一类分数阶伪抛物方程解的存在性和唯一性

杨阶慧,蒋 敏

(贵州民族大学 数据科学与信息工程学院，贵阳 550025 )

0 引言

本研究需要考虑的一类分数阶伪抛物方程的初边值问题为

(1)

其中：ut表示u关于t的偏导数，Ω∈RN(N∈+))是具有光滑边界∂Ω的有界区域，0

分数阶拉普拉斯算子最初是在物理学中观察Levy平稳扩散过程时被提出的，后来也被用于描述等离子体异常扩散、随机分析和流体动力学等现象[1-2]。分数阶微分方程因其在金融学、物理学、流体动力学、种群动力学、最小表面和博弈论等学科研究领域得到广泛的应用而获得了重要的地位。分数阶微分方程比经典微分方程能更好地描述实际问题。有一些自然现象具有记忆效应，不能用经典偏微分方程来建模，但是可以使用分数阶偏微分方程来解决这个问题。因此分数阶微分方程引起了广大数学家和物理学家的关注，也有了重大发展[3-5]。

值得指出的是，Liu等[6]研究了如下具有对数非线性的分数阶伪抛线方程

“百善孝为先，难得啊，难得！如此兵乱，你们长官还记得孝悌，就凭这点，见了你们赵长官我就想请他喝一杯。这样吧，这一带地形我们熟悉，加上昨天刚从龙游过江，对鬼子布防也比较清楚，我们负责把你们护送到峡口、杜泽、莲花镇一线，只要穿越鬼子防线再往西，应该就能看见衢州城。

ut+(-Δ)su+(-Δ)sut=ulog|u|，

(2)

依托校企共建生产性实训基地，开展校企产教融合。结合专业实训基地条件，与通信企业对接，在真实的工作环境和生产性项目中，实现“教、学、产、研”一体的生产性实训，进一步提高人才培养的技能水平和职业素养。由企业工程师、专任教师担任实训指导教师，将企业工程案例融入课程内容，指导学生分析项目、实施项目、验收项目等内容，实现学校教学环境和企业真实工作环境的对接。利用基地先进的设备和软件、优秀的师资团队通过企业承担实际工程项目，选拔优秀学生共同参与，让学生将课堂环境与企业真实工作环境一致，真正做到学校教学内容与工作内容的零距离结合。

在2020年，Ding 和 Zhou[7]研究了如下的基尔霍夫扩散模型

(3)

引理1[11]设X是Banach空间，u∈Lp([0,T];X),ut∈Lp([0,T];X),1≤p≤∞，那么有

受上述工作的启发，本研究对问题(1)进行了讨论，利用Galerkin近似法和压缩映射原理，得到了该问题解的局部存在性和唯一性。

20世纪70年代日本丰田公司因杜绝生产浪费的系列管理被世界关注，英文单词LEAN（译指精实的、去除虚胖的），此前多见于外资企业管理的“精益”，于2013年，在国内首次与医疗行业相结合——这年6月，恩泽集团与美国UL建立合作关系，成为中国“首家精益实践医院”，正式开启恩泽集团的精益医疗之旅。

1 预备知识

为了更便捷地陈述结果，下面介绍一些符号、基本定义和引理。

定义L2(Ω)中的内积和范数为

且u(x,0)=u0(x)。

回顾分数阶索伯列夫空间的一些必要条件和性质，更多细节可以参见文献[8-9]。固定s∈(0,1)，对任意p∈[1,∞)，定义分数阶索伯列夫空间Ws,p(RN)：

关注p=2时的情况，即Ws,2(RN) ，通常用Hs(RN)来表示。令

X0(Ω)={u∈Hs(RN)|u=0 a.e.在RNΩ内}，

由文献[10]知X0(Ω)是Banach空间[10]，其范数为

具有内积

现将问题(1)的弱解和最大存在时间定义如下。

定义1称函数u(x,t)是方程(1)的一个弱解，如果对任意T>0，u∈L∞(0,T;X0(Ω))，ut∈L2(0,T;X0(Ω))，∀v∈X0(Ω)，∀t∈[0,T),满足

(7)

在诉讼中，中国并没有追究美国商务部是否有权向非市场经济国家征收反补贴税，而是直接指出了美国商务部的“非市场经济方法”造成了双重救济从而违反了相关WTO法规。在对反补贴法措施合法性进行分析时，中美双方争论的焦点在于中国的国有企业以及商业银行是否属于《反补贴协议》中规定的“公共机构”。如果答案是否定的，那么美国商务部反补贴调查中认定的补贴则不应存在，作为结果美国也就不应该向中国征收反补贴税。

定义2设u(x,t)是方程(1)的一个弱解，定义u(x,t)的最大存在时间Tmax如下：

其中c>0。则由式(14)和式(15)知

综上所述，本文提出了一种全新的电力运输方法，就是在双有源桥拓扑的线路直流潮流控制器。该新方法的提出，在与传统研究对比时，此类新型电力运输方式具有无徐额外再次配比电源节能源、有效实现更具灵活性的双向控制线路直流潮流的优势。

其中CT(>0)是有界且不依赖于h的常数。因此可得

综上可知，如今在教育改革以及素质教育逐渐深化以及完善的背景之下实施探究教学，能够对学生的自主探索、独立思考这些能力加以培养，可以对教学要求及学生需求进行满足。数学教师在实施探究教学期间，需要合理设计探究任务，准确把握任务难度及知识宽度，并且合理设置探究情境，积极引导学生探究，不断增强师生交流互动，一同探究有关问题，这样才能促使教学效果进行提高。

u∈C([0,T];X)。

2 主要结果

本节主要利用Galerkin近似法和压缩映射原理研究问题(1)的解的局部存在性和唯一性。

定理1对任意T>0,u∈H和u0∈X0(Ω)，则存在满足如下条件的唯一的v使得

v∈C([0,T],X0(Ω))∩C1([0,T],L2(Ω)),vt∈L2([0,T],X0(Ω))

(8)

是如下非线性问题的解

现代文学区别于古典文学的本质特征之一，是知识话语的生产体系不同，无论是文学场域，还是生产主体，都发生了根本性的变革。现代教育在中国的落地生根，是词学研究学院化和学科化的体制基础。陈水云认为“直到1917年春蔡元培出任北京大学校长，在国文学门首设‘词曲’课程，并聘请吴梅、刘毓盘这样的词曲专家出任教授，中国词学现代化局面才算是打开了”⑩，词学作为一门专业的学科正式进入现代教育的体制中。《词学季刊》创刊号简要列举了20世纪30年代在高等学校任教的词学教授，如中央大学的吴梅、汪东、王易，中山大学的陈洵等，均在大学讲堂传道授业，培养了大批词学研究学者，推动了现代词学的学院化进程。

(9)

证明利用Galerkin方法。设Wh=Span{ω1,…，ωh}，h≥1，{ωj}(j=1,2,…，h)是X0(Ω)中的一组基函数，‖ωj‖X0(Ω)=1，‖ωj‖2=1，{ωj}在L2(Ω)和X0(Ω)中是正交且完备的，{λj}表示相关的特征值，令

(11)

是如下问题的近似解

(12)

其中：η∈Wh,t>0。对于j=1,…，h，在式(12)中取η=ωj，可得

(13)

（2）融资方式单一。根据调查结果发现，大学生创业选择融资方式时最先考虑的是融资成功率。由于大学生缺乏社会经验及较低的信用条件的现状，银行贷款“惜贷”使其门槛高而难，获得天使投资机会的概率又小，因此中国大学生创业者中大部分只能通过亲情融资、合伙融资的方式筹集创业基金。因此，为了提高大学生创业成功的概率，激发大学生创新创业的潜能，大学生应在选择融资渠道上，更加多元化、创新化。

MRI与CT对淋巴结性质的判断主要是以大小为主，并且将10mm以下作为评价标准。按照此次研究结果显示，MRI诊断淋巴结转移敏感度为38.46%，CT诊断淋巴结转移敏感度为28%。使用小型超顺磁性氧化铁离子作为对比机，能够对淋巴结转移情况进行诊断。该种检查机制主要是注射超顺磁性氧化铁离子之后，铁离子会被巨噬细胞吞噬，借助磁化反应能够降低MRI信号。

由u∈H可知‖u‖X0(Ω)和‖u‖2是有界的，因此只需估计式(14)的右边，采用Hölder不等式和Young不等式有

通过引入一族势井及其相应的集合，并结合势井理论构造了解的存在性与初值u(x,0)之间的关系。然后利用Galerkin近似法和势井族的性质，推导出了问题(2)在次临界和临界情况下解的全局存在性和无限时间的爆破性，并给出了全局解的能量泛函的衰减估计值。

(i)如果u(x,t)在0≤t<∞存在，那么有Tmax=+∞；

对于任意T>0，考虑对空间H=C([0,T,X0(Ω))赋予范数

vh→v在L∞(0,∞;X0(Ω))中弱*收敛。

进一步通过在问题(12)中取极限就得到问题(9)的弱解。

竞争中立制度追求的是自由竞争和公平竞争的目标，具体的实施模式在国有企业和私营企业之间通过一系列中立的政策建构竞争环境。而竞争中立最主要针对的对象其实是国有企业。而我国国企的强势地位是建构竞争中立制度的一大难题，虽然我国在确立市场经济体制之初就明确了国有企业要建立现代化治理制度，但我国国企特别是如石油、天然气、电信等公用企业产生的优势地位已极大影响了市场竞争。我国竞争中立制度若想充分实现其自由竞争和公平竞争的目的，就必须克服国有企业的强势、优势地位这一重大障碍。㉖我国改革国企面临着极大压力。改革国企要将其合理地类型化，而非一律进行市场化的转变，同时还需完善预算和资产管理制度。

如果v和ω是问题(9)的两个解，那么它们具有相同的初值，通过得到的两个方程相减可得

整理可得

因此v=ω，故定理得证。

定理2对任意u0∈X0(Ω)，T>0，那么问题(1)在[0,T]上存在唯一解。

1.1一般资料2015年5月至2017年5月我院对重症银屑病患者48例进行了研究分析,将患肢分成甲乙两组,均为24例患者。患者最小22岁,最大53岁,(38.11±2.21)岁,共有27例男性,22例女性,两组普通资料不存在统计学差异性,对结果不产生影响。

由定理1可知，对任意u∈DT，可以定义v=Φ(u)是问题(9)的唯一解。接下来利用压缩映射原理证明结论u=Φ(u)。

首先，证明Φ是DT到DT的映射，即证Φ(DT)⊆DT。取u∈DT，那么必存在一个相应的解v=Φ(u)，满足

用类似式(15)的方法估计式(17)可得

大陆村在打造旅游地产之初，就对大陆村的农宅进行整体改造，使之美观大方，独具田园特色。大陆村后期整体改造农宅150户，村民把平顶屋改为坡顶屋，并在屋顶上盖上小蓝瓦，并把墙体粉刷成白色，添加女儿墙、飘檐等，每户院落的整体设计都不一样，做到整体风格大致相同，又一户一景独具特色。

接下来证明Φ是压缩映射。取ω1,ω2∈DT，对应地存在v1=Φ(ω1)，v2=Φ(ω3),令v=v1-v2，可得

《中华人民共和国印花税暂行条例施行细则》[9]中明确规定：国家指定的收购部门与村民委员会、农民个人书立的农副产品收购合同免纳印花税。

因此根据压缩映射原理，得到问题(1)在[0,T]上存在一个唯一的弱解。

3 结论

分数阶抛物方程在科学研究和工程实践中发挥着重要的作用，许多现象都可以用分数阶抛物方程作为数学模型并通过模型、数学方法及相关理论来解决实际问题。分数阶导数是一个非局部算子，具有良好的记忆性和遗传性，而由于一些自然现象具有记忆效应，因此，分数阶微分方程比经典微分方程能更好地描述实际问题，使得许多不能用经典偏微分方程来建模的问题，都可以使用分数阶偏微分方程来解决。本研究利用Galerkin近似法构造问题的近似解，通过一些常用的不等式手段，得到了本研究所讨论的一类分数阶抛物方程解的局部存在性定理，再利用压缩映射原理得到了局部解的唯一性定理。