基于过度外推的资产定价 ①

彭 涓， 母从明， 朱小能, 3， 杨金强, 3

(1. 上海财经大学金融学院， 上海 200433； 2. 湖南大学金融与统计学院， 长沙 410082；3. 上海国际金融与经济研究院， 上海 200433)

0 引 言

自Mehra和Prescott[1]在其开创性论文中提出著名的“股权溢价之谜”后，大量金融学家、经济学家前赴后继、费尽心思，试图彻底揭开这一谜团.然而，随着研究的深入，学术界相继发现了“无风险利率之谜”和“超常波动之谜”[2, 3]. 这两个新谜团的出现，进一步增加了学术界解决“股权溢价之谜”的难度，因为这三个谜团之间有着千丝万缕的关系.很多试图解决这些谜团的理论常常顾此失彼，只能解释其一，不能解释其二.就金融市场而言，无风险利率、风险溢价和市场波动是相互统一的有机整体，这意味着合理的资产定价理论应该具备同时解释三大谜团的能力.理论上，无论是“股权溢价之谜”、“低利率之谜”还是“超常波动之谜”，无一例外都表明了基于标准的理性的代表性经济人的资产定价模型存在严重的不足和缺陷.

为了彻底揭开相关谜底，为实证研究的更多“异象”提供理论支撑和解释，大量金融学家和经济学家开始对传统的资产定价理论进行修正和完善.修正和完善主要体现在三个方面：第一个方面体现在对效用函数进行修正，这主要包括习惯形成偏好、递归效用函数、异质偏好以及模糊风险厌恶等[4-7]. 第二类则体现在经济结构或者市场结构方面，比如：Bansal和Yaron[8]引入消费的长期风险；Croitoru和Lu[9]假设了异质性的消费者；Barro[10]在经济中考虑了罕见的经济灾难；Lu[11]引入了投资者的有限能力；He和Krishnamurthy[12]则引入金融中间机构.第三类文献则通过扭曲个体对经济的认识，从个体的非理性行为出发研究了资产定价问题.比如，Barberis等[13]基于具有异质性消费者的资产定价模型，研究了投资者对股票价格过度外推行为对资产价格和预测能力的影响.Glaeser和Nathanson[14]则基于过度外推模型讨论了房地产价格的动态行为.

国内学者对资产定价研究也做出了杰出贡献.比如，徐绪松和陈彦斌[15]、陈国进等[16]则分别将习惯形成与相对财富、灾害风险相结合，构建了相应的资本资产定价模型.国内众多学者也通过引入异质性消费者研究了资产定价[17-19]. 吴卫星等[20]主要研究了投资者的非理性行为(过度自信)对资产价格的影响.同时，国内学者更多地关注投资者情绪对资产价格的影响[19, 21-23].但是，基于投资者过度外推行为研究资产定价的文献还比较少，而彭涓等[24]也仅将过度外推信念偏差应用于最优消费和投资组合问题.

虽然学术界提供了大量解释“股权溢价之谜”、“利率之谜”以及“波动之谜”的理论模型，但是它们都忽略了一个重要的特征事实，即个体不可能完全知晓影响资产价格的全部因素，即经济个体只能掌握经济社会的部分信息(partial information)而非全部信息.因此，基于投资者部分信息的资产定价模型将更符合实际情况.为此，从信息结构方面对经典的资产定价模型进行修正，研究代表性经济人在部分信息条件下表现的过多外推信念偏差对风险溢价、价格波动以及均衡利率的影响更具现实意义.

具体而言，借助于经典的纯交换经济模型，假设具有递归效用函数的代表性消费者可观测社会真实禀赋，但不可观测具有均值回复特性的禀赋增长率.但是，消费者可以根据公开信息(即社会禀赋提供的信息)对禀赋增长率进行预测或者学习(learning). 在预测过程中，消费者表现出过度外推的信念偏差，即过高估计社会禀赋当前增长率的持续期. 随着消费者外推信念偏差的增加，其感知的经济不确定性越大.为了承担额外的风险，代表性消费者要求更高的风险溢价作为回报.为此，过度外推信念偏差有助于提高股权溢价.除此之外，具有过度外推信念偏差的消费者既可能高估经济状态好的持续期，也可能高估经济状态差的持续期，于是放大了消费者感知的禀赋增长率波动性，从而放大了均衡条件下股票市场收益率的波动性.同时，波动性的增加对均衡利率产生负面影响.因此，基于部分信息结构，代表性消费者在学习过程中表现的过度外推信念偏差，不但可以推高股权溢价和收益率波动性，还能降低均衡的无风险利率.所以，模型在统一的框架内，为“股权溢价之谜”、“利率之谜”以及“波动之谜”提供了新的理论解释，这是研究的主要贡献之一. 事实上，这种解决三个谜题的方式和思路与现有的资产定价模型具有很大的区别：基于部分信息结构，引入代表性消费者在学习过程中体现的过度外推信念偏差而扭曲其对经济环境的认知，进而研究过度外推信念偏差对均衡资产价格的影响. 这种研究方法丰富和扩展了现有的资产定价理论.

1 模型假设

在连续时间的纯交换经济中，代表性消费者具有如下的递归效用函数

(1)

其中 函数f(C,V)是将消费C和效用V标准化的加总算子，并具有如下表达式

(2)

式中θ=(1-ψ-1)/(1-γ)，ψ表示跨期替代弹性，γ表示相对风险厌恶系数，ρ是主观贴现因子.

代表性消费者可将其财富投资于一种无风险资产和一种风险资产. 无风险资产的即期回报率为均衡的无风险利率r，其供给量为零.风险资产每期可获得随机红利收入e，风险资产供给量标准化为1单位. 在纯交换经济假设条件下，风险资产的红利e等于社会总产出或总禀赋，且满足如下的几何布朗运动

(3)

(4)

定义如果存在唯一的一组关于投资者的消费水平Ct、风险资产持有头寸πt、风险资产价格Pt和无风险利率rt的向量(Ct,πt,Pt,rt)，使得对任意的t≥0，投资者个人效用最大化和市场出清，即Ct=Dt和πt=1，那么称该市场均衡.

1.1 完全信息经济

在完全信息条件下，代表性消费者不但可以观测社会产出e的动态演化过程(3)，而且能观测期望增长率μ服从的均值-回复过程(4).在此经济中，风险资产的附息回报率具有(且在均衡时验证)如下动态过程

(5)

(6)

其中r0(μ)表示均衡利率，φ0(μ)=μ0,R(μ)-r0(μ)表示风险资产的风险溢价(1)上标0或下标0均表示完全信息条件下的经济变量..消费者的最优问题为

(7)

并约束于式(6)的财富动态过程和式(4)的禀赋增长率. 完全信息经济具有如下的均衡结论.

引理1在式(3)和式(4)表示的完全信息经济中，消费者的价值函数具有如下形式

(8)

并且，在均衡条件下，社会消费-财富比率为

c0(μ)=ρψb0(μ)1-ψ

(9)

风险资产的超额回报率为

(10)

风险资产回报的波动率为

(11)

均衡的市场利率为

(12)

其中b0(μ)满足如下形式的微分方程

(13)

证明具体证明过程见附录.

根据引理1易知，在均衡条件下，有

σ0,1(μ)=σD

(14)

和

(15)

事实上，如果禀赋增长率μ为常数，引理1所示的均衡结论退化为标准的基于消费的资产定价结论，并且，无论是均衡利率，还是风险溢价和股票价格波动性，均为常数.所以，与基于消费的资产定价模型假设的消费风险是影响资产价格的唯一因素有所不同，在交换经济中引入禀赋期望增长率的不确定性，不但影响风险资产的均衡价格，而且影响风险资产收益率的波动性和无风险利率.下文将基于部分信息和学习过程，探讨消费者的过度外推信念偏差对均衡资产价格的影响.

1.2 部分信息经济

根据Anti等[25]和Hirshleifer[26]的假设，投资者不能观测社会产出的期望增长率μ，但知晓增长率μ服从的均值-回复过程(4)和社会产出的真实值e. 投资者可根据社会产出产生的信息流{Ft:t≥0}，利用卡尔曼滤波对增长率μ进行估计.即消费者利用社会产出提供的信息，推断增长率μ基于信息流{Ft:t≥0}在稳态分布条件下的卡尔曼滤波估计值.为此，计xt=E[μt|Ft]，δt=E[(μt-xt)2|Ft].根据Lipster等[27]的有关结论有如下的引理.

引理2假设式(3)和式(4)定义的随机过程{μt∶t≥0}的稳态条件分布P(μt≤Y|Ft)为正态分布N(xt,δt)，则

(16)

其中 参数δ满足

(17)

为了方便，定义另一信息更新过程

(18)

(19)

(20)

根据心理学研究结论——人类在决策和判断时往往表现出外推偏差(extrapolative bias)，即高估客观事物维持现状的时间或者趋势[28]，所以在此假设消费者在推断产出增长率时具有外推偏差.事实上，金融经济学家根据推测对象的不同，讨论了两种不同类型的外推偏差.第一种是资产价格外推，比如Barberis等[23]以及Greenwood和Shleifer[29]. 第二种属于基本面外推，比如Alti和Tetlock[25]以及Hirshleifer等[26].本文采用第二种外推方式，即基本面外推. 具体而言，如果消费者在推断产出增长率时，其感知的均值回复速度λ小于真实值，那么在消费者的感知下，增长率x维持当前状态的时间比实际长，从而意味着消费者在更新关于期望增长率信念时过度外推了增长率的当前趋势. 在外推信念偏差下，投资者感知的社会产出增长率满足如下的动态过程

(21)

其中λB(<λ)表示投资者的外推偏差，λ-λB度量了投资者的过度外推程度，δB表示基于投资者过度外推信念偏差λB在稳态分布条件下的波动率

(22)

显然，上式有dδB/dλB<0，即随着过度外推信念偏差的增加，即λB不断减小，消费者感知的稳态波动率越大，即式(21)的波动项越大.所以，消费者的过度外推信念偏差增加了经济的不确定性. 这在一定程度上类似于Bansal和Yaron[8]在经济中引入的长期风险，但不同之处在于Bansal和Yaron[8]外生给定长期风险的均值回复过程，而此处的不确定性来自于投资者的过度外推偏差. 这也不同于Hirshleifer等[26]的过度外推不影响经济波动率的假设.

为了确定投资者的最优消费—投资策略，记风险资产的价格为Pt和投资者的财富为Wt，并假设(在均衡求解时验证)风险资产的附息回报率满足如下过程

(23)

具有过度外推信念偏差的投资者将基于感知的禀赋过程(19)和预测的增长率过程(21)，通过选择风险资产的持有头寸πt和消费水平Ct，最大化式(1)～式(2)所表示的终身效用，即

(24)

并且受到如下财富动态过程的约束

dWt=[r(x)Wt+πtφ(x)Wt-Ct]dt+

(25)

其中Et[·]是基于t时刻信息和投资者外推信念偏差的期望算子，φ(x)=μR(x)-r(x)表示均衡条件下风险资产的超额回报率，r(x)是均衡利率.

2 模型求解

基于上一节的模型，利用标准的随机动态规划方法，过度外推投资者的价值函数V(W,x)满足如下的汉密尔顿-雅克比-贝尔曼(HJB)方程

(26)

根据最优化决策理论，过度外推投资者的最优消费和投资策略分别满足如下条件

fC(C,V)=VW

(27)

(28)

通过猜测-验证的方法，可知投资者的价值函数具有如下形式

(29)

其中 函数b(x)由如下的微分方程确定

(30)

将价值函数式(29)代入式(27)和式(28)，并结合市场出清条件C=D和π=1，可得基于部分信息条件和过度外推信念偏差的市场均衡.下文的定理刻画了这一均衡.

定理1在不完全信息条件下，如果代表性消费者在推断社会禀赋期望增长率时具有过度外推信念偏差λB(λB<λ)，那么在均衡条件下，消费-财富比率为

(31)

风险资产的超额回报率为

(32)

且风险资产回报的波动率为

(33)

无风险利率为

(34)

其中b(x)满足微分方程(30)，外推性投资者感知的社会禀赋增长率x服从如下的均值-回复过程

(35)

其中δB是稳态分布条件下的波动率并由(22)给出.

证明具体证明过程见附录.

根据定理1不难发现，代表性投资者的外推信念偏差λB对市场均衡具有直接和间接影响.直接影响方面，从式(30)～式(34)不难看出，外推信念偏差λB通过扭曲禀赋增长率在稳态分布下的波动率，即δB，直接影响风险资产的超额回报率及其波动性和均衡的无风险利率.而间接影响方面，外推信念偏差λB影响代表性投资者的确定性等价财富b(x)(即式(30))而间接影响社会的消费-财富比率和均衡利率、风险资产的超额回报率和波动性.进一步比较式(30)～式(34)和式(9)～式(13)可发现，在部分信息条件下，一方面，消费者通过学习过程增加了其感知的期望增长率与财富波动性之间的关系而影响均衡的资产价格和财富-消费比率；另一方面，消费者的过度外推信念偏差通过影响稳态分布下的波动率而间接改变经济的不确定性，进而影响均衡的资产价格和财富-消费比率.特别地，这些影响离不开递归效用函数和非单位替代弹性的假设.比如，当消费者拥有CRRA效用函数，即γψ=1，那么过度外推信念偏差将不会影响均衡的无风险利率；如果消费者具有单位替代弹性，即ψ=1，那么其过度外推信念偏差将不会改变风险资产价格的波动性.

3 数值分析

表1 模型基本参数取值

3.1 过度外推对消费-财富比率的影响

(36)

该式意味着过度外推信念偏差通过扭曲消费-财富比率对期望增长率x的敏感性和波动性而影响风险资产价格及其收益率和波动性.

图1 过度外推对消费-财富比率的影响

图2 过度外推对风险溢价的影响

3.2 过度外推对风险溢价的影响

图2刻画了均衡风险溢价φ(x)与期望增长率x的关系.其中左图表明在市场均衡条件下，部分信息市场的风险资产超额收益率高于完全信息市场的超额收益率.这是因为在部分信息经济中，投资者不能观测社会禀赋的真实增长率，因此相对于完全信息经济，投资者面临更多的风险，并要求更多回报补偿其承担的额外风险.除此之外，左图还表明，在一定程度上，完全信息经济的风险溢价φ(x)对禀赋期望增长率x的敏感性大于部分信息经济的敏感性.这主要是因为在部分信息条件下，投资者需要根据总产出D推断增长率x，这种滤波效应削弱了预测的增长率x对风险溢价的影响.

除此之外，右图则进一步表明，随着投资者外推信念偏差程度的增加，即λ减小，均衡的风险溢价进一步上升，并且随着外推信念偏差等比例增加，即λ等比例缩小，风险溢价上升的幅度不断增大.比如，当λ从1.00等比例缩小至0.90和0.81时，在长期均值x=0.05下，风险溢价从5.16%分别上升到5.42%和5.74%，上升幅度分别为5.04%和5.90%.与此同时，从右图不难看出，部分信息市场的风险溢价水平几乎不受禀赋期望增长率x的影响，但是严重依赖于投资者的过度外推信念偏差.因此，无论经济增长率是高还是低，在给定投资者风险厌恶水平的条件下，不完全信息市场下投资者的过度外推信念偏差可以导致更高的风险溢价水平.这说明基于部分信息，投资者在预测禀赋增长率时体现的过度外推信念偏差可以在一定程度上解释“股权溢价之谜”.

3.3 过度外推对波动率的影响

图3刻画了风险资产收益率的波动性σR(x)与禀赋期望增长率x的关系，结论与图2十分相似，即在部分信息条件下的风险资产收益率波动性大于完全信息市场下的收益率波动性，这也与经济直觉非常一致.右图刻画了在部分信息条件下，投资者的外推信念偏差对波动率的直接影响.显然，随着投资者外推信念偏差程度的不断增加，波动率σR(x)不断上升，而且上升的幅度不断增大.比如，在图示参数下，波动率分别上升了2.23%和2.62%.更为重要的是，波动率的上升幅度几乎不依赖于禀赋的期望增长率x，但主要依赖于投资者的过度外推信念偏差.因此，基于有关禀赋增长率的部分信息，投资者过度外推信念偏差不但可以推高均衡的风险溢价水平，而且还能提高收益率的波动性.

图3 过度外推对回报率波动性的影响

3.4 过度外推对均衡利率的影响

图4刻画了市场无风险利率r(x)与社会禀赋期望增长率x的关系.左图表明，在部分信息条件下，均衡利率r低于完全信息市场的均衡利率.而右图进一步表明，随着投资者外推信念偏差的增加，均衡利率不断下降，且下降幅度与禀赋增长率x无关.具体而言，在其他条件不变的情况下，随着λ从1.00等比例缩小至0.90和0.81时，均衡利率分别下降了4.23%和5.68%.这表明，基于有关禀赋增长率的不完全信息，投资者的过度外推信念偏差导致了更低的均衡利率.这意味着模型和结论可以为实证研究发现的“利率之谜”提供理论支持

图4 过度外推对均衡利率的影响

图5 过度外推信念偏差的影响

3.5 外推信念偏差的影响

图5以三维形式展示了均衡的消费-财富比率、均衡利率、风险溢价和收益率波动性与禀赋期望增长率x和绝对外推信念偏差λ-λB之间的关系.很显然，除了均衡的无风险利率与增长率x具有正相关关系之外，消费-财富比率、均衡无风险利率和收益波动性与期望增长率x的相关性很低.但是，无论是消费-财富比率、风险溢价和收益率波动性，还是均衡的无风险利率，都随着代表性消费者过度外推信念偏差的增加(即λ-λB增加)而不断变化.同时，子图A和子图C暗含了社会消费和股票回报率之间的正相关关系.

3.6 参数稳健性检验

图6 长期均衡条件下过度外推信念偏差的影响

表2 基于风险厌恶系数和跨期替代弹性的比较静态分析

4 结束语

自Mehra和Prescott 于1985年提出“股权溢价之谜”后，学术界为了对此提供理论依据和解释，创建了各种各样的模型和理论.然而，随着研究的不断深入，学术界发现“股权溢价”之“异象”并非单独存在，而是与“无风险利率之谜”和“超常波动之谜”紧密相连.这三个谜题不但对传统的基于理性代表性经济人的资产定价模型构成挑战，而且为后续的资产定价理论提出了严格的检验标准.为了解释这三大谜题以及实证研究发现的其他“异象”，学术界开始对传统的基于理性经济人的资产定价模型进行修正和完善.区别于已有的资产定价模型，本文另辟蹊径，借助于部分信息经济，研究了代表性消费者在学习过程中表现的过度外推信念偏差对市场均衡的影响.研究结果表明，在均衡条件下，代表性消费者的过度外推信念偏差不但减低了无风险利率，而且提高风险溢价和风险资产收益率的波动性.所以，基于部分信息以及投资者在学习过程表现的过度外推信念偏差，模型为“股权溢价之谜”、“利率之谜”和“波动之谜”提供了一个统一的解释框架，扩展和完善了现有的资产定价理论.