Make-to-Order模式下多产品占线生产策略研究 ①

代文强， 左永恒， 孙朝苑， 雷 东

(电子科技大学经济与管理学院， 成都 611731)

0 引 言

随着市场竞争的加剧和顾客越来越显著的个性化需求，越来越多的制造型企业开始由传统的按库存生产(Make-to-Stock, MTS)模式转向按订单生产(Make-to-Order, MTO)模式，此类生产模式的运作活动是由动态的客户订单触发的，在库存中不保留任何产品[1]. 这类企业经常碰到的问题是，生产单件产品的固定生产成本较高，同时客户的产品订单需求信息，例如订单到达时刻和订单需求量等信息呈现高度的不确定性. 企业可以承诺一定的交货期以延期交货，从而导致一定的延期惩罚成本. 因此，企业决策者需要考虑采用适当的策略来减少成本损失，即需要研究在未来订单需求信息不确定的条件下确定在什么时间对哪个产品进行生产使得总的固定生产成本及延期惩罚成本最优的决策问题.

研究者针对MTO背景下的生产运作管理问题已经进行了很多的研究，目前研究主要集中在对交货时间、定价策略、服务水平和库存问题等方面[2-5]. 例如，曹裕等[2]研究了随机需求情况下依据MTO订单的生产线匹配属性的订单准入条件，Thürer和Stevenson[3]研究了MTO企业的短期产能管理决策，Eungab和Taeho[4]在随机交付期和需求的情形下，通过利用马尔科夫过程考虑了MTO模式下是否对订单进行生产的问题. Garmdare等[5]考虑了需求随价格和交货时间变化的情形，并将快速响应订单和企业生产能力作为约束条件，利用混合非线性规划模型研究了MTO企业最优定价和最优交货期的决策问题. 这些研究大多在需求信息服从某个随机分布或随机过程的条件下进行分析的. 例如，假设订单到达时刻服从泊松过程或马尔科夫过程，需求量为某个随机变量等. 最近的研究工作可以参考如文献[3, 6]等，以及最新的综述性文献[7]及他们所引用的文献.

然而，由于实际中的产品订单到达需求信息不确定性较高，决策者常常并不能假设未来产品订单需求(无论是订单需求到达时刻，还是订单需求量等信息)随机分布的存在. 现有的研究大都是在假设这些未来需求分布不变的条件下给出最优决策方案，如果需求假设一旦发生变化，这些方法所给出的最优方案就会失去其最优性. 从理论上说，这些优化处理方法对变化因素的某个特例都可能给出离实际最优解相距甚远的解. 因此，企业需要一种在不假设任何未来订单需求分布条件下的最优决策方法.

近年来，理论界将传统方法对应的问题称为离线(offline)问题，把决策者只掌握当前信息，在对未来既无确定性信息也无概率信息的条件下必须立即对当前状态做出决策的一类问题称为占线(online)情形. 占线问题与竞争策略主要针对的是问题具有较强的动态特征，它在变化因素的每一个特例中都能给出一个方案，使得这一方案所得到的解离最优方案给出的解总在一定的比例之内，因此能够避免传统的静态优化方法所得到的结论对初始假设依赖强的弊端[8-13].

从理论上来说，本文考虑的占线问题的模型在单产品、每次订单需求量为单位需求量的情形下，等价于经典的占线TCP动态延迟(TCP dynamic acknowledge)问题. Dooly等[12]首先利用占线问题与竞争策略的研究方法对该问题进行了研究，建立了相应的数学模型，并给出了竞争策略，证明了最优竞争比结果. 倪冠群等[13]研究了单产品、每次订单需求量为多个单位的占线采购模型. Buchbinder等[14]研究了多产品下的占线联合采购问题，设计了竞争性能比为3的竞争策略. 本文将在这些研究的基础上，建立相应的数学模型，并通过分析问题的结构性质，给出竞争生产策略，最后证明策略具有较好的常数竞争比，数值分析进一步表明了策略有效性. 本文的研究及结论不仅弥补了传统MTO订单生产问题研究中总是假设未来需求信息为随机分布的弊端，可适用于实际情形中订单需求到达信息高度不确定的情形，同时是类似已有占线问题研究的有益补充和扩展.

1 问题建模

图1 模型构建示意图

其中mi为第i类产品的总生产次数.

本文考虑的问题是，决策者需要在不假设任何未来订单需求σ的概率分布的条件下决策合适的策略ALG，亦即是，决策在什么时刻停止生产当前产品转而生产另一个产品. 根据占线模型与竞争策略的基本思想[8]，针对本文描述的问题，决策者需要在下一个订单需求信息到达之前做出这一时刻的决策，并保证该决策在未来任意可能出现的最坏情形能达到某种最优性. 具体的，决策者需要设计出相应的某种策略ALG，记该策略和(在已知输入订单需求序列σ的条件下的)最优策略的费用分别是f(ALG,σ)和f(OPT,σ)，若存在使得同输入订单序列σ无关的两个常数α,β，满足f(ALG,σ)≤αf(OPT,σ)+β，则称该策略为竞争策略，具有竞争比为α，显然α应越小越好.

需要注意的是，本文考虑的问题实质上可以拓展应用于其他的场景. 例如外卖行业的配送管理中，管理者只有在顾客下单之后才会考虑是否对商品进行配送. 若一次配送的订单数太少，最极端的情形是一次仅配送一个订单，则最终增加了固定配送成本；若对连续到达的数个订单进行统一配送，则由于订单的配送等待时间变长，会导致相应的延迟配送成本增加. 因此，如何平衡配送成本和延迟成本是按订单配送问题中需研究的重要内容. 另外的实际应用场景包括采购问题和网络数字产品服务企业的订单服务问题等. 正如前面所述，本文把建模的实际应用背景聚焦在MTO企业按订单生产的场景中，分析并设计相关占线竞争策略，并得到较好的结果，但本文的研究当然可拓展到其他的应用场景中，如何在新的应用背景下结合新的实际问题特征研究相应的问题是以后的一个研究方向. 实际上，本文研究的问题是一个非常困难的问题，这体现在如下两点：1)订单需求不仅需要考虑订单到达时刻，而且需要考虑订单量；2)设计的策略需要是占线的，即仅依赖于过去和现在的信息，而不能依赖于未来的订单需求信息.

2 竞争策略分析

2.1 竞争策略设计

首先考虑离线最优策略. 由于离线决策者知道所有的订单信息，因此，离线最优策略的集中生产时刻必定与其中某个订单的到达时刻重合. 但对占线策略来说，订单需求是一个接一个到达的，其对下一个订单什么时候出现、订单量是多少未知，则可能出现的一个最坏情况是当决定集中生产某产品时，下一个需求量较大的订单立即出现，另一个出现的极端情况是当对某订单采取等待的策略，而下一个订单一直不出现. 因此，为了平衡这两种最坏情形，同时受Dooly等[12]文献的策略和思路的启发，设计如下占线策略.

(1)

由于本文假设生产不耗费时间，因此在上述策略中，若存在多个满足条件的产品，即方程(1)存在多个解，则取任意一个产品进行生产即可，这不会对策略的费用和竞争性能产生影响，在本文接下来的分析中都将假设满足方程(1)的产品唯一. 首先证明上述占线策略是有意义的.

定理1设计的占线策略ALG是可行的.

证毕.

2.2 竞争比分析

证毕.

下面根据引理1和引理2分析OPT针对需求序列σ的最低生产总费用，从而可求得到策略ALG的竞争比.

证毕.

从而，可得到本文的主要结论.

定理3设计的占线策略ALG，其竞争比为4.

证毕.

定理3说明，按照设计的生产策略，面对实际生产情形中订单需求到达信息高度不确定甚至是敌手到达的情形下，具有较好的常数竞争性能比. 因此，在生产过程中，占线生产决策者只要运用给定策略的生产方法进行生产就能够较好的平衡固定生产费用和延迟费用. 同时，该结论给出了按照这种方式进行生产在最坏情形下的理论上的保障. 需要注意的是，由于在实际的生产情形中，订单的需求到达信息并不总是按照最坏情形到达，此时设计的策略将会产生更好的结果，这一点在第3节数值算例中具体进行说明.

定理4针对有限预知信息L≥1的问题，竞争比仍然为4.

证毕.

3 数值算例

下面以一个简单的算例来验证竞争策略的有效性. 假设某企业面向客户实行按订单生产模式对A、B、C共3类产品进行生产，为使计算简便且不失一般性，假定每类产品在时间区间[0,6]内分别产生需求量为1的订单，如图2所示，并令延迟惩罚因子λ=1，固定生产成本C=3，其中产品A的需求到达时刻序列为{2,4,5,6}，产品B的需求到达时刻序列为{1,3,4,5}，产品C的需求到达时刻序列为{1,2,3,5,6}.

针对该问题，策略ALG在t1=3时刻首先对产品C进行生产，并在t2=3.5时刻开始对产品B进行生产，紧接着在t3=4.5时刻对产品A进行生产，在t4=7时刻对产品C开始生产，最后在t5=8时刻对产品B进行生产. 该策略产生的总费用为f(ALG,σ)=30.ALG的生产路径如图2所示.

利用穷举法进行计算得出，最优策略OPT将在0时刻开始对产品C进行生产，并在t1=3时刻开始对产品B进行生产，紧接着在t2=5时刻对产品A进行生产，最后在t3=6时刻对产品C进行生产.OPT针对本实际问题产生的总费用为f(OPT,σ)=16，其生产路径如图3所示.

图2 ALG生产路径示意图

图3 OPT生产路径示意图

4 结束语

本文考虑MTO背景下的多产品生产决策优化问题. 根据实际中的订单需求信息常常是不可预测，也不可用概率分布刻画的实际背景下，考虑并建立了占线模型，给出了相应的占线竞争生产策略，从理论上证明了策略具有的常数竞争性能比. 本文所得到的结论对实际的多产品生产决策具有一定的理论和实际指导意义，并丰富了现有的研究.

在未来的研究中，可以一方面考虑通过进一步刻画问题的结构特征，设计出更优的竞争生产策略以得到更好的结论，另一方面也可以考虑将更多的实际因素融入到模型中以增加模型的指导性，特别的，本文模型仅单方面考虑了企业方的总成本最小化，忽略了订单提交方的实际利益诉求，因此，或者从博弈论的角度探讨研究双方的合作、竞争解，或者考虑订单提交方的满意解(参考文献[16]等)，是一个值得进一步研究的方向.