Hom-Jordan超代数的构造及超表示的一些结果

黄 楠，杨 宇，陈良云

(东北师范大学 数学与统计学院，长春 130024)

0 引言

20世纪40年代，Pascual Jordan在研究量子力学时，首次提出未命名的Jordan代数，并将其应用于量子力学中[1]。1946年，A.Albert[2]在发表的文章中将它重新命名为Jordan代数，并对一般的Jordan代数进行了更加系统的研究。文献[2]向我们介绍了Jordan代数的关于右乘算子的基本等式。之后，孟道骥等[3]给我们说明了Jordan代数和结合代数之间存在的某些关系，并介绍了关于Jordan代数结合子的一些性质。更多关于Jordan代数的定义以及性质参见Baklouti等[4]和Baklouti等[5]发表的论文。

Hom-型代数是在原有代数上，将定义代数的等式用一个或几个线性映射扭曲而成的一类代数，其中这种映射被称为扭曲映射。当这种扭曲映射是恒等映射时，这个Hom-型代数就变为原来的代数。例如，Harwig和Silvestrov为了更好地描述Witt代数和Virasoro代数，在2006年提出了Hom-李代数的定义[6]，Hom-李代数理论对数学、物理学等的发展起到了十分重要的推动作用。更多关于各类Hom-型代数的内容，可以参考文献[7-16]。Hom-Jordan代数是Jordan代数的一种形变，近几年来得到了很多学者的关注。2010年，A.Makhlouf首次在发表的文章中给出了Hom-Jordan代数的定义[12]，他对Hom-Jordan代数进行了介绍并说明了它符合Hom-结合代数的结构，即Hom-Jordan代数可以由Hom-结合代数通过一个加代数诱导出来。2012年，D.Yau对Hom-Jordan代数的一个子类进行了研究[16]，在这种情况下，这类Hom-Jordan代数可以由任意一个Hom-交错代数产生。近年来，我们在Hom-Jordan代数领域的研究中得出了一些重要性质[10,15]。至于2017年人们才开始研究的Hom-Jordan超代数，是Hom-Jordan代数的一个自然推广[7]。

本文结构如下。第一部分，给出关于Hom-Jordan超代数的预备知识。第二部分，首先给出构造新的Hom-Jordan超代数的三种方法：用Hom-Jordan超代数的子空间和特征子空间构造它的子代数，两个Hom-Jordan超代数的直和还是一个Hom-Jordan超代数，Hom-Jordan超代数之间的线性映射是一个态射当且仅当它的图是一个Hom-子代数。其次得到Hom-Jordan代数的右乘算子和Hom-Jordan超代数的左乘算子的一些重要结果。最后得到了Hom-Jordan超代数的Hom-结合子与Hom-李超代数之间的关系。第三部分，在Hom-Jordan超代数中引入超表示的概念，得到偶的线性映射是超表示的等价条件，并证明左乘映射是超表示。在本文中，总假设所研究的代数是域上特征零的Hom-Jordan超代数。

1 预备知识

(1)x·y=y·x,

(2)(x2·y)·x=x2·(y·x)，x2=x·x。

定义2[12]183给定一个3元组(V，μ,α)，其中：V是一个线性空间，μ∶V×V是一个可交换的乘法运算，α∶V→V是一个同态。如果对于∀x,y∈V，有下面等式成立：

μ(α2(x),μ(y,μ(x,x)))=μ(μ(α(x),y),α(μ(x,x)))，

其中α2=α∘α，则称(V,μ,α)为Hom-Jordan代数。

注1：在定义1中，Hom-Jordan代数还有一个等价定义，见注6。

注2[12]183：因为定义1中Hom-Jordan代数乘法运算是可交换的，所以定义2中的等式也可以写成

μ(μ(y,μ(x,x)),α2(x))=μ(μ(y,α(x)),α(μ(x,x)))。

注3：当定义2中扭曲映射为一个恒等映射时，我们可以得到Jordan代数的定义。

(1)xy=(-1)|x‖y|yx；

(2)(-1)|x‖z|(yx)(zt)+(-1)|x‖y|(yz)(xt)+(-1)|y‖z|(zx)(yt)=(-1)|x‖z|x((yz)t)+

(-1)|x‖y|y((zx)t)+(-1)|y‖z|z((xy)t)。

(1)μ(x,y)=(-1)|x‖y|μ(y,x),

(2)(-1)|x‖z|μ(α(μ(x,y)),μ(α(z),t))+(-1)|x‖y|μ(α(μ(y,z)),μ(α(x),t))+

(-1)|y‖z|μ(α(μ(z,x)),μ(α(y),t))=(-1)|x‖z|μ(α2(x),μ(μ(y,z),t))+

(-1)|x‖y|μ(α2(y),μ(μ(z,x),t))+(-1)|y‖z|μ(α2(z),μ(μ(x,y),t)),

则称(J,μ,α)为Hom-Jordan超代数。

(ii) 称Hom-Jordan超代数(J,μ,α)是正则的，如果α是一个偶的代数自同构。

(iii) 称分次子空间W(⊆J)为Hom-Jordan超代数(J,μ,α)的Hom-子代数，如果α(W)⊆W且μ(x,y)∈W,对于∀x,y∈W。

(iv) 称分次子空间I(⊆J)为Hom-Jordan超代数(J,μ,α)的Hom-理想，如果α(I)⊆I且μ(x,y)∈I,对于∀x,y∈I。

注4：在文献[7]中，作者对Hom-Jordan超代数的一个子类进行了研究，把定义4中的式(2)替换为[7]457：

(-1)|x‖z|μ(α(μ(x,y)),μ(α(z),α(t)))+(-1)|x‖y|μ(α(μ(y,z)),μ(α(x),α(t)))+

(-1)|y‖z|μ(α(μ(z,x)),μ(α(y),α(t)))=(-1)|x‖z|μ(α2(x),μ(μ(y,z),α(t)))+

(-1)|x‖y|μ(α2(y),μ(μ(z,x),α(t)))+(-1)|y‖z|μ(α2(z),μ(μ(x,y),α(t)))。

定义5设(J,μ,α)和(J′,μ′,β)是两个Hom-Jordan超代数。称Hom-Jordan超代数间偶的线性映射φ∶J→J′为偶的态射，如果满足：

(1)φ(μ(x,y))=μ′(φ(x),φ(y)),对于∀x,y∈J;

(2)φ∘α=β∘φ。

定义6[17]Hom-结合超代数是满足如下条件的一个3元组(V,m,α)，如果对于∀x,y,z∈V，有

m(α(x),m(y,z))=m(m(x,y),α(z))，

其中：V是一个超代数，m∶V→V→V是一个偶的双线性映射，α∶V→V→V是一个偶的同态。

由文献[3]中环的反同态的定义，我们可以定义Hom-结合超代数的反同态。

定义7设(J,μ,α)和(J′,μ′,β)和是两个Hom-结合超代数。称偶的线性映射f∶J→J′为偶的反同态，如果满足：

(1)f(μ(x,y))=(-1)|x‖y|μ′(f(x)),∀x,y∈h(J)

(2)f∘α=β∘f。

如果f是一个双射，就称f是一个偶的反同构。进一步，如果J=J′，就称f是一个偶的反自同构。

定义8[7]443Hom-李超代数是满足如下条件的一个3元组(V,[.,.],α)，如果对于∀x,y,z∈h(V)，有以下等式成立。

(1) [x,y]=-(-1)|x‖y|[y,x],

(2) (-1)|x‖z|[α(x),(y,z)]+ (-1)|z‖y|[α(z),(x,z)]+ (-1)|y‖x|[α(y),(z,x)]=0,

其中：V是一个超空间，[.,.]∶V×V→V是一个偶的双线性映射，α∶V→V是一个偶的同态。

注5：当偶同态α为一个恒等映射，(V,[.,.],α)是一个李超代数。

定义9定义一个Hom-Jordan超代数(J,μ,α)的结合子：

设(J,μ,α)是一个Hom-Jordan超代数。对任意非负整数k，用αk表示α的k-次合成。

特别地，α0=id,α1=α。若(J,μ,α)是一个正则的Hom-Jordan超代数，我们用α-k来表示α的逆α-1的k-次合成。

定义10对于任意的非负整数k，我们称D(∈End(J))为Hom-Jordan超代数(J,μ,α)的αk-导子，如果对于∀x∈h(J)，y∈J满足：

(1)D∘α=α∘D，

(2)D(μ(x,y))=μ(D(x),αk(y))+(-1)|x‖D|μ(αk(x),D(y))。

对于正则的Hom-Jordan超代数，α-k-导子可用相同方式定义。

(1)D∘α=α∘D，

(2)αD(μ(x,y))=bμ(D(x),αk(y))+(-1)|D‖x|cμ(αk(x),D(y))。

对于正则的Hom-Jordan超代数，α-k-(a,b,c)-导子可用相同方式定义。

{D∈End(J)|αD(μ(x,y))=bμ(D(x),αk(y))+(-1)|D‖x|cμ(αk(x),D(y)),D∘α=α∘D}，其中对于∀x∈h(J),y∈J。

2 Hom-Jordan超代数的构造、左乘算子和Hom-结合子

2.1 Hom-Jordan超代数的构造

性质1设(V,m,α)是一个Hom-结合超代数，那么有下面结论成立。

(1) 定义偶的双线性映射μ∶V×V→V，

则Hom-超代数(V,μ,α)是一个Hom-Jordan超代数，用V+表示。

(2)定义偶的双线性映射[.,.]∶V×V→V为

[x,y]=m(x,y)-(-1)|x‖y|m(y,x)),∀x,y∈h(V),

则Hom-超代数(V,[.,.],α)是一个Hom-李超代数，用V-表示，

证明(1) 对于∀x,y∈h(V)有μ(x,y)=(-1)|x‖y|μ(y,x)。

通过计算，对于∀x,y，z,t∈h(V)有

(-1)|x‖z|μ(α(μ(x,y)),μ(α(z),t))=

同理可得，

(-1)|x‖y|μ(α(μ(y,z)),μ(α(x),t))=

(-1)|y‖z|μ(α(μ(z,x)),μ(α(y),t))=

(-1)|x‖z|μ(α2(x),μ(μ(y,z),t))=

(-1)|x‖y|μ(α2(y),μ(μ(z,x),t))=

(-1)|y‖z|μ(α2(z),μ(μ(x,y),t))=

从而

(-1)|x‖z|μ(α(μ(x,y)),μ(α(z),t))+(-1)|x‖y|μ(α(μ(y,z)),μ(α(x),t))+

(-1)|y‖z|μ(α(μ(z,x)),μ(α(y),t))=

(-1)|x‖z|μ(α2(x),μ(μ(y,z),t))+(-1)|x‖y|μ(α2(y),μ(μ(z,x),t))+(-1)|y‖z|μ(α2(z),μ(μ(x,y),t))。

故Hom-超代数(V,μ,α)是一个Hom-Jordan超代数。

(2) 证明方法同(1)。

性质2设(J,μ,α)是一个Hom-Jordan超代数，如下定义End(J)的子空间W：

W={w∈End(J)|wα=αw},

且σ∶W→W,w→αw。如下定义偶的双线性映射v∶W×W→W,

v(w1,w2)=w1w2+(-1)|w1‖w2|w2w1,∀w1,w2∈h(W)，

则(W,v,σ)是一个Hom-Jordan超代数。

证明对于∀w1,w2∈h(W)有v(w1,w2)=(-1)|w1‖w2|v(w2,w1)。通过计算得到

(-1)|w1‖w3|v(σ(v(w1,w2)),v(σ(w3),w4))=

(-1)|w1‖w3|α2w1w2w3w4+(-1)|w1‖w4|+|w2‖w3|+|w2‖w4|α2w3w4w1w2+(-1)|w1‖w3|+|w3‖w4|α2w1w2w4w3+

(-1)|w1‖w4|+|w2‖w3|+|w2‖w4|+|w3‖w4|w4α2w3w4w1w2+(-1)|w1‖w2|+|w1‖w3|α2w2w1w3w4+

(-1)|w1‖w4|+|w2‖w3|+|w2‖w4|+|w1‖w2|α2w3w4w2w1+(-1)|w1‖w3|+|w1‖w2|+|w3‖w4|α2w2w1w4w3+

(-1)|w1‖w4|+|w2‖w3|+|w2‖w4|+|w1‖w2|+|w3‖w4|w4α2w3w2w1。

同理可得

(-1)|w1‖w3|v(σ(v(w1,w2)),v(σ(w3),w4))+(-1)|w1‖w2|v(σ(v(w2,w3)),v(σ(w1),w4))+

(-1)|w2‖w3|v(σ(v(w3,w1)),v(σ(w2),w4))=

(-1)|w1‖w3|v(σ2(w1),v(v(w2,w3),w4))+(-1)|w1‖w2|v(σ2(w2),v(v(w3,w1),w4))+

(-1)|w2‖w3|v(σ2(w3),v(v(w1,w2),w4))。

故(W,v,σ)是一个Hom-Jordan超代数。

偶的同态(α+β):J⊕J′→J⊕J′定义为

μ″(x+x′,y+y′)=μ(x,y)+μ′(x′,y′)=(-1)|x‖y|μ″(y+y′,x+x′)。

由(J,μ,α)和(J′,μ′,β)是Hom-Jordan超代数，对于∀x+x′，y+y′,z+z′,t+t′∈h(J⊕J′)有

|x|=|x′|,|y|=|y′|,|z|=|z′|,|t|=|t′|，

(-1)|x‖z|μ(α(μ(x+y)),μ(α(z),t))+(-1)|x‖y|μ(α(μ(y,z)),μ(α(x),t))+

(-1)|y‖z|μ(α(μ(z,x)),μ(α(y),t))=

(-1)|x′‖z′|μ(α2(x′),μ(μ(y′,z′),t′))+(-1)|x′‖y′|μ(α2(y′),μ(μ(z′,x′),t′))+

(-1)|y′‖z′|μ(α2(z′),μ(μ(x′,y′),t′))。

通过运算得到

(-1)|x‖z|μ″((α+β)(μ″(x+x′,y+y′)),μ″((α+β)(z+z′,t+t′)))+

(-1)|x‖y|μ″((α+β)(μ″(y+y′,z+z′)),μ″((α+β)(x+x′,t+t′)))+

(-1)|y‖z|μ″((α+β)(μ″(z+z′,x+x′)),μ″((α+β)(y+y′,t+t′)))=

(-1)|x‖z|μ″((α+β)2(x+x′),μ″(μ″(y+y′,z+z′,t+t′)))+

(-1)|x‖y|μ″((α+β)2(y+y′),μ″(μ″(z+z′,x+x′,t+t′)))+

(-1)|y‖z|μ″((α+β)2(z+z′),μ″(μ″(x+x′,y+y′,t+t′)))。

故(J⊕J′,μ″,α+β)是一个Hom-Jordan超代数。

性质5设(J,μ,α)和(J′,μ′,β)是两个Hom-Jordan超代数，且θφ⊆J⊕J′是偶的线性变换φ∶J→J′的图。则映射φ是Hom-Jordan超代数间的一个偶的态射当且仅当图θφ⊆J⊕J′是性质4中构造的Hom-Jordan超代数(J⊕J′,μ″,α+β)的一个Hom-子代数。

对于∀x+φ(x)∈θφ，由于J是一个超空间，故有

若φ∶J→J′是Hom-Jordan超代数间的一个偶的态射，对∀x,y∈J有

μ″(x+φ(x),y+φ(y))=μ(x,y)+μ′(φ(x),φ(y))=μ(x,y)+φ(μ(x,y))∈θφ,

故图θφ在乘法μ″的运算下是封闭的。此外，由定义5可以得到

(α+β)(x+φ(x))=α(x)+β∘φ(x)=α(x)+φ∘α(x)，

说明(α+β)(θφ)⊆θφ。故θφ是Hom-Jordan超代数(J⊕J′,μ″,α+β)的Hom-子代数。

反之，若图θφ⊆J⊕J′是Hom-Jordan超代数(J⊕J′,μ″,α+β)的Hom-子代数，有

φ(μ(x+y))=μ′(φ(x),φ(y))。

此外，(α+β)(θφ)⊆θφ说明

(α+β)(x+φ(x))=α(x)+β∘φ(x)∈θφ,

这相当于条件β∘φ(x)=φ(x)∘α。故φ是Hom-Jordan超代数间的一个态射。

2.2 Hom-Jordan超代数的左乘算子

Hom-Jordan代数的右乘算子Rx与左乘算子Lx是等价的，Rx(y)=Lx(y)，而Hom-Jordan超代数的右乘算子与左乘算子不等价，Rx(y)=(-1)=|x‖y|Lx(y)。所以在这一部分，我们首先介绍Hom-Jordan代数的右乘算子。

Rx(y)=R(x)(y)=μ(x,y)(∀x,y∈V),

为了方便，记R(μ(x,y))=R(xy)。则对于∀x,y,z∈V，有以下等式成立：

(1)Rα2(x)Rx2=Rα2(x)Rα(x),

(2)Rα2(x)Rzy+Rα2(y)Rxz+Rα2(z)Rxy=Rα(zy)Rα(x)+Rα(xz)Rα(y)+Rα(xy)Rα(z),

(3)Rx(yz)∘α2+Rα2(y)RxRz+Rα2(z)RxRy=Rα(yz)Rx∘α+Rxα(z)∘α∘Ry+Rxα(y)∘α∘Rz，

(4)R(xy)z∘α2+Rα2(y)RzRx+Rα2(x)RzRy=Rα(xy)Rz∘α+Rzα(x)∘α∘Ry+Rzα(y)∘α∘Rx。

证明Hom-Jordan代数(V，μ,α)中定义的等式为

μ(x,y)=μ(y,x),

μ(α2(x),μ(y,μ(x,x)))=μ(μ(α(x),y),α(μ(x,x))),

可以分别写成

Rx=Lx,Rα2(x)Rx2=Rα(x2)Rα(x)。

S=R(α2(x+λy))R(x2+2λxy+λ2y2)-R(α(x2+2λxy+λ2y2))R(α(x+λy))=0。

运用R(x)的线性性质可以将上式写成S=S0+λS1+λ2S2+λ3S3，其中：

S0=R(α2(x))R(x2)-R(α(x2))R(α(x))=0,

S3=R(α2(y))R(y2)-R(α(y2))R(α(y))=0。

故有S1+λS2=0,∀λ≠0。

2(Rα2(x)Rxy-Rα(xy)Rα(x))+Rα2(y)Rx2-Rα(x2)Rα(y)=0,

交换上式中的x和y可以得到S2=0。

接下来我们将等式

R(α2(x+λy))R(x2+2λxy+λ2y2)-R(α(x2+2λxy+λ2y2))R(α(x+λy))=0

2[R(α2(x+tz))R(xy+tzy)-R(α(xy+tzy)R(α(x+tz))]+

R(α2(y))R(x2+2txz+t2y2)-R(α(x2++2txz+t2z2)R(α(y))=T0+2tT1+t2T2=0,

T0=2[R(α2(x))R(xy)-R(α(xy))R(α(x))]+[R(α2(y))R(x2)-R(α(x2))R(α(y))]=0,

T2=2[R(α2(z))R(zy)-R(α(zy))R(α(z))]+[R(α2(y))R(z2)-R(α(z2))R(α(y))]=0。

我们可以从以上式子中得到T1=0。然后计算T1就得到定理1中的式(2)，注意到上式暗含着定理1中式(1)。右乘形式的式(2)可以作用于w∈V，故有

μ(μ(w,μ(z,y)),α2(x))+μ(μ(w,μ(x,z)),α2(y))+μ(μ(w,μ(x,y)),α2(z))=

μ(μ(w,α(x)),α(μ(z,y)))+μ(μ(w,α(y)),α(μ(x,z)))+μ(μ(w,α(z)),α(μ(x,y)))。

交换上式中w和x得到

μ(μ(x,μ(z,y)),α2(w))+μ(μ(x,μ(w,z)),α2(y))μ(μ(x,μ(w,y)),α2(z))=

μ(μ(x,α(w)),α(μ(z,y)))+μ(μ(x,α(y)),α(μ(w,z)))+μ(μ(x,α(z)),α(μ(w,y)))。

从而可以得到定理1中的式(3)。在式(3)中，交换x和z可以得到定理1中的式(4)。

至此，我们证明了定理1中4个等式是成立的。

注6：从定理1的等式(2)中，可以得到Hom-Jordan代数的如下等价定义。

给定一个3元组(V,μ,α)，其中：V是一个线性空间，μ∶V×V→V是一个可交换的乘法运算，α∶V→V是一个同态。对于∀x,y,z,w∈V，若有下面等式成立：

μ(α2(x),μ(x,μ(y,z)))+μ(α2(y),μ(w,μ(z,x)))+μ(α2(z),μ(w,μ(x,y)))=

μ(μ(α(x),w),α(μ(y,z)))+μ(μ(α(y),w),α(μ(z,x)))+μ(μ(α(z),w),α(μ(x,y)))，

则称(V,μ,α)是一个Hom-Jordan代数。

接下来，我们研究Hom-Jordan超代数的左乘算子。

定理2设(J,μ,α)是一个Hom-Jordan超代数，令Lx(∈End(J))表示x∈J的左乘算子(即Lx(y)=μ(x,y),∀y∈J)。为了方便，记Lμ(x,y)=Lxy。则在Hom-Jordan超代数(J,μ,α)中，对于∀x,y,z∈h(J)，有以下等式成立：

(2)Lα(xz)Ly∘α+(-1)|y‖z|Lα(x)y∘α∘Lz+(-1)|x‖y|+|x‖z|Lα(z)y∘α∘Lx=

L(xz)y∘α2+(-1)|y‖z|Lα2(x)LyLz+(-1)|x‖y|+|x‖z|Lα2(z)LyLx,

(3)Lα(xy)Lz∘α+(-1)|y‖z|Lα(x)z∘α∘Ly+(-1)|x‖y|+|x‖z|Lα(y)z∘α∘Lx=

L(xy)z∘α2+(-1)|y‖z|Lα2(x)LzLy+(-1)|x‖y|+|x‖z|Lα2(y)LzLx。

证明由定义4(i)中的式(2)，容易得到所证定理2的第一个结论(1)成立。在定义4(i)的式(2)中，交换y和t得到

(-1)|x‖z|μ(α(μ(x,t)),μ(α(z),y))+(-1)|x‖t|μ(α(μ(t,z)),μ(α(x),y))+

(-1)|t‖z|μ(α(μ(z,x)),μ(α(t),y))=

(-1)|x‖z|μ(α2(x),μ(μ(t,z),y))+(-1)|x‖t|μ(α2(t),μ(μ(z,x),y))+

(-1)|t‖z|μ(α2(z),μ(μ(x,t),y)),

故有

(-1)|x‖z|+(|z|+|y|)(|x|+|t|)Lα(z)y∘α∘Lx+(-1)|x‖t|+(|x|+|y|)(|z|+|t|)+|z‖t|Lα(x)y∘α∘Lz+

(-1)|t‖z|+|y‖t|Lα(zx)Ly∘α=(-1)|x‖z|+|y|(|z|+|t|)+|z‖t|Lα2(x)LyLz+

(-1)|x‖t|+(|z|+|x|+|y|)|t|L(zx)y∘α2+(-1)|t‖z|+|y|(|x|+|t|)Lα2(z)LyLx。

通过计算可以得到所证定理2的第二个结论(2)成立。交换上面等式中的y和z可以得到所证定理2的第三个结论(3)成立。

2.3 Hom-Jordan超代数的Hom-结合子

证明对于∀x,y,z∈h(V)有

4μ(μ(x,y),α(z))=m(m(x,y),α(z))+(-1)|z|(|x|+|y|)m(α(z),m(x,y))+

(-1)|x‖y|m(m(y,x),α(z))+(-1)|x‖z|+|y‖z|+|x‖y|m(α(z),m(y,x))。

同理可得

4μ(α(x),μ(y,z))=m(α(x),m(y,z))+(-1)|x|(|y|+|z|)m(m(y,z),α(x))+

(-1)|x‖y|m(α(x),m(z,y))+(-1)|y‖z|+|x‖y|+|x‖z|m(m(z,y),α(x))。

故有

(-1)|x‖y|+|x‖z|m(m(y,z),α(x))-(-1)|y‖z|m(α(x),m(z,y))。

(-1)|x‖y|[α(y),[x,z]]=(-1)|x‖y|m(m(y,x),α(z))+(-1)|x‖z|+|y‖z|m(α(z),m(x,y))-

(-1)|z‖y|m(α(x),m(z,y))-(-1)|x‖z|+|x‖y|m(m(y,z)，α(x))。

最后可以得到

3 Hom-Jordan超代数的超表示

3.1 基本概念

定义12[4]设J1是一个Jordan代数，V是一个线性空间，π∶J1→End(V)是一个线性映射。对于任意x,y∈J1;v,w∈V，定义线性空间J=J1⊕V上的乘法为

(x+v)(y+w)=xy+π(x)w+π(y)v,

如果J是一个Jordan代数，那么我们称(π,V)为Jordan代数J1在V上的一个表示。

μ′(x,v,y+w)=μ(x,y)+ψ(x)(w)+(-1)|v‖y|ψ(y)(v),

μ′(x+v,y+w)=μ(x,y)+ψ(x)(w)+(-1)|v‖y|ψ(y)(v),

再定义偶的线性映射α+A∶J⊕V→J⊕V为

(α+A)(x+v)=α(x)+A(v),

3.2 主要结果

(1)(-1)(|x|+|y|)|z|ψ(μ(α(x),z))∘A∘ψ(y)+(-1)(|x‖y|ψ(μ(α(y),z))∘A∘ψ(x)+

(-1)|x‖z|ψ(α(μ(x,y)))ψ(z)∘A=(-1)(|x|+|y|)|z|ψ(α(x))ψ(z)ψ(y)+

(-1)|x‖y|ψ(α2(y))ψ(z)ψ(x)+(-1)|x‖z|ψ(μ(μ(x,y),z))∘A2,

证明若ψ∶J→End(V)是J在V上的Hom-Jordan超表示，由定义14可知(J⊕V，μ′,α+A)是Hom-Jordan超代数，故有

μ′(x,y)=(-1)|x‖y|μ′(y,x),

(-1)|x‖z|μ′(α(μ′(x,y)),μ′(α(z),t)+(-1)|x‖y|μ′(α(μ′(y,z)),μ′(α(x),t))+

(-1)|y‖z|μ′(α(μ′(z,x)),μ′(α(y),t))=(-1)|x‖z|μ′(α2(x),(μ′(y,z),t))+

(-1)|x‖y|μ′(α2(y),(μ′(z,x),t))+(-1)|y‖z|μ′(α2(z),(μ′(μ′(x,y),t))。

首先，对于所证定理4中ψ满足第一个等式(1)，若x,y∈J，有μ(x,y)=(-1)|x‖y|μ(y,x)恒成立。若x,y∈V，有0=0恒成立。若x,y有1个在J中，有1个在V中，则有ψ(x)(y)=ψ(x)(y)，恒成立。

其次，对于所证定理4中ψ满足第二个等式(2)，若x,y,z,t中有2个以上在V中，则乘积为0。若x,y,z,t中有1个在V中，另外3个在J中，则有下面的情况：

第一，若x∈V，则ψ所满足的第二个等式(2)等价于

(-1)|y|(|x|+|z|)+|t|(|x|+|y|ψ(μ(α(z),t))∘A∘ψ(y)(x)+(-1)|x|(|y|+|t|))ψ(α(μ(y,z)))ψ(t)∘A(x)+

(-1)|x‖y|+|t|(|x|+|z|)ψ(μ(α(y),t))∘A∘ψ(z)(x)=(-1)|x|(|y|+|t|)ψ(μ(μ(y,z),t))∘A2(x)+

(-1)|x‖y|+|t|(|x|+|z|)ψ(α2(y))ψ(t)ψ(z)(x)+(-1)|y|(|x|+|z|)+|t|(|x|+|y|)ψ(α2(z)ψ(t)ψ(y)(x),

(-1)|y‖z|ψ(μ(α(z),t))∘A∘ψ(y)+(-1)|y‖t|ψ(α(μ(y,z)))ψ(t)∘A+

(-1)|t|(|y|+|z|)ψ(μ(α(y),t))∘A∘ψ(z)=(-1)|y‖t|ψ(μ(μ(y,z),t))∘A2+

(-1)|t|(|y|+|z|)ψ(α2(y)))ψ(t)ψ(z)+(-1)|y‖z|ψ(α2(z)ψ(t)ψ(y)。

第二，当y∈V或z∈V时的情况，同理可证，我们也能得到相同的等式。

第三，若t∈V，则所证定理4中ψ所满足的第二个等式(2)等价于

(-1)|x‖z|ψ(α(μ(x,y)))ψ(α(z))(t)+(-1)|x‖y|ψ(α(μ(y,z)))ψ(α(x))(t)+

(-1)|y‖z|ψ(α(μ(z,x)))ψ(α(y))(t)=(-1)|x‖z|ψ(α2(x))ψ(μ(y,z))(t)+

(-1)|x‖y|ψ(α2(y))ψ(μ(z,x))(t)+(-1)|y‖z|ψ(α2(z))ψ(μ(x,y))(t)，

直接计算得到

故ψ是J在V上的Hom-Jordan超表示当且仅当ψ满足定理所给条件(1)和(2)。

推论5 设(J,μ,α)是一个Hom-Jordan超代数，则J的左乘映射L∶J→End(J)(满足：条件L(x)=Lx,∀x∈h(J))是J的一个超表示。

证明由定理4可知，L是一个超表示只需验证下面两个等式：

(-1)(|x|+|y|)|z|Lα(x)z∘α∘Ly+(-1)|x‖y|Lα(y)z∘α∘Lx+(-1)|x‖z|Lα(xy)Lz∘α=

(-1)(|x|+|y|)|z|Lα2(x)LzLy+(-1)|x‖y|Lα2(y)LzLx+(-1)|x‖z|L(xy)z∘α2，

由定理2中的式(3)和式(1)可得上面两个等式成立。故L是J的一个超表示。