应用型本科背景下高等数学混合式教学改革研究——以分段函数为例

卢丑丽，鲁官有

(1.晋中信息学院数理教学部，山西太谷，030800；2.晋中信息学院大数据学院，山西太谷，030800)

一、引言

信息技术的快速发展，给高等教育改革带来新的思路和方法。***总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：“要运用新媒体新技术使工作活起来，推动思想政治工作传统优势同信息技术高度融合，增强时代感和吸引力。”[1]自20世纪90年代以来，混合式教学发展为基于移动通信设备、网络学习环境与课堂相结合的教学情境。SPOC(Small Private Online Course，译为“小规模限制性在线课程”)混合式教学融合MOOC和传统课堂教学实践可实现线上线下混合式教学，近年来，这方面的研究较多。例如，针对互联网背景、素质教育导向、网络教学平台运用等，从不同角度对高等数学课程进行混合式教学研究[2-5]，或结合英语课堂思政改革对混合式教学实践进行了探究。[6]研究表明，创设“互联网+教育”的新环境，开展混合式教学是课堂生态发展的必然趋势。高等数学是大学一门抽象性、理论性较强的基础课，不仅对专业基础课教学的推进有重要意义，而且受众面广，育人功能突出，对其他课程教学改革同样具有重要的指导作用。自2020年开始，课题组利用超星学习通教学平台，结合应用型本科院校晋中信息学院学生的特点，对该校2020级、2021级学生进行了高等数学课程的混合式教学实践。教学中，教师立足课程实际和学情，积极探索新举措、新方法，通过创新教学改革，形成了一些较好的教学效果和教学反馈。分段函数是高等数学的难点，已有研究者对分段函数的极限、微积分的解法、概率问题的应用进行了详细的研究。[7-8]而分段函数的教学策略及方法鲜少提及。对此，本文主要在高等数学混合式教学改革背景下，以分段函数为研究对象，研究其教学策略及案例教学的实施途径。

二、分段函数在高等数学的地位

三、分段函数在混合式教学改革中的教学策略

分段函数深入高等数学中的每一个章节，主要包含以下三大模块：“函数、极限部分”“一元微积分部分”“多元函数的分段问题”。分段函数教学内容与后续课程紧密相关，基础性和应用性并存。混合式教学模式下，教学内容的切割、传统授课与新技术应用的协调、传统课堂教学手段的比例和适用度是课题组不断研究、不断实践的内容。课题组吸收传统课堂教学优势，以课程教学内容为根本，以分段函数内容为基础，融入多元文化和元素，积极反思和探索，构建信息化思维，探究分段函数的教学新思路和新策略。

(一)把握概念，讲好基础

分段函数的计算虽然繁杂，但作为解决问题的关键，最基础的是概念和定义。因此，概念的理解对学生的学习效果是至关重要的。在备课和讲授过程中，教师一定要抓住基础，讲好要点和关键点。分段函数定义的本质是在分界点左右两侧的解析式不同。在讲解时，教师可以先让学生从直观的感性认识出发，逐步上升到理性认识，从“电商发货区域包邮与不包邮的快递问题”引入，引起学生对分段函数的认识，理解分段函数的生活常态的表现。在判断分段点的极限时，教师可以先画出分段函数的图象，让学生体会曲线的特征，再引导学生观察几类熟悉的图象，进而向极限的概念靠拢，进行思维再加工。经过一番理解，学生可提炼出如下结论：先求分段点的左、右极限[8]，再判断左右极限是否相等；若相等，则极限存在；否则，极限不存在。在此基础上，学生可进一步思考“若函数在分段点的函数值和极限值相等，则函数在分界点连续；否则，不连续，即函数间断”。

(二)逆向思维，促进有效计算

(三)结合实际应用，进行案例教学

教师可以结合知识点穿插案例，让学生通过对案例的分析、思考、应用，体会用数学的妙处，理解案例蕴含的原理。例如，结合实际创设实际案例，设计问题情境，利用分段函数进行数学建模，更易培养学生的学习兴趣，利于帮助学生理解知识点，进而解决实际社会生活中的问题。参考各级各类数学建模竞赛题库，教师可以将案例教学、案例作业结合起来，引导学生创设自变量、因变量的函数关系，建立合理的数学模型，层层深入，激发学习数学和研究问题的兴趣和热情，培养自主学习、合作学习和解决问题的能力。例如，教师在分段函数教学中可以采用以下案例。

【案例一】智能手机成了人们学习和生活的必备，我们以个人手机资费套餐为背景，借助多媒体、网络、校园群等调查搜集本地相关网络运营商的话费套餐、收费标准资料，并解决以下问题：若每月通话需求为100分钟，用哪个套餐比较优惠？若运营商计划每周推出一天为活动日，赠送一定量的流量，活动日应定在周几？赠送流量为多少时客户最多？在学习了概率论与数理统计后，教师可以将此案例进行延伸，引导学生调查、统计我校大数据学院不同学生的话费套餐使用情况，利用概率知识估计我校学生的话费使用情况，从运营商角度推出校内新套餐。

【案例二】我校人才培养方案中“完满教育”模块学分由艺术实践、竞技体育、志愿服务、社团活动四个活动板块构成，每一板块有最低学分限制。教师可以引导学生调查统计自己所在班级志愿服务活动栏目的学分构成情况，以及在第一学期的学分获得情况，建立数学模型，估计第二学期学分。

(四)融入信息技术，加强软件应用

程序如下：

import sys

import os

print(′请输入自变量x的值：′)

x = float(input())

y = float(input())

if x ==0：

result = y

elif y ==0：

result = x

else：

result = x*y

print(′因变量f(x)的值为：′，result)

print(sys.version)

(五)注重学科融合，兼顾知识延拓

教师可以应用为导向，结合专业应用，思考教学对策。分段函数应用广泛，是后续学科概率论与数理统计、复变函数、运筹学、数字信号处理等课程的必备工具和基础。[7，9]但高等数学教材对分段函数后续应用的编排有限，如多元分段函数的二重积分并未编排，对广义积分的刻画较简略。这就要求数学教师与专业课教师一起研讨，在备课时充分结合学科专业应用，把握知识的整体性，对教学内容进行分析重构，创设基础课程群一体化教学内容。例如，结合概率论中的分布函数、密度函数等进行举例和练习，将复变函数的初步知识渗透在无穷级数中。课程设计体现深度和广度，做到多种方法结合以突破难点，多学科融合以开阔学习的视野，加深学生对知识的理解和应用。

四、混合式教学模式下分段函数教学案例的实施途径

基于超星学习通教学平台构建混合式教学模式，本文以中国农业出版社出版的《高等数学》中第五章“定积分”中“分段函数的定积分”为例，结合学生实际和教学实践，挖掘课程的亮点，从课前、课中、课后介绍本节课程教学的案例设计。

(一)课前自学阶段

(二)课堂学习阶段

(三)课后学习阶段

五、结语

应用型本科院校的人才培养应坚持理论和能力并重，结合我校实际和学情，课程团队对高等数学进行混合式教学改革，在形式上突破传统的“黑板演示+教师讲解”形式，在教学内容上注重针对性和应用性，改进了教学方法和策略，形成了一些较好的教学效果和教学反馈。以分段函数混合式教学为例的教学实践表明，分段函数的课堂饱满而充实，能够增强学生学习意愿，学生获得感强，教学效果好。在后续教学实践中，我们需要继续围绕应用型本科育人定位，进一步分析课程内容，探索育人、教学、应用相结合的创新教学模式，促使高等数学教学改革更深入。