太极拳发劲的动量转递解析

顾 杰，郭振兴

（邯郸学院 太极文化学院，河北 邯郸 056005）

一、引言

本文从力学的角度探讨了太极拳中“劲”和“劲法”的定义：劲是人体的动量；劲法是人体动量的有机构成和有效使用。其实这个定义不但适用于太极拳，也适用于其他拳种。在太极推手或自由搏击时，双方的身体接触是一个动量传递过程。动量传递过程是将我方的一部分动量转换传递给对方，同时对方将一部分动量转换传递给我方。太极拳推手的精妙在于三个方面：如何有意识的造成我方动量；如何将作用冲量和对方动量叠加而使对方失稳；如何在反作用冲量叠加于我方动量时我方仍然保持稳定。本文详细论述了太极拳掤捋挤按四种主要技法的动量传递过程。

二、拳劲可用力学概念动量来定量描述

在力学中，（线）动量是指物体质量和速度的乘积（见附录二）。据有关报道，李小龙（1940—1973，截拳道创始人）能在一秒钟内发十拳。2000年金氏世界纪录（Guinness Book of Records）记载：李小龙一拳能打出400磅的力量，与拳王阿里相同，而阿里的体重是260 磅，李小龙的体重只有130 多磅。这是说李小龙和阿里都能营造同样的拳劲。但阿里的体重多李小龙一倍。可以推论，李小龙的拳头没有阿里的大，李小龙的后盾（支持手的身体）也没有阿里的大。这是说李小龙拳劲的物质较少。或者说李小龙劲的质量（见附录一），力学上用质量表示物质的多少）没有阿里劲的质量大。那为什么李小龙拳劲和阿里拳劲一样呢？那是因为李小龙拳劲的速度高。李小龙拳劲的高速度补足了质量的不足之处。由此可见拳劲取决于质量和速度，两者缺一不可。我们可以把打拳的拳劲定义为质量和速度的乘积。所以，拳劲可用力学概念动量来定量描述。

三、两方对抗是动量的对抗

用动量定义拳劲既科学，也符合常识。假如有两个人一个是大个子，一个是小个子，都学过一模一样的武术，有一模一样的拳劲。大个和小个对抗，有人赌大个赢 ，有人却给小个加油。大个重，要是单纯较力，大个有优势。小个灵活，要是比快慢，小个有优势。输赢要看谁将自己的优势运用的恰到好处。从力学上分析，大个占质量的优势，小个占速度的优势。三个回合下来，可能还是平手。大个和小个的对抗，用力学术语来说是大个的动量（见附录二）和小个的动量对抗。他们打了个平手是因为他们的动量一样，大个质量大但速度慢，小个质量小但速度快。要想赢得对抗的胜利，需要既有高质量又有高速度，需要有足够大的动量。动量是质量和速度的乘积（见附录二）。作为个体是增速度，还是增体重，要因人而宜，只要总动量有增加就行。前面仅是定性讨论，实际对抗要复杂的多。因为动量既有大小，还有方向，我们将在后面的文章中作相关的讨论。

四、法向力和切向力

在力学中，力是指物体之间的相互作用（见附录三），也称作用力。由此可知，对抗双方接触前不会有相互的作用力存在；相互的作用力只能产生于两方接触时和接触过程中；随着双方接触的脱离，相互的作用力也随之消失。李小龙一拳能打出400 磅的力，这个力产生于李小龙的拳和被打的物体间。李小龙打出的力当然和李小龙的发劲功能有极大关系，但是这力也和被打物体的状况有关。假如李小龙猛击空中的气球，肯定打不出400磅力，恐怕都不会有4 磅。产生400 磅力的拳应该是打在一个固定在墙上的传感器上。李小龙发出的拳有很高的速度，拳和墙碰撞时拳的速度很快变为零，因而产生了很大的力。由此可见，力的大小和碰撞两方的质量和运动状况有关。

在力的特点中，除了大小还有方向。力的方向通常用法向力和切向力表达。数学上，力可以用矢量来表达。李小龙的拳应该从正方打在墙上才能打出400 磅。如果墙有点斜，这400 磅就会有折扣。太极拳对抗中两方的关系同样受到力学定律的约束。下面讨论一下力的方向和大小与太极拳的化劲和发劲的关系。

作用力通常由法向力和切向力合成。例如，对方右掌背以掤劲向我正胸进招，我方以右掌根粘住对方，进而向右捋（见图1）。我方要做横向的捋，但正向的掤劲不能丢。两方对掤产生一个法向力。这个法向力乘以摩擦系数就得出摩擦力。这里摩擦力沿切向，也就是捋的方向。我方用切向摩擦力将对方向横向捋。我方给对方的作用力是法向力和切向力的矢量和（平行四边形的对角边是另两边的矢量和）。

再如：对方右掌按我正胸，我转胸以斜向粘住对方（见图2 ）。法向力沿胸法线，摩擦力沿胸切线向右。我方给对方的作用力是法向力和摩擦力的矢量和，该力斜指对方。我们可以把该作用力沿对方按的方向和垂直方向分解。沿对方按方向反向的分量是我方的抗力；垂直分量就是反弹力，反弹力把对方推向右方。

前面两例讨论的都是水平力。一般情况下力有三个方向的分量，或者说力是一个三维矢量。例如，海底针下插力有向下的垂直分量，玉女穿梭前臂的掤有向上的垂直分量，等等。一个三维作用力仍能由一个法向力和一个切向力合成。这个三维作用力又能分解成抗力、顺力和另一个与之垂直的横力。抗力与对方的运动方向相反，是阻止对方的运动。顺力与对方的运动方向相同，是加速对方的运动。横力与对方运动方向垂直，是改变对方的运动方向。运用顺力和横力发放对方，体现了太极拳名言“四两拨千斤”的力学原理。

五、劲是人体的动量

“劲”和“发劲”是太极拳常用的概念，但对其定义和解释多有不同，常与“力”和“发力”相混淆。仍分析李小龙发劲的例子，李小龙发一样的劲，对气球和墙却产生很不一样的作用力。可见李小龙发劲的劲和作用力不是一回事。从力学的角度看，“发劲”是拳者自身的过程，是自制的功夫；“发力”是拳者所发之劲作用到对方时对对方产生作用力的过程，是自制加制人的功夫。这样看，“发劲”和“发力”是既有联系又区别的概念。前面给出了“力”在教科书中的定义，那么“劲”的定义是什么？目前，太极拳界对此没有统一说法，但常称掤、捋、挤、按、采、挒、肘、靠为八大劲法。我们从力学角度提出一个定义，供大家参考：劲是人体的动量，劲法是人体动量的有机构成和有效使用。

质点的动量是质量和速度的乘积。刚体有动量和角动量（见附录八）。角动量是转动惯量（见附录七）和角速度（见附录六）的乘积。一般物体的动量统指该物的动量和角动量的综合效果。人体是一个很复杂的体系。某些肢体，例如肘关节和肩关节间的大臂可近似看成一个刚体。另一些肢体，例如肘关节和腕关节间的小臂却无法近似看成一个刚体（因为小臂能旋转）。这些肢体的动量都能用微积分法算出。各肢体通过各关节连成一个整体，各关节帮助各肢体产生相对运动。将所有肢体的动量作矢量叠加，再加入关节本身的动量，就得出人的体系动量。这是理论，真要算得话，需要一台超级计算机。

两个物体碰撞产生作用力和反作用力（见附录九）。如果称作用力为作用于对方的力，则反作用力为作用于我方的力。图3、4 示出了推手中的一个例子。我方发挤劲，对方捋劲转变成按劲。我方和对方接触时产生力：作用力指对方正胸，大小一样的反作用力指向我方正胸。两方原动量是各自的属性，中间靠力来相互作用。当一个作用力产生又作用于对方时，一个大小相等的力一定反过来作用于我方。并不因为某方功夫高强而能给另一方多一点力。关键是我们已经找到了相互间的力。下一步是把这个力分别作用于两方各自的情况来做分析，力学上叫作隔离体分析。

隔离体分析就是把一个物体与外界的因素都化成力来分析该物的运动状态。图4 是对方隔离体示意图，作用力已经作为一个外力加入了重力、支撑力、摩擦力的行列。当然对方动量也是一个重要的力学条件。根据牛顿第二定律(见附录四)，所有外力使对方产生加速度，进而改变对方的动量。可以对我方作类似的分析（见图3），所有外力，包括反作用力，重力，支撑力，摩擦力使我方产生加速度，进而改变我方的动量。

力学上两个具有动量的物体的相互作用过程称为碰撞。碰撞使两物体间产生相互作用力(见附录十)。碰撞时物体的动量产生变化，动量的变化称为冲量。如果把我方作用于对方的冲量称为作用冲量，则可把对方作用于我方的冲量称为反作用冲量。按照附录十一（碰撞时的冲量）的演算：作用冲量和反作用冲量大小相等方向相反。按此推论，我方的攻势和对方接受到的作用冲量同向，我方可认为，我方将冲量传递给了对方。冲量是动量的变化，我们就把冲量传递称为动量传递。而对方的攻势和我方接受到的反作用冲量同向，对方可认为，对方将冲量传递给了我方。所以冲量是两方接触的产物，即有一部分动量可互相传递。

冲量和力不完全一样，冲量是力在一段时间里的积累效应（参见附录十一中的公式25）。而发劲也有一个时间过程。例如在按时，是肌肉的力把掌推动一段距离，而掌需要一段时间来走过这段距离。因而用动量来描述发劲比较科学。动量是惯性的度量，动量有大小有方向。发劲就是积累动量。可以在单练时发劲，这时有动量产生，但该动量没有和别的动量接触，因而没有作用力产生。也可以在对抗时发劲，这时当然就有动量产生，而且该动量和别的动量接触而产生作用力，进而有动量的传递。这就解释了发劲和作用力不是一回事，发劲不一定产生力，但力的产生却一定和发劲有关。动量和人体的质量成正比。同样的速度，人大质量大，动量也大，劲也大。所以人大占有一定的先天优势。这也是为什么推手比赛要分量级。太极拳讲究的发劲技术，体现在两个方面：合理使用我方动量和借用对方动量。

合理使用我方动量是指如何将我方的一部分动量传给对方；借用对方动量是说如何将传递过去的动量和对方原有动量叠加而使对方失稳。太极拳推手的重要目的是使对方失稳，而更重要的目的是保持自我稳定。推手是双方动量传递和感知的过程，是太极拳独特的训练方法，重在掌握双方动量叠加时保持己方稳定破坏对方稳定。

六、太极弹簧劲

力是物体间的相互作用。太极拳的精妙在于对“相互作用”的独到演绎。例如推手时的听力运用，双方在搭手之处（接触点）我方有意识的用自己的速度去应和对方的速度，而使双方间的作用力和反作用力控制在很小的范围内。听力有两个用途：一是尽最大可能减低两方碰撞时的力；二是探知对方的动向。就其一而论，设想杨式太极拳的创始人在18世纪被称为“杨无敌”的杨露禅跨越时代与李小龙进行一场友谊赛。当李小龙向杨露禅发劲试图打出400 磅的力时，杨露禅却应势而变，将两相接触时产生的力控制在听力大小范围内，使李小龙的拳如同打在棉花上，产生不出400 磅的力。

设想对方向我正向猛攻，我方迎头反击（见图5）。两方接触的瞬间将产生很大的作用力和反作用力。如果接触后两方继续硬顶，很大的作用力和反作用力将继续存在。直到两方脱离后，作用力和反作用力才会消失。如果我方手持弹簧迎头反击（见图6），情况将大为改观。两方接触的瞬间，由于弹簧还没有被压缩，所以没有作用力和反作用力。如果接触后两方继续沿原方向用劲，在弹簧被压缩过程中作用力和反作用力会逐渐变大。尽管两方继续沿原方向用劲，弹簧被压缩到极限后才开始反弹，作用力和反作用力逐渐变小。直到弹簧恢复原长度时将两方分开，作用力和反作用力才会消失。弹簧的存在使原来的硬顶变成了弹性碰撞，而我方给对方的力学效应是柔中带刚。柔体现于开始时我方给对方的作用力很小，刚体现于作用力会随过程变大。弹簧反弹的过程相当于我方由防守转为进攻。

太极拳就是弹簧劲的艺术，是弹簧劲的三维艺术。太极拳的弹性功能来自于两个方面：肢体的相对运动和重心的移动。肢体的相对运动可以体现于拳架的设计中。例如，揽雀尾这式动作，作掤时要求大小臂撑圆（见图7）。这样胸、臂、腕构成了一个人体弹簧。对方进攻时我方掌和胸间有自动的回收功能。当我方有意反攻时，我方掌和胸间可放能反弹（见图8）。当然这回收的弹簧功能和我方掌和胸间放能反弹功能还得靠腕肘肩关节的松灵来实现。肢体的相对运动可以体现于打拳的要领中。例如垂肘的要领要求任何时候肘部都不要挺直。揽雀尾作按时要求沉肩垂肘（见图28、29），这样肩、肘、掌构成了一个人体弹簧。甚至在我方总趋势是进攻时掌和肩之间仍有自动的回收功能。再例如松腰的要领要求腰能绕垂线灵活转动。揽雀尾作捋时要求松腰沉胯垂肘（见图19、20），这样胯、腰、掌构成了一个人体弹簧。甚至在我方总趋势是左旋时腰仍有自动的右旋功能。重心移动也是人体的重要的弹性功能。揽雀尾作按时要求沉胯曲膝（见图28、29），这样胯、膝、脚构成了一个人体弹簧。这个弹簧使我方重心的位置具有弹性。甚至在我方总趋势是进攻时重心仍有自动的后撤功能。与此类似，揽雀尾作捋时要求沉胯曲膝（见图19、20），这样胯、膝、脚构成了一个人体弹簧。这个弹簧使我方重心的位置具有弹性。甚至在我方总趋势是左拉时重心仍有自动的右回功能。一般来说人体弹性功能由各相关关节的灵活运动，各相关韧带的宽松程度，各相关肌肉的柔韧程度合成。

图5 硬顶作用力

图6 弹簧作用力

由前面的讨论可知，两方接触时产生力，该力不但和两方的原动量有关，还和碰撞的性质有关。简单的碰撞产生较大的力，容易使人受伤。人体弹簧促成弹性碰撞，首先大大降低了初始的力，当力变大时又能将力逐渐分布在较大的承受区内，因而不易使人受伤，而且能将力有效地用于改变对方的位置。

太极拳的攻防艺术充满力学原理。人体弹簧首先将力限制在听力的范围内。这里已经有一部分化解对方攻势的功能，但听力的主要功能是探测对方的动向，是用皮肤感知对方力的大小和方向，由此判断对方的意图。听力是作用力和反作用力。我方听对方给我方的反作用力，对方也可利用我方给对方的作用力来听我方的动向。太极拳讲究沾连粘随。在两方连接的全过程中都有作用力和反作用力存在。当两方攻防频繁时该力的量值会有变化。对方突然发劲时将使该力变大，我方应随机化解，很快将其控制在听力的大小范围内。如果我方发短劲，该力将徒然增值，将对方发出之际该力降为零。如果我方发长劲，该力将随势增值，将对方发出之际该力降为零。当然，如果对方及时应变，该力又将回到听力的范围。

七、太极发劲时的动量传递

有的文献把“我方力”和“对方力”作矢量叠加是不确切的（见图10）。两方接触时并不产生大小和方向不同的我方力和对方力，因而也无法叠加。文献可能是想用“将我方力和对方力叠加于对方”的解释来说明太极拳“借力打力”的原理。但是，两方接触仅是一个接触点时只产生一对大小相等方向相反的作用力和反作用力，作用力作用于对方（也就是图10 中的我方力），反作用力作用于我方。力的叠加法只能用于一个物体，不能将两个作用于不同物体的力叠加。因此，图10 中的“对方力”并不存在，“合力”也无法求得。因而“借力打力”无法用“我方力和对方力叠加”来解释。用力学原理分析太极拳“借力打力”的有效方法是隔离体图（见图4）。图中的外力包括作用力、重力、支撑力、摩擦力等，就是没有“对方力”。因为“对方力”通常是指对方用来攻击我方的力。在对方接触我之前只有行动，没有力。因为力学上的力只产生于接触之时。所以“对方的力”其实是指“对方的行动”。

太极拳发劲有短劲和长劲。以机械相模拟，可用枪弹模拟短劲（见图11）；可用千斤顶模拟长劲（见图12）。它们有三个共同点。一是都有放能系统：枪弹由炸药爆炸放能；千斤顶由油压系统放能。二是都有内部的相对运动: 枪弹的枪身和子弹间有相对运动；千斤顶的顶杆和缸体间有相对运动。三是都有目的：枪弹是为了打靶（包括打空枪）；千斤顶是为了顶物体（包括顶空）。这样就可给发劲下个定义。发劲是人体放能使肢体产生动量而实现攻防意图。这个定义含有三个要素：放能、动量、意图。人从食物、空气等各处获取的营养在体内可合成化学能量，部分化学能量可转换成肌肉的机械能。发劲的放能主要指肌肉发放机械能。放能产生内力——人体内部的力（见图13）。内力推动肢体产生加速度，在一段时间里积累成速度。速度和肢体质量的综合效果是人体的动量。所以在碰撞前发劲的力学效果是积累动量。意图是用这个动量去攻击或防御，用力学的术语说是去碰撞。碰撞已经牵涉到另外一方，所以碰撞的结果有多种可能：我方稳定，对方失稳；我方失稳，对方稳定；两方都稳定；两方都失稳。在单练时也可发劲，这时物理上的对方是空气（意念上的对方是另一个人）。两个物体碰撞时动量守恒，即碰撞前两物体动量的矢量和与碰撞后两物体动量的矢量和相等。动量守恒定律可用牛顿第三定律来导出。两个物体碰撞时产生作用力和反作用力，作用于对方的作用力通过一段时间的积累形成作用冲量，作用于我方的反作用力通过同一段时间的积累形成反作用冲量。由牛顿第三定律可知，作用力和反作用力大小相等方向相反，因而作用冲量和反作用冲量也大小相等方向相反，或者说两物体动量的矢量和在碰撞前后没有变化（参考附录十和附录十一）。两方的动量总和守恒，但两方各自的动量可以有变化，一方增量，另一方减同样大小的量（增减对于动量表现为大小相等方向相反），或者说动量由一方传递给另一方。这过程可称为动量传递过程。简言之，动量传递过程是指在两方接触时将我方的一部分动量转换传递给对方（反之也成立）。

当动量传给一个物体时，该物体的速度增加。动量是质量和速度的乘积，因而质量越大速度增加越小，而质量越小速度增加越大。两方接触时，反作用冲量和作用冲量大小相等，将使小个子增加较大的速度，而使大个子增加较小的速度。因而大个子的相对稳定度好一点。或者说大个子比较不容易被推倒。

太极拳推手的精妙在于三个方面：如何有意识的造成我方动量；如何将作用冲量和对方动量叠加而使对方失稳；如何在反作用冲量叠加于我方动量时我方仍然保持稳定。

八、八法本身是劲

八法是指“掤、捋、挤、按、采、挒、肘、靠”八种太极拳技法。掤为八法之首，并贯穿于其他七法之中。狭义讲，掤是一种特定的攻防技术，和其他七法并列。广义讲，掤是人体由训练产生的类似弹簧的伸缩功能和能发放或吸收能量的劲。这个劲可称为弹簧劲。从力学角度分析，弹簧劲运用于太极拳的平衡、运转、攻防，乃至每个招式之中，贯穿于整个八法，全面体现了太极拳的力学原理。

将八法定义为劲，是单指人体内力推动肢体形成的动量。单练时只有动量形成，没有加于对方的力。所以八法本身是劲。

八法在实际运用时，有和对方接触而产生的作用于对方的外力。所以有时也称八法为劲力，这是指八法的内劲和加于对方的外力。

另外，有时称八法为力，这是单指八法加于对方的外力。

九、掤捋挤按的动量传递

作用冲量是法向分量和切向分量的矢量和，与作用力同向。如图1 所示，我捋时法向作用冲量阻止对方的攻势，切向作用冲量使对方向右移动。同样，图2 中我转胸时的作用冲量也有法向分量和切向分量。作用冲量可沿对方按的平行方向和垂直方向分解。作用冲量沿对方按方向反向的分量阻止对方的攻势。作用冲量的垂直分量就是反弹冲量，该冲量把对方推向右方。由此可见，我方的劲是为取得一定力学效果而设计的。下面我们来看几个典型的例子。

在图14、15、16 中我方以掤劲迎接对方的正面进攻。先分析一下听劲的动量传递，见图17。对方动量正对我方，我方掤劲相迎而产生我方动量，两方接触产生作用冲量和反作用冲量。作用冲量和对方动量作用于对方，得出对方合动量。对方合动量决定了对方的运动速度和方向。反作用冲量和我方动量作用于我方，得出我方合动量。我方合动量决定了我方的运动速度和方向。合动量使某一方运动，重心在支撑面内则稳定，重心移出支撑面则失稳。熟练的太极拳师能控制作用冲量和反作用冲量的大小和方向。开始时我方的弹簧功产生听力，听力并不很大，由听力形成的作用冲量（即听劲）也不大。作用冲量和对方动量合成，但对方合动量不大，对方平衡（见图17 右侧图）。反作用冲量和我方动量合成，我方合动量不大，更因为我方早有准备，因而我方对平衡掌握自如（见图17 左侧图）。

当我方听出对方要向后退缩时，我方随之发劲（见图18）。作用冲量大小可根据具体情况而定。作用冲量和对方动量顺方向合成，产生很大的合动量使对方失稳（见图18 右侧图）。反作用冲量和我方动量逆向合成，产生不大的合动量，更因为我方早有准备，因而我方对平衡掌握自如（见图18 左侧图）。

发劲形成动量，所以动量传递过程也可以用武术语言表述为：我方的一部分劲可以与对方的劲叠加。由此可见，“借力打力”的含义应该是“加劲借劲”。“加劲借劲”的目的是使对方失稳。因而“借力打力”的确切含义是“加劲借劲打平衡”。

在图19、20、21 中我方以捋劲迎接对方的正面进攻。对方动量正对我方，我方向右后方发捋劲（见图22）。接触时有顺向作用冲量和横向作用冲量。对方本来顺向进攻，顺向的稳定性比较好(步距比较大)，而横向稳定性比较差(步距比较小，侧向旋转刚度差)。 横向作用冲量正好攻其薄弱环节。顺向作用冲量和对方动量顺方向相加，使对方加速落空。横向和顺向作用冲量和对方动量合成产生很大的合动量使对方失稳。顺向反作用冲量和我该方向动量逆向相加，横向反作用冲量和我横方向动量逆向相加，总的叠加产生不大的合动量，更因为我方早有准备，因而我方对平衡掌握自如。

假设对方向横后向捋我，我方发挤劲（见图23、24、25）。对方动量向左后，我方向前方发挤劲（见图26）。接触时有正向作用冲量和横向作用冲量产生。横向作用冲量和对方横向动量逆向相加，正向作用冲量和对方正向动量顺向相加，总的合成出很大的合动量，而使对方失稳。正向反作用冲量和我方正向动量逆向相加。横向反作用冲量欲使我方产生横向运动，但我方两臂合抱以增加侧向旋转刚度。对方不能有效的把我侧拉，我方反而顺势攻入对方重心。作用于我方的正向和横向动量叠加产生不大的合动量，更因为我方早有准备，因而我方对平衡掌握自如。

假设对方挤我，我方发按劲（见图27、28、29）。对方动量正对我方，我方向前方发按劲（见图30）。接触时，有正向作用冲量产生。正向作用冲量和对方向动量逆向合成，产生较大的合动量，而使对方失稳。有时我发按劲时对方已经退却，这时正向作用冲量和对方正向动量顺向合成，产生更大的合动量，而使对方失稳。反作用冲量和我方动量逆向合成，产生不大的合动量，更因为我方早有准备，因而我方对平衡掌握自如。

由此可见，我方发掤劲、捋劲、挤劲、按劲时都将动量传递给对方而使其失稳；也都有动量传递给我方但我方仍能稳定。如果对采劲、挒劲、肘劲、靠劲作类似的分析可得出同样的结论。

附录一、 质量

质量是物体所含物质的多少，是物体惯性大小的量度。

质量和重力成正比。物体的重力由下列公式表示，

其中W 是物体的重力（用牛顿来度量），m 是物体的质量（用千克来度量），g 是重力加速度（单位是米/秒2）。重力俗称重量，公制用公斤来度量，市制论斤。由公式（1）可见W 和m 成正比，或者说物质越多，物体越重。

在物理学里，惯性是抵抗其运动状态被改变的性质。物质越多，运动状态就越难被改变。所以质量是物体惯性的量度。想象一个重物体（物质多，质量大）和一个轻物体（物质少，质量小）在冰上（摩擦力几乎为零）运行。使重物体减速较困难，使轻物体减速较容易。类似的，如果原来两个物体在冰上都不动，使重物体加速较困难，使轻物体加速较容易。想象该两个物体在冰上以同样的速度运行。如果没有额外外界干涉，它们将保值原速直线运动。

附录二、 动量

在力学中，（线）动量是物体质量和速度的乘积，

附录三、 力

力是物体间的相互作用。相互作用是指一个物体的运动会因为其他物体的存在而改变。

例如，手能推动门是因为两者间有相互作用，即有力存在，见附图1。

手对门的作用可用外力来表示，见附图2。

附图2. 手对门的作用可用外力表示

力的作用效果可以在下例中定量表示。

1. 改变物体运动状态：外力使物体产生加速度。附录四中牛顿第二定律公式（4）表示力是质量和加速度的乘积。

2. 使物体发生形变：外力使物体产生形变。附录五中弹簧公式（5）表示力是弹性系数和弹簧压缩量的乘积。

力有三个要素：大小、方向、作用点。

数学上称有大小和方向的量为矢量，所以力是矢量。推门要有一定的力量，才能推动门。这例子说明力的量值是一个要素。大都推门都用手在垂直方向推，见附图2。很少有人故意在斜向推门，见附图3，因为斜向推门的效果很差。这例子说明力的方向也是一个要素。

附图3. 斜力作用效果差

大都推门都在铰链的远处推，见附图2。很少有人故意在铰链的近处推，见附图4，因为近处推门的效果很差。这例子说明力的作用点也是一个要素。

附图4. 近铰链处的力作用效果差

附录四、 牛顿第二定律

牛顿第二定律：物体的加速度跟物体所受的外力成正比，跟物体的质量成反比，用公式表示，

更通常地表示为，

附录五、 弹簧的刚柔

在力学中弹簧的刚柔用弹性系数k 来定量表示。力学中的胡克弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力F 和弹簧的压缩量d 成正比即，

弹性系数大则弹簧比较刚，弹性系数小则弹簧比较柔。弹簧的势能为，

现在来分析子弹打弹簧的例子，见附图5。

附图5. 子弹打弹簧

假设子弹的速度为v，质量为m。则子弹的动能为

当子弹的全部动能变成弹簧的势能时，弹簧压量增至极限md 。根据能量守恒定理，

解出弹簧的极限压缩量，

由公式（9）可见，子弹的质量越大，子弹的速度越高，弹簧的极限压缩量越大。弹簧越柔，弹簧的极限压缩量越大；弹簧越刚，弹簧的极限压缩量越小。

当子弹的全部动能变成弹簧的势能时，弹簧的弹力增至极限mF 。 将公式（9）代入公式（5）中，得出弹簧的极限压缩力，

由公式（10）可见，子弹的质量越大，子弹的速度越高，弹簧的极限压缩力越大。弹簧越柔，弹簧的极限压缩力越小；弹簧越刚，弹簧的极限压缩力越大。

附录六、 角速度

角速度是角度关于时间的变化率，

附录七、 转动惯量

转动惯量是物体对于旋转运动的惯性的量度

一个质点P 对转轴的转动惯量（见附图6）由下列公式计算，

其中 m 是质点的质量，r 是质点到转轴的垂直距离，I 是质点对转轴的转动惯量。

附图6 刚体转动惯量示意图

对于多个质点的系统，其系统转动惯量是各质点转动惯量之和，

其中 i 是质点的编号，系统共有n 个质点，Σ 表示求和。

附图6 中的刚体由连续分布的相邻物质点组成，最好用积分法来计算其转动惯量，

由公式（12）-（14）可见，转动惯量和质量的大小成正比，和该质量到转轴的距离的平方成正比。或者说，转动惯量和质量的分布有关。质量分布越开，转动惯量越大。质量分布越近，转动惯量越小。

附录八、 角动量

一个质点的关于原点的角动量是原点到该质点的位移矢量和该质点动量的矢量积，

动量是，

其中，I 是质点的转动惯量，见公式（12）。

质点系的转动惯量由公式（13）给出。公式（18）对质点系仍成立。

刚体的转动惯量由公式（14）给出。公式（18）对刚体也成立。

总之，公式（18）适用于一般物体。公式（18）表示物体的角动量是物体转动惯量和角速度的乘积。

附录九、 牛顿第三定律

附图7 拳和沙袋相互作用

附录十、 动量和冲击力的公式

能量引发使冲击器具有速度，因而具有动量，

将公式（21）代入牛顿第二定律公式（4），冲力为

可见冲击力和速度差成正比，和质量成正比，和碰撞时间成反比。因而冲击器的速度变化越大，碰撞时间越短，冲击力就越大。

碰撞终了冲击器的动量是，

将公式（20）和（23）代入公式（22），

可见冲击力和动量差成正比，和时间成反比。因而冲击器的原动量越大，终动量越小，碰撞时间越短，冲击力就越大。

附录十一、 碰撞时的冲量

碰撞时某一物体的动量有了变化，动量的变化称为冲量。改写公式（24），冲量为，

将公式(25) 运用于我方，

将公式(25) 运用于对方，

根据牛顿第三定律（见附录九），作用力和反作用力等值反向。公式（26）和（27）中的作用时间 tΔ 一样。将由公式（26）和（27）代入牛顿第三定律公式（19），我们得到

结论是：作用冲量和反作用冲量大小相等方向相反。