有理真分式的拉普拉斯积分变换的反演

张 波，陈 珍，袁季兵*

(1.衡阳师范学院物理与电子工程学院， 421002 ，湖南，衡阳；2.衡阳市第八中学，421008， 湖南，衡阳)

0 引言

1 有理真分式分解成分项分式

有理真分式有如下形式

(1)

其中n>m。

(2)

发现有理真分式可分解成下面分项分式

(3)

其中常系数可以用下面公式求出

(4)

2 有理真分式的拉普拉斯积分变换反演

接下来介绍如何对分解后的有理真分式(3)执行拉普拉斯积分变换反演。首先简要介绍拉普拉斯积分变换的基本概念和一些基本性质。对于一个自变量定义在[0,∞]区间的函数f(t),对它执行拉普拉斯积分变换的形式如下

(5)

拉普拉斯积分变换具有如下一些重要性质：

1)线性定理￡[c1f1(t)+c2f2(t)]=c1￡[f1(t)]+c2￡[f2(t)]；

同时还介绍一个本文需要用到的一个重要的拉普拉斯积分变换反演关系式

(6)

其中n为正整数，s为复常数。

利用拉普拉斯积分变换的线性定理以及关系式(6)，得到有理真分式(3)可反演成如下形式

(7)

根据得到的一般有理真分式的拉普拉斯积分变换反演式(7)，具体讨论2种常见有理真分式下的拉普拉斯积分变换反演式。

1)n个单根的情形。有理真分式分母只有n个单根时，式(3)可化简成

(8)

它的拉普拉斯积分变换的反演式为

(9)

其中系数

(10)

进一步讨论n个单根中存在s对共轭复单根，n-2s个单实根的情形。当所求的根为复数时，那么这个根的共轭复数必然也是N(p)=0的根，因此设p1,2j=α2j+iβ2j，p1,2j-1=α2j-iβ2j，j=1,2,3，…s，其中α2j，β2j为实数。当有理真分式为实系数有理真分式时，可以证明它们对应的系数A1,2j,0=A1,2j-1,0*=a2j+ib2j，其中a2j，b2j为实数。它的拉普拉斯积分变换的反演式可以进一步化为

(11)

2)1个s重根，n-s个单根的情形。在这种情形下，式(3)可化简成

(12)

它的拉普拉斯积分变换的反演式为

(13)

其中系数分别为：

3 有理真分式拉普拉斯积分变换反演的应用

(14)

(15)

最后介绍另一个应用。2个RLC串联电路相互感应，互感系数为M，2个线圈具有相同的R、L、C，如果第1个线圈的电压为E，第2个线圈无电源，求第2个线圈感应的电流？通过对2个线圈的电压分别进行分析，可以得到有关2个线圈电流的微积分方程组

(16)

其中j1，j2为2个线圈的电流。利用线性定理、导数定理和积分定理对上面的方程组执行拉普拉斯变换，可以得到下面的代数方程

(17)

上面方程假设了2个线圈初始时刻的电流均为零。整理上面的代数方程，可以得到

(18)

4)△1=0,△2<0, 此时1个根为2重实根，一对共轭复根，j2(t)的形式为j2(t)=2eα2t(a2cosβ2t-b2sinβ2t)+A2,1,0tep2,1t+A2,1,1ep2,1t。

4 结束语

按照有理真分式分母等于零所得的根的分类，把一般的有理真分式分解成了分项分式的形式。每个分项分式的系数可以用3个参数表达，并给出了求解各个系数的表达式。基于分项分式，利用拉普拉斯积分变换的线性定理和关系式(6)对有理真分式进行了反演，给出了一般有理真分式原函数的具体形式(7)。通过这个表达式(7)，讨论了单实根、共轭复根、s重根等性质的根分别对应的原函数。这对于理解物理学中多样的运动方式背后的物理原因具有一定的启发意义。最后介绍了有理真分式拉普拉斯积分变换反演的2个应用。本文在快速求解常系数微积分方程组方面具有一定的指导意义。