基于竞赛题探讨Taylor展开式在极限问题中的应用

王成强

(成都师范学院 数学学院，四川 成都 611130)

一、引言

此公式称为函数f(x)在点x=a处的n阶带有积分型余项的Taylor展开式[1,2]。Taylor展开式有广泛的应用[1-3]。

自2009年起,中国大学生数学竞赛每年举办一届,分为预赛与决赛,面向数学专业学生与面向非数学专业学生的赛题不同,但非数学专业学生可申请参与面向数学专业学生的赛题,反之不然[4-5]。中国大学生数学竞赛试题代表性充分,趣味性浓郁,对它们的研究对大学生学习数学、对大学教师讲授数学都有指导性意义。本文旨在以过去十届中国大学生数学竞赛中的一系列极限题为例,探讨函数的Taylor展开式在处理极限问题中的应用[5-9]。

二、Taylor展开式在极限问题中的应用探讨

(一)幂函数的Taylor展开式在极限问题中的应用

幂函数(1+u)α的Taylor展开式完整表述如下:当u→0时,有

分析:例1是第十届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2018年)第一题第1小题,官方参考答案的主要工具是迫敛性:因α∈(0,1),故

解:借助于幂函数的带有Peano型余项的Taylor展开式可证得,当n→∞时,有

于是

解:借助于幂函数的带有Peano型余项的Taylor展开式可证得,当n→∞时,有

(二)指数函数与对数函数的Taylor展开式在极限问题中的应用

指数函数eu的Taylor展开式完整表述如下:当u→0时,有

对数函数ln(1+x)的Taylor展开式完整表述如下:当u→0时,有

指数函数与对数函数具有丰富的性质,与幂函数一样,它们的Taylor展开式在处理极限问题的过程中有重要应用。

分析:例3是第二届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2010年)第一题第2小题,它的解法很多,例如,主要借助于L’Höpital法则,

解:借助于对数函数带有Peano型余项的Taylor展开式可证得,当x→∞时,有

于是

例4 计算函数极限

分析:例4是第三届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2011年)第一题第1小题,和例3类似,它可借助于L’Hpital法则进行求解。例4中的极限表达式涉及多个函数的求和,启发尝试利用Taylor展开式进行求解。

e2(1+2-x+o(x)-2+

o(2-x+o(x)-2))=e2(1-x+o(x))

于是

解:借助于指数函数的带有Peano型余项的Taylor展开式可证得,当x→0时,有

于是

分析:例6是第一届中国大学生数学竞赛非数学专业类决赛(2010年)试题中的第二题第1小题。因极限表达式中有因子是和式,这启示尝试借助于Taylor展开式求解该题。

(三)三角函数的Taylor展开式在极限问题中的应用

正弦函数sinu的Taylor展开式完整表述如下:当u→0时,有

分析:例7是第一届中国大学生数学竞赛非数学专业类决赛(2010年)试题中的第三题。因极限表达式中含有和式因子,故可尝试借助于Taylor展开式求解例7。

f(sin2x+cosx)=f(1)+

f′(1)(sin2x+cosx-1)+

o(sin2x+cosx-1)=

2(sin2x+cosx-1)+o(sin2x+cosx-1)=

o(x2)=x2+o(x2)

分析:例11是第三届中国大学生数学竞赛非数学专业类决赛(2011年)试题中的第一题第1小题,经分析可发现它有基于L’Hpital法则,也有基于等价无穷小替换技术的解答方案,但极限表达式中含有和式因子,因此,如例5与例7分析得出的结论那样,可尝试借助于Taylor展开式求解例11。

(四)多种函数的Taylor展开式在极限问题中的结合应用

例9 计算函数极限

分析:例9是第十届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2018年)试题中的第一题第4小题,可从多种视角发现它的解答思路。

因此,

例10 计算函数极限

分析:例10是第三届中国大学生数学竞赛非数学专业类决赛(2012年)试题中的第一题第2小题,官方参考答案的解题思路是:将原极限表达式进行等价变形,然后再借助于L’Hpital法则完成解答的任务。本文基于指数函数与幂函数的Taylor展开式给出例10的一种新解答方案。

于是

(五)等价无穷小量替换技术与Taylor展开式的结合应用

分析:例11是第二届中国大学生数学竞赛非数学专业类决赛(2010年)试题中的第一题第1小题。在等价无穷小替换技术的帮助小,利用Taylor展开式解答例11能让解答过程变得更加简洁。

解:当n→∞时,借助于幂函数的带有Peano型余项的Taylor展开式可证得,有

分析:例13是第九届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2017年)试题中的第一题第4小题,它事实上有多种解答方法,但是借助于无穷小量等价关系:当x→0时,x～sinx能使问题的解答过程最简洁。

解:因f(0)=f′(0)=0,故借助于Taylor展开式可得,当x→0时,有

f(sin2x)=f(0)+f′(0)sin2x+

3sin4x+o(sin4x)

分析:例14是第八届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2016年)试题中的第一题第1小题,它有多种解法,例如,只利用函数f(x)在点x=a处的Taylor展开式也可给出它的一种解答,但经分析可发现,结合利用等价无穷小替换技巧与Taylor展开式可使得解答过程更加简洁扼要。

分析:例15是第八届中国大学生数学竞赛非数学专业类预赛(2016年)试题中的第一题第2小题,它与例7,例13,例14都相似。借助于无穷小量等价关系:当x→0时,ex2-1～x2,sinx～x,tan3x～3x可使得原极限问题更加容易,事实上,新得到的极限问题可由Taylor展开式解答。

解:当u→0时,由函数f(u)在点u=1处的Taylor展开式,

有f(u)=f(1)+f′(1)u+o(u)=f′(1)u+o(u)

三、结语

本文以过去十届中国大学生数学竞赛中的一系列赛题为例,探讨函数的Taylor展开式在处理极限问题中的应用。中国大学生数学竞赛中的问题典型且具有充分的代表性,因此,基于这些问题的研究能为大学数学,尤其是函数的Taylor展开式理论与极限理论知识点,的学习与讲授带来更多有益启迪。