几类联图的顶点PI指数

王明杰，红 霞

(洛阳师范学院数学科学学院，471022，河南，洛阳)

0 引言

图的拓扑指数不仅能体现结构图中相关性质，而且在理论化学、复杂网络以及信息科学等领域有广泛的应用。1947年，H Wiener[1]是第一个提出Wiener指数，它不仅是图理论中典型的一类指数，而且也是最早被很多学者引用及研究的对象。基于这一指数，繁衍出很多类似的拓扑指数，如基于距离的参数有图的度距离[2]，基于到2个端点距离之差来分类的不同运算的参数有Szeged指数[3]和PI指数[4-5]等。至今为止，很多图的顶点PI指数和边PI指数[6-15]被研究。本文主要研究了几类联图的顶点PI指数，从而丰富了拓扑指数理论。

1 基本概念

本文将考虑的图均为无向简单图，没有说明的术语同文献[4]。特别地，对任意顶点u，v∈V(G)，用dG(u,v)表示连通图G中从顶点u到顶点v的距离。

定义1[6]：令图G=(V,E)是简单连通图，图G的顶点PI指数计算公式为PI(G)=∑e=uv∈E(nu(e|G)+nv(e|G))，其中

nu(e|G)=|{w|dG(w,u)

nv(e|G)=|{w|dG(w,v)

下文中，用Pn、Cn、Kn分别表示n个顶点的路、圈以及完全图，而用F1·n表示一个顶点与Pn上每个顶点相连而成的图，即为扇图。

2 主要结果

定理1：对于n≥1，m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m，

|V(G)|=m+n,|E(G)|=mn+n-1。由图G的结构对称性及PI指数定义可得如下分解公式：

3)对于式子(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，对任意的顶点w∈V(G){v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=(n-1)n=n2-n。

综上所述，可得

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2+2m-n。

定理2：对于n≥3、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m}，

|V(G)|=m+n,|E(G)|=mn+n。

当n=3、m≥1时，由图G的结构对称性及PI指数定义可得如下分解公式：

2)对于式子n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，对任意顶点w∈V(G){u3,v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=n(n-1)=n2-n，

从而有

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2-n=3m2+3m+6。

当n≥4、m≥1时，由图G的结构对称性及PI指数定义可得如下分解公式：

2)对于式子n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，对任意顶点w∈V(G){v1,v2,...,vm}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

n[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=n(m+n-m)=n2，

则

PI(G)=m2n+mn2-2mn+n2。

综上所述，可得

定理3：对于n≥1、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|1≤i≤n,1≤j≤m},

由图G的结构对称性及PI指数定义可得如下分解公式：

综上所述，可得

PI(G)=m2n+mn+n2-n。

定理4：对于n≥1、m≥1，有

令

V(G)={ui,vj|0≤i≤n,1≤j≤m},

V(G)|=m+n+1，|E(G)|=mn+2n+m-1。

由图G的结构对称性及PI指数定义可得如下分解公式：

4)对于式子(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]，对任意顶点w∈V(G){v1,v2,...,vm,u0}，有dG(w,u1)≠dG(w,u2)，故有

(n-1)[nu1(e1|G)+nu2(e1|G)]=(n-1)n=n2-n。

综上所述，可得

PI(G)=m2n+mn2+2n2+m2-2mn+3m-2n+2。

3 结束语