紧致类空子流形Schrodinger算子的第一特征值

张燕朋

黎曼空间形 Mn+1(c)中具有常平均曲率的超曲面是变分意义下面积函数的临界点。J.L.M.Barbosa等［1］研究了黎曼流形中具有常平均曲率超曲面的稳定性，但没有考虑具有常数量曲率的超曲面是否也具有类似的稳定性。H.Alencar等［2］研究了黎曼流形中具有常数量曲率的超曲面的稳定性。WU CX［3］利用Schrodinger算子研究了单位球中紧致极小浸入子流形，获得了该类空子流形的一些谱特征值。 A.A.Barros等［4］对文献［3］中的结论进行了推广，在欧氏球 Sn+p中具有平行平均曲率向量的紧致子流形上引入Schrodinger算子L = Δ + V （ V 是依赖于n、p和h的量），得出了关于算子L的第一特征值 μ1的一个间隙定理，证明了结论μ1=0或μ1≤-(1+H2)。该间隙定理同样适用于球、Chfford 环和 Veronese 曲面。 J.L.M.Barbosa 等［5］和LIU X M等［6］分别研究了Lorentz流形中具有常平均曲率或常数量曲率的类空超曲面的稳定性。目前，关于de Sitter空间 Spn+p(c)中具有常平均曲率或常数量曲率的类空子流形方面的研究已开展得比较普遍，但关于类空子流形谱方面的研究还比较有限。在本文中，笔者引入两个Schrodinger算子和并通过对和LR的第一特征值的估计获得了该类空子流形的一些谱特征值。

由于类空子流形具有特殊的性质， LH和 LR的定义与文献［4］中Schrodinger算子的定义是不相同的，在类空子流形下， LH和 LR的第一特征值具有特殊形式。

1 预备知识

设 Spn+p(c)是常截面曲率为 c ( c ＞0)、指标为p的n + p维de Sitter空间， Mn是浸入 Spn+p(c)中的n维黎曼子流形。选取适当的局部伪黎曼规范正交标架场 e1, e2,L ,en+p使得 e1, e2,L ,en切于M。在以下叙述和证明中，做如下约定：1 ≤ A, B, C , D ≤ n+ p;1≤i, j, k, l ≤ n ; n + 1 ≤ α ,β≤n + p。

设 { ωA}和 {ωAB}分别为 { eA}的对偶形式和联络1-形式，则有如下 Spn+p(c)的结构方程：

在 Mn上 限 制 ωα=0，则 由Cartan引 理 可 得因此，可以得到 Mn的结构方程

设 Rijkl、 Rik、 Rαβij和 R分别表示 Mn的曲率张量分量、Ricci曲率张量分量、法曲率张量分量和标准数量曲率，则有

设 Mn的第二基本形式平均曲率向量平均曲率H=第二基本形式模长平方的一阶和二阶协变导数分量分别为和 hαijkl，且

Codazzi方程和Ricci恒等式分别为

定义 hαij的 Laplacian运算 为 Δ结合式（4）和式（5）可知，对任意的 α ，有

选取适当的标架场，使得 H =Hen+1,则有nH=且对任意的

若用 Hα表示矩阵，则有

其中 α ≠ n +1。

若Φα表示矩阵 [Φiαj]，则有

α≠ n + 1 ，且对任意的 α ，有

因此，有

并且

当 Mn具有平行单位平均曲率向量时，利用式（1）、式（3）、式（6）和式（7）直接计算，可得

上式中的 N ( g)表示为以下含义：对于任一矩阵A，记N ( A) = tr(A AT),其中 AT表示矩阵 A 的转置矩阵。

为了便于主要结论的证明，给出 W 算子的定义及几个相关的引理。

定义1［7］：设是 Mn上的 Codazzi张量场，定义Φ 的 W 算子为

引理1［8］：设A和B是 Rn→Rn的对称线性映射，且满足 A B = BA 和 tr A = t r B =0，则有

引理2：设 Mn是de Sitter空间(c)中具有常标准数量曲率 R ( R ＜ c)的类空子流形，则有

引理3：设 Mn是de Sitter空间 Spn+p(c)中具有平行单位平均曲率向量及常标准数量曲率 R ( R ＜ c)的类空子流形，则有

再根据式（8）、式（9）和式（10）可以得出

对Φα和Φn+1应用引理1，可得

两边对α 求和，可得

并且有

联立式（18）、式（19）和式（20）式可以得出结论。

引理4：设 Mn是de Sitter空间(c)中具有平行单位平均曲率向量及常标准数量曲率 R ( R ＜ c)的类空子流形，则有

证明：由 Mn是具有平行平均曲率向量可知H是常数，从而有

结合式（10）可得

又由

及式（15）、式（16）、式（17）、式（23）和式（24）可知

联立式（19）、式（20）和式（25）即可得出引理结论。

引理5：设 Mn是de Sitter空间 Spn+p(c)中的n维类空子流形，则有

证明：固定 eα，设 Φα是 Φ 的第 α 个分量，选择标准正交基 {}使其作为Φα对应于特征值 λiα的特征函数，则有

由Cauchy-Schwarz不等式可得

对于任意的 α ， 有 t r(Φα) = 0。 对于固定的指标i，有。由Cauchy-Schwarz不等式可以得出

结合式（26）可得

由式（26）和式（27）可知

故有

2 主要结论及其证明

定理1： Mn是de Sitter空间 Spn+p(c)中具有平行平均曲率向量的n维紧致定向类空子流形，假设 Mn不是全脐的及 λ1LH是Schrodinger算子 LH的第一特值，则有

证明：由于 Mn是定向的，不妨假设 H ≥0。对于任意的 ε ＞0，考虑光滑函数由于 Mn不是全脐的，故有现在把fε作 为测试函数来估计， 由于

故由引理4和引理5可得

由于 fε是 测试函数，故由极大值极小值原理及式（30）可知

当 ε →0时，上式可化为

定理2： Mn是de Sitter空间 Spn+p(c)中具有平行单位平均曲率向量及常标准数量曲率 R ( ＜ c)的n维紧致定向类空子流形，设 λ1LR是Schrodinger算子 LR的第一特征值，则

证明：由 R ＜ c可知 W 算子是椭圆算子，由n2H2= S + n ( n - 1 ) - ( c - R ) ＞ 0 可知 H ≠0。由 于 Mn是定向的，故可假设 H ＞0。令 f =H，并将其作为测试函数估计 λ1LR。由引理4和引理5可得

故有

由极小值极大值原理及式（32）可知

参考文献：

［1］ BARBOSA J L M,CARMO M D,ESCHENBURG J.Stability of hypersurfaces of constant mean curvature in Riemannian manifold［J］.Mathematische zeitschrift,1988,197:123-138.

［2］ ALENCAR H,CARMO M D,COLARESA G.Stable hypersurfaces with constant scalar curvature［J］.Mathematische zeitschrift,1993,213:117-131.

［3］ WU C X.New characterizations of the clifford tori and veronese surfaces［J］.Archiv der mathematik,1993,61（3）:277-284.

［4］ BARROSA,BRASILA,DESOURSALAM.Anewcharacterization of submanifolds with curvature in Spn+p(c)［J］.Kodai mathematical journal,2004,27:45-56.

［5］ BARBOSA J L,OLIKER V.Stable space-like hypersurfaces with constant mean curvature in Lorentz space［J］.Geometry and analysis,1993:161-164.

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［7］ CHENG S Y,YAU S T.Hypersurfaces with constant scalar curvature［J］.Mathematische annalen,1977,225（3）:195-204.

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