重心要在支撑面内以维持稳定平衡；打滑和失根是导致失控的两种临界条件；在临界条件内人体平衡，超过任何一个临界条件将最终导致人体不平衡；攻击力来自脚底的摩擦力、正压力、人体整体的动量和肢体相对运动的动量；内劲造就动量和传递力。 还通过数学计算，推导出太极拳套路训练和推手竞技中保持平衡的临界条件，可以用立体模型证明太极拳“发劲如放箭”、“引进落空”、“牵动四两拨千斤”等技术技巧的力学原理。太极拳属于体育，是人的肢体运动和本体反应；太极拳属于武术，是人的心理活动和对抗行动；太极拳蕴含力学原理，是人体与人体、人体与大地的相互作用。运用现代力学理论分析太极拳的技术动作，揭示太极拳的奥妙，探索一条运用现代科技研究太极拳的途径，对于促进太极拳的科学化发展和国际化传播具有很强的现实意义和深远意义。

一、顺步人体立体刚体模型

根据力学分析的一般要求和用于分析太极拳的需要，采用隔离体分析。

把人体简化为一个立体刚体，见图 1。各肢体简化成刚杆，刚杆的接点是刚性的，脚和地面的接触处被简化为点。刚体的质量是m0，位于刚体的质心。人体的质心和重心重合。图中

图1 顺步立体刚体模型

图1的模型右脚在前，左脚在后，重心在两脚的连线上。图1中Lsz为正，表示手在重心的右方，所以图1是顺步模型。注意，平面模型[1][2]把人体简化到一个平面，无法分别顺步还是拗步。只有立体模型才能分析顺步和拗步的异同。本节讨论顺步，后面要讨论拗步，然后把这两种情况在数学上统一表示。

图中的人体以弓步为形象，但模型对其它步型如坐步、虚步及任何功架都适用。步型的选择就是参数的选择。比如，前脚距离Lqx小于后脚距离Lhx为弓步。前脚距离Lqx大于后脚距离Lhx则为坐步。前脚距离Lqx远大于后脚距离Lhx则可为虚步。功架的高低主要由两脚的前后距离决定。功架的宽度由横向距离Lqz和Lhz来决定，宽度的引入是立体模型和平面模型的关键不同之处。所以图1的模型可以是顺弓步，顺坐步，顺虚步，等等。

平面模型把人体限制在平面内，数学上假定在平面内的刚度无限大。所以在讨论面内的运动时，平面模型能得出合理的结论。如果有垂直于平面的外力和运动时，平面模型就不太准确。而立体模型在宽方向有客观的度量，侧向刚度会在公式中体现出来，因此运算比较合理。但正因为宽方向维度的引入，公式颇为复杂。运算量成指数增长。

现在我们对我方隔离体作力学分析，见图1。先讨论和平动有关的摩擦力对人体的动力学影响。

牛顿第二定律是外力之和等于质量与加速度乘积之和：

图2 顺步模型俯视图

在横向Z将框架限制在一个平面内，我们得到平面模型的特例，（29）简化变为和文献[1][2]一致的公式。

二、三维传递力作用下顺右弓步的力学分析

我方和对方接触，接触处的力有大小方向。一般情况下力有三个方向的分量。比如杨式太极拳的 斜飞 ，我方向前、上、横方向攻击对方，见图3。

图3 我方弓步斜飞势

公式（29）包括在接触处三种力的效果：由脚根传递来的力、人体的动量的碰撞力、肢体相对运动动量的碰撞力。先分析只有传递力的情况，将整体和相对加速度设为零，（29）式可得到很多简化。

弓步的输入是，

将(30)代入（29）计算结果如表1。

表1 只有传递力时顺弓步的攻击力、正压力和摩擦力

图4是前后脚正压力随输入Fx变化的曲线。

图4 弓步斜飞势正压力曲线

图5是前后脚力线角正切随输入Fx变化的曲线。

图5 弓步斜飞势力线角曲线

本例中水平力Fx是主要输入，垂直力和横向力按比例输入。

临界值应由（29）中前脚正压力为零 Nq=0，或后脚正压力为零 Nh=0，或前脚力线角正切等于摩擦系数tan φq=μ，或后脚力线角正切等于摩擦系数 tan φh=μ四个方程解出水平力Fx，即临界力。但是公式（29）很复杂，完美的解不可能用公式来表达。

这里用的是优越表逆推法。

先将Fx作为输入，用公式（29）计算前后脚正压力 (Nq, Nh)，画出曲线，反过来寻找正压力为零时的Fx输入值。类似地，先将Fx作为输入，用公式（29）计算前后脚力线角正切 (tan φq,tan φh)，画出曲线，寻找力线角正切等于摩擦系数时的Fx输入值。四个临界条件都有可能发生，最早发生的临界条件起控制作用。

由表1和图4图5可见前脚失根起控制作用。临界失根力为 Fx:Fy:Fz=236:71:94牛顿。为了比较细致的计算临界值，输入的间隔是不均匀的（见表1第一栏）。

由表1看出，第二、三个临界条件是两脚打滑。注意，力线角可以在+/-180度内取值，所以其正切的符号可正可负，重要的是量值等于摩擦系数。本例中在 Fx=320时前脚的力线角正切 tan φq=-μ，前脚开始打滑。当然本例中该条件不起控制作用。

该算例以水平力：垂直力：横向力=1:0.3:0.4来计算。实际发力不一定按这个比例，而是在需要的方向发力。

表2列出了多向和单向力的计算结果。

表2中三向力的数值（第二栏）远大于只有水平力（第三栏）及只有横向力（第五栏），这是因为发力方向和两脚连线较接近。

表2 只有传递力、没有整体和相对动量时顺弓步的临界攻击力

文献[2]提出平面刚体模型的分析。相比之下，本文立体模型的分析和平面模型的分析趋势一致，但对其有所修正。下面我们来仔细讨论。表 3列出了用平面模型算出的相应结果。平面模型有三个基本假定：1、人体在纸面内。2、用垂直于纸面的横向力推不倒人体。3、垂直于纸面的摩擦力由Y向力矩来推算。第一个假定比较直观，容易理解。第二个假定需要一些解释。平面模型假定前后脚和地面的连接是两个点，两点连成的线也在平面内。人站在这条假象线上只有瞬间的稳定，任何微小的横向力都能推倒人体。实际上人体的侧向稳定能力由两脚间的步宽及脚本身的宽度来提供，但在平面模型中这两种宽度都变成了零。为了避免模型在数学上失稳，平面模型避免对此连线使用转动定律，或者说假定人体绕该连线有无限大的转动刚度。

现在我们可以来比较一下表2和表3。最后一栏在仅有横向力时平面模型的横向攻击力是186牛顿，立体模型的横向攻击力是76牛顿，误差比是186/76=2.4。由于假定2，平面模型过高的估计了自己的能力。第四栏在仅有垂向力时平面模型的垂直向攻击力是1765牛顿，立体模型的垂直攻击力是353牛顿，误差比是1765/353=5。由于假定 1，平面模型认为手和脚在一个平面内；而立体模型则客观的认为接手处不一定在两脚连线的垂面内。由此平面模型极高的估计了自己的垂向能力。第三栏在仅有水平力时平面模型的水平攻击力是292牛顿，立体模型的水平攻击力是172牛顿，误差比是292/172=1.7。由于假定1，平面模型认为手和脚在一个平面内；而立体顺步模型则客观的认为接手处不一定在两脚连线的垂面内，而且手的水平攻击方向和两脚连线的垂面有一个明显的夹角。由此平面模型又高估计了自己的水平能力，但是平面模型面内的性能在本例中是主要的，所以其偏差比例没有横向力和垂直力高。

第二栏中平面模型的三向攻击力是 221:64:85牛顿，立体模型的三向攻击力是 236:71:94牛顿，误差比是212/236=0.9。这回是低估了？注意立体模型的第一临界条件是前脚失根，而平面模型的第一临界条件是前脚打滑。为等价比较，我们在表 3第四、五行中列出了平面模型的前脚失根的结果，它们是 535:161:214，误差比是535/236=2.3。就这个比法，平面模型还是高估了自己的三维攻击力。由于假定3，脚底摩擦力的承受能力和两脚的间距成正比。平面模型的间距取1米。由于加入了步宽，立体模型两脚的间距是米。所以就打滑而论，用平面模型计算出的攻击力较立体模型的低。由表2和表3的第二栏可见，立体模型失根先于打滑，而平面模型正相反，这是受三个假定及输入人体尺度的综合影响。当然，第一临界条件起控制作用，因此三向攻击力的计算中平面模型和立体模型的误差比还是0.9。

表3 平面模型的结果

立体模型考虑了步宽的影响、考虑了手和脚的相对位置关系，得出的公式颇为复杂，但比平面模型要合理得多。当然立体模型也有局限性。前面说平面模型中，假定用垂直于纸面的横向力推不倒人体，我们可以把这个纸面这个平面称为奇面。立体模型也有一个奇面，这奇面是两脚连线的垂面。和平面模型相比，立体模型的奇面和纸面有一个夹角。这个夹角在数学上体现了步宽的影响，手和奇面的距离面也有了数学表述，因此模型的力学性能得到了改善。

人体是具有六个自由度的刚体，作用于人体上有三个方向的力和三个方向的力矩。只有立体模型才能对这个体系作完整的力学分析。虽然转了一个角度，奇面仍然存在，也就是说，立体模型仍然要假定“用垂直于两脚连线垂面的斜向力推不倒人体”。立体模型仍然假定前后脚和地面的交接处是两个点。较准确的模型应该计入脚的宽度。但如何计入脚的宽度呢？譬如把每一脚简化为两个点，那么人体就有四个点和地面接触。三个点为稳定支撑，四个点限制过度。限制过度将使力学计算非常复杂。

另外，现在用的是刚体模型，即人体内在的抵抗力是无穷的。在论文[3]中我们提出了人体的三铰拱模型。在那里我们把胯部简化为一个铰。其实胯部既不是刚接，也不是铰接，而是介于两种理想接点之间的粘弹性连接。人体是生物体，胯部有骨头、肌肉、韧带、血液、等等，所以胯部宜用粘弹体描述。粘弹体是比弹性体或塑性体更复杂的力学材料。

那么人体的其他部分怎么办？比如说腿、腰、胸、肩、手？我们可以建立有限元模型，即按照人体的力学性能，将人体划分成一些列单元，加入边界条件，用数值运算法求解。本文只能指出一个方向，有更多的研究工作等在前面。

平面模型、立体模型、有限元模型都要有实验证明。人体的参数需要通过度量来建立一个数据库。进而可以研讨高体能和高技术的对抗。摩擦力、摩擦系数需要测量，各种鞋底和地面的关系由摩擦系数来表述。现行太极鞋漂亮、合脚、耐久，但鞋底和地面的关系缺少定量的研究。要用传感器，测力器来测量打太极拳或推手时的力学参量，测量力、力矩、速度、加速度、功率、等等，因而可以验证模型的适用范围。模型和实验都是用来指导应用的， 验证实际的攻防能力，进而设计、优化新的招式。医学上，体育运动学上的仪器可以帮助测定太极拳的健康和养生效果。将太极拳和现代科学联系起来有广大的前景，有理论和实际的重要意义。

三、三维传递力和整体动量作用下顺右弓步模型的分析

整体动量增加攻击力。综合三维力和整体动量的效果，删除相对动量的部分引起的加速度，（29）式得到简化。弓步纳入整体动量的输入是，

图6示出了我方有整体动量的示意图。

图6 我方弓步整体动量斜飞势

将(31)代入（29）计算结果如表4。

表4 有传递力和整体动量，没有相对动量时右弓步的攻击力、正压力和摩擦力

由表可见前脚打滑 其控制作用。临界打滑力为 Fx:Fy:Fz=461:138:184牛顿。由表4看出，第二临界条件是前脚失根、第三个临界条件是后脚打滑。

该算例以水平力：垂直力：横向力=1:0.3:0.4来计算。表5列出了多向和单向力和速度时的计算结果。

表5 有传递力和整体动量，没有相对动量时右弓步的临界攻击力

比较表5和表2，可见整体动量很大地增加弓步的攻击力（除了垂直向）。

表5第6、7栏是有整体旋转动量时的临界力。经典理论强调腰的动态作用。现代认为是腰胯的联合作用。下盘稳住，翻胯、转腰胯、旋胯使上盘具有角动量。该角动量和对方碰撞而产生攻击力。第6栏是水平攻击力，第7栏是横向攻击力。

四、三维传递力和整体及相对动量作用下顺右弓步模型的分析

相对动量增加攻击力。综合三维力、整体动量和相对动量的效果，（29）成立。弓步纳入相对动量的输入是：

图7示出了我方加有相对动量的示意图。

图7 我方弓步加入相对动量斜飞势

将(32)代入（29）计算结果如表6。

比较表6和表4，水平攻击力增加了100牛顿时，正压力和摩擦力维持原值。即在同样的脚底条件下，相对动量增加临界值。

由表6可见前脚打滑 其控制作用。临界打滑力为 Fx:Fy:Fz=561:168:222牛顿。由表5看出，第二临界条件是前脚失根、第三个临界条件是后脚打滑。

表6 有传递力和整体及相对动量时右弓步的攻击力、正压力和摩擦力

该算例以水平力：垂直力：横向力=1:0.3:0.4来计算。表7列出了多向和单向力和速度时的计算结果。

表7 有传递力和整体及相对动量时右弓步的临界攻击力

比较表7和表5，可见相对动量增加弓步的攻击力。表7第6和第7栏是只有整体旋转动量加相对动量时的临界力。

五、拗步立体刚体模型

图8是拗步刚体模型，左脚在前，右脚在后，手在右方。例如杨式左搂膝拗步，左脚和右手在前。由模型我们得到拗步刚体模型的公式（推导从略）。

图6 拗步立体刚体模型

概括平衡条件和解，我们得到拗步模型，

六、顺步和拗步的统一数学模型

顺步模型图1和图2中重心到前脚的横向距离Lqz由重心指向外；重心到后脚的横向距离Lhz由重心指向内。拗步模型图8中重心到前脚的横向距离Lqz由重心指向内；重心到后脚的横向距离Lhz由重心指向外。两者方向相反。拗步模型图1和图2中两脚间距宽长比总是取正值。拗步模型图8中两脚间距宽长比也总是取正值。如果我们把负的Lqz和Lhz输入顺步模型，则图1变成图8；宽长比取负值。即负的Lqz和Lhz输入顺步模型使其变为拗步模型。反之也成立，即负的Lqz和Lhz输入拗步模型使其变为顺步模型（29）式。如此我们极大地简化了软件设计。我们只需一个模型，将负值代入以得到另一个模型。我们取顺步模型为基模，定义符号规则而得到统一模型，见表8。

表8 右步左步统一模型

[1]顾杰、郭振兴、吕蒙“用人体平面刚体模型分析太极拳在水平作用力下的力学原理” 邯郸学院学报，2015年第2期82-107页。

[2]顾杰、郭振兴、马秀杰“用人体平面刚体模型分析太极拳在三维作用力下的力学原理” 邯郸学院学报，2015年第4期。

[3]顾杰、王万宾、郭振兴、杨大卫 “太极拳中膝关节弯曲的力学” 中华武术研究 2016 待发。

（责任编辑：贾建钢 校对：朱艳红）

G852.11

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1673-2030(2016)02-0067-21

2016-01-05

顾杰（1955—），男，江苏苏州人，邯郸学院太极文化学院客座教授，美国通用汽车公司高级工程师，美国奥克兰大学机械制造博士；郭振兴（1950—），男，河北邯郸人，邯郸学院太极文化学院原院长，高级政工师。