基于整体公平度最小极差的席位公平分配模型

韦碧鹏，史文雷，莫京兰

(1.柳州职业技术学院 通识教育学院，广西 柳州 545006；2.山东财经大学 会计学院，济南 250014；3.柳州工学院 数理教学部，广西 柳州 545616)

0 引言

席位公平分配来源于美国众议院在其各州的席位名额分配而产生的问题[1]。它在政治学、管理学以及对策决策等领域获得广泛的应用而备受关注。由于公平标准比较难界定，针对此问题，学者们从各方的公平性角度出发，通过定义各自的公平标准对公平分配问题进行研究，提出了一些公平席位分配的方法，如：尾数最大法[1]、Q值法[2]、最大熵法[3]、最小极差法[4-5]、最大概率法[6]等，这些方法在现实生活中也得到了较好的应用。国内学者张建勋在文献[7]中指出：国外学者M.L.Balinski与 H.P.Young于1974年提出了席位分配问题的公理化体系(以下简称为Young的公理化体系)，即人数单调性、无偏性、席位单调性、公平分摊性、接近份额性。但是，在1982年，这两位学者证明了同时满足这5个公理化体系的分配方法是不存在的[7]541-542。基于此，国内外学者在考虑满足Young的公理化体系第四条公平分摊原则的前提下，从各方的公平性角度对席位公平分配问题进行深入研究，提出了一些新的方法[8-9]。

在席位公平分配问题中，存在着个体公平和总体公平之间的矛盾，但它们又是不可分割的。基于此，岳林[10]从整体公平度的角度出发，认为席位公平分配问题的所谓公平应该达到的目标是各个个体和总体之间公平性应该相等或者尽可能相等，整体公平度是整体数量与整体席位数的比值，并对于席位公平分配问题提出了新Q值法。针对文献[10]所提出的整体公平度问题，不少学者对其进行研究，如：严余松[11]提出了0-1规划法；张建勋[7]提出了席位公平问题的代表个人角度、成员个人角度以及单位角度的评价模型，且对其进行了模型检验；吴黎军和田存福[12]采用相对指标建立了相应的新0-1规划模型。为了满足Young的公理化体系公平分摊原则，在文献[7]的基础上，张华等学者[13]提出了席位分配问题的整数变量模型，并对其进行了应用。丁会等学者[14]提出了基于平均公平度的席位分配方法。对于席位分配问题，也有一些学者从其他的角度进行研究[15-17]。以上文献基于不同的标准从各方公平性、整体公平度以及统计量等角度，对席位公平分配问题提出相应的数学模型和算法。虽然也有学者从整体公平的角度对席位公平问题提出相应的模型和算法，但是从整体公平的角度对问题进行研究还比较缺乏。

为此，本文将在整体公平度的基础上，提出改进的席位代表人数差量和改进的人数代表席位差量最小极差数学模型及其算法，并通过实验对改进算法与未改进算进行对此分析。

1 席位公平分配问题

2 基于整体公平度的席位代表人数差量最小极差数学模型

2.1 席位代表人数差量

对于席位分配问题，我们认为的公平，不但要考虑整体，还应当考虑各个体间的关系。因此，本文在文献[11]的基础上，对席位公平分配问题的整体和个体间的关系进行了研究，提出席位代表人数差量的概念。

2.2 最小极差数学模型

minz=x-y

(1)

案例1设某校有甲乙丙丁戊5个二级学院，这5个二级学院的学生人数分别为345、72、894、68、39(合计1418人)，学校代表大会学生的席位为47个，请对席位进行合理分配。

结合最小极差数学模型(1)，对案例1进行求解，得出其相应的结果如表1所示。

表1 席位分配结果

2.3 改进的最小极差数学模型和算法

2.3.1 改进的最小极差数学模型

minz=x-y，

(2)

其中：pi,N,P,ai是已知常数，yi,x,y为变量；yi表示各方在原有基础上所分配到的席位数。

2.3.2 算法

针对席位公平分配问题，根据启发式算法[18-20]的思想，在分配席位过程中，通过各方席位代表人数的数值与整体公平度的数值进行对比，删除席位代表人数差量小于或者等于零的一方，运用改进的最小极差数学模型IPDQM对下一个席位进行分配，直到剩余的席位等于零为止，具体算法如下。

结合案例1，对最小极差数学模型和改进的最小极差数学模型算法进行对比，具体如表2所示。

表2 PDQM模型算法与IPDQM模型算法结果比较

从表2中结果以及公平分摊性原则可知，运用IPDQM模型算法对各学院席位进行分配的方案满足公平分摊性原则，说明了IPDQM模型算法比PDQM模型算法优越。

2.4 几种方法的对比分析

对于席位公平分配问题，结合已有的模型，将文献[2]中Q值法、文献[3]中最大熵法、文献[8]中TMDP模型以及文献[14]中平均公平度算法与IPDQM模型算法进行对比，说明IPDQM模型算法的正确性。

案例2设某校有甲乙丙3个二级学院，这3个二级学院的学生人数分别为103、63、34，学校代表大会学生的席位为21个，请对席位进行合理分配。

根据2.3.2算法的步骤，可以得出IPDQM数学模型分配方案的具体结果。

步骤1：根据比例的方式，计算出各方的席位数，即

步骤2：运用取整的方式分配各方的席位数，结果为甲分得10个席位，乙分得6个席位，丙分得3个席位。下一步对剩余的2个席位进行分配。

步骤3：计算各方席位代表人数和整体公平度，其计算结果如下。

由于甲乙丙三方席位代表人数都大于整体公平度的值，因此运用IPDQM模型及其算法对第20个席位进行分配，求解得出第20个席位分配给甲，因此，甲分得席位由10个变为11个席位。

步骤4：分配第21个席位，与步骤3一样。首先计算出各方的席位代表人数和整体公平度，根据计算得出甲的席位代表人数为9.36，小于整体公平度9.52。因此，在分配第21个席位时，不考虑甲方，仅仅把剩余的席位分配给乙方和丙方。重复步骤3得出，第21个席位分配给丙，因此，丙分得席位由3个变为4个席位。最终，21个席位分配结果：甲11个，乙6个，丙4个。

经过计算，可以得出Q值法、最大熵法、TMDP模型算法、平均公平度算法对于21个席位分配的结果，与IPDQM模型算法所获结果进行比较的情况如表(3)所示。

由表3中结果可以看出，IPDQM模型算法的计算结果与经典Q值法和最大熵法的结果相同，可以说明IPDQM模型算法的正确性。

表3 各算法席位分配结果对比

案例3设某公司有甲乙丙丁戊5个部门，这5个部门的职工人数分别为10、19、40、48、59，公司代表大会职工的席位为78个，请对席位进行合理分配。

基于整体公平度的角度，将文献[9]中的新Q值法、文献[10]中的0-1规划法以及文献[14]中的平均公平度算法，与本文建立的IPDQM模型算法对席位分配的研究结果进行比较，结果如表(4)所示。

由表4可见，基于整体公平度的角度下建立的席位公平分配模型(新Q值法、0-1规划法、平均公平度算法)极差较大，本研究基于整体公平度角度建立的IPDQM模型算法所得的分配结果极差较小。本算法结果的极差小能够使得席位分配更加集中，从而使得分配对于公司各个部门来说更加公平。因此，基于整体公平度的角度，本研究建立的IPDQM模型算法更公平合理。

表4 各算法席位分配结果对比

minz=x-y，

(3)

证明(i)充分性

将不等式变形，则约束条件转变为

这与模型(3)中的约束条件一致。

(ii)必要性

这与改进的最小极差IPDQM模型中的目标函数一致。又由于有约束条件

这与改进的最小极差IPDQM模型中的约束条件一致。

为了说明基于整体公平度建立的IPDQM模型和算法与文献[8]在各方公平性下所建立的TMDP模型的差异性，构造某公司甲乙丙丁戊5个部门的4组数据(见表5)，并对这4组数据进行对比分析，结果如表5所示。

表5 IPDQM模型算法与TMDP模型算法对比

从表5中可以看出，基于整体公平度的角度，所建立的IPDQM模型算法与从各方公平性的角度建立的TMDP模型算法是有区别的。例如：甲乙丙丁戊5个部门的人数分别为10、24、31、39、89，总席位为26个。经过分配IPDQM模型和算法的结果为1、3、4、6、12，TMDP模型和算法的结果为2、3、4、5、12。运用IPDQM模型和算法，甲得到的席位数少了1个，丁得到的席位数多了1个。这是由于IPDQM模型和算法考虑了分配的整体性，然而TMDP模型和算法仅仅考虑各个部门之间的关系，忽略了整体性的存在。从而也验证了定理1，即当席位代表人数差量大于等于零时，IPDQM模型和TMDP模型等价。

3 基于整体公平度的人数代表席位差量最小极差数学模型

3.1 改进的最小极差数学模型

定义2设m个机构(简称m方)中有P人参与总席位的分配，第i方的人数为pi(i∈m)，所分配到的席位数为ni(i∈m)，称为第i方相对于整体公平度倒数的人数代表席位差量。

minz=x-y，

(4)

3.2 算法

针对席位公平分配问题，根据启发式算法[18-20]的思想，在席位分配过程中，通过各方人数代表席位的数值与整体公平度的倒数数值进行对比，删除人数代表席位差量大于或者等于零的一方，运用改进的最小极差数学模型ISDQM对下一个席位进行分配，直到剩余的席位等于零为止，具体算法如下步骤。

3.3 IPDQM与ISDQM模型算法对比

案例4(数据来源于案例1)设某校有5个二级学院，这5个二级学院的学生人数分别为345、72、894、68、39，学校代表大会学生的席位为N个，请对席位进行合理分配。

为了说明IPDQM与ISDQM两种模型算法的区别与联系，本案例运用案例1数据和相关分配原则对它们进行说明，具体结果见表6。

表6 IPDQM模型算法与ISDQM模型算法结果对比

从表6中可以看出，当学校代表大会学生的总席位分别为47、48、50、101以及102时，模型IPDQM与模型ISDQM的算法结果相同。但当学校代表大会学生的总席位分别为30、99、100以及150时，以上两种模型的算法结果不一样，即某些二级学院所获得的代表席位数不一样。

4 结论

席位公平分配问题由于其在政治学、管理学以及对策决策等领域得到广泛的应用而一直以来备受关注。基于整体公平度的角度，本文通过给出席位公平分配问题的席位代表人数差量的概念，提出了一种基于整体公平度最小极差PDQM的数学模型。为了寻求满足Young的公理体系中公平分摊原则，对最小极差PDQM模型进行改进，进而提出了改进的最小极差IPDQM数学模型和算法。通过案例，将改进分配方法与现有的分配方法进行对比，说明了改进的最小极差IPDQM数学模型和算法的正确性与有效性。此外，为了研究席位代表数量和人数代表数量模型之间的关系，在席位代表人数差量的基础上，定义了人数代表席位差量的概念，提出了基于整体公平度的人数代表席位差量改进的最小极差数学模型ISDQM。通过具体的案例进行分析，得出IPDQM数学模型算法与ISDQM数学模型算法之间的差异性。