基于关键能力培养的高中数学建模课堂教学研究——以“建模初体验——汽车紧急刹车情况下的停车距离问题”为例

北京市第十五中学 郑毅斌 韩 宇

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提到，数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。其中，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。

从数学学科核心素养的定义来看，数学关键能力是数学学科核心素养不可或缺的组成部分，是数学学科核心素养的外显体现。高中生数学关键能力操作性定义是以数学观察、数学思考、数学表达作为一级维度，其中，数学观察维度包括数学抽象能力、直观想象与化归能力；数学思考维度包括数学猜想与论证能力、数学运算能力；数学表达维度包括数据分析与预测能力、数学建模能力。

数学建模能力是数学关键能力的重要组成部分，同时，也是数学关键能力各个方面的综合体现。

如何在课堂教学中，通过让学生体验数学建模的过程，重点培养学生数学建模能力，从而获得数学关键能力的整体提升。本文以“建模初体验——汽车紧急刹车情况下的停车距离问题”为例，探讨基于关键能力培养的高中数学建模课堂教学策略。

二、关键能力培养高中数学建模课堂教学设计

（一）教学背景分析

1．教学内容分析

数学建模是六大数学学科核心素养之一，是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。课标中将数学建模活动与数学探究活动单独列为一个主题，后面附录部分案例7就是紧急刹车情况下的停车距离问题，对该问题进行了比较详细的说明。人教B版《必修1》第三章第四节研究的是苹果的最佳出售时间问题，由于这是这套教材的第一个数学建模活动，所以呈现了数学建模的全过程。在这节内容之后的活动要求与提示中，第三题第二问也是让学生建立停车距离的数学模型。

本节课从生活情境出发得出问题，通过分析确定影响停车距离的主要因素，对实验测得的数据进行分析与处理得到数学模型，进而应用模型解决情境中的问题。

2．学生情况分析

学生在初中已经对函数，特别是二次函数有了初步认识，在高中已经学习了函数的概念与性质，有一定的函数研究基础。学生可以从数学应用题中提取数量关系，利用数学知识解决数学问题。但是对于给定具体的生活情境，确定研究问题，分析、实验、抽象数学模型，学生却很少有这样的经历。本节课对学生的问题分析以及数据分析能力有一定要求，通过驱动性问题设计以及组织学习方式，攻克本节课的难点。

（二）教学目标分析

1．教学目标分析

（1）通过研究紧急刹车情况下的停车距离问题，让学生体验数学建模的全过程；（2）在研究停车距离的数学建模过程中，培养学生数学抽象、直观想象、数学运算、数据分析、数学建模等数学学科关键能力，积累数学实践经验，渗透数学核心素养；（3）通过问题探究过程，培养学生细心观察、认真分析、深刻理解等良好思维品质，通过组织学习方式，培养学生小组协作、合作探究的能力。

2．教学重难点分析

（1）教学重点：研究紧急刹车情况下的停车距离问题，体验数学建模的全过程。（2）教学难点：构建刹车前速度与停车距离之间的函数模型。

3．教学策略分析

基于提升学生的数学关键能力，本节课从道路交通标志以及交通法中的规定出发，引发学生思考与探究，培养学生的数学建模能力；通过分析、处理相关数据，得到数学模型，提升学生的数据分析、直观想象、数学抽象能力；在数学模型构建以及应用过程中，涉及一定的数学计算，提升学生的数学运算能力。

在教学活动以及学生活动设计方面，本节课从贴近生活的情境出发，依据数学建模的过程，设计一系列驱动性问题。学生通过组织学习（独立思考、小组讨论、代表分享）方式，进行停车距离问题探究。驱动问题的有效设置极大地调动学生参与课堂教学的积极性，同时课堂教学中良好的学习活动形式更好地促进教学目标的实现。

三、课堂实录

环节一 情境引入，发现问题

【问题1】（1）如图1所示，高速路上的标志牌代表什么含义？

（2）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第八十条：机动车在高速公路上行驶，车速超过每小时100km时，应当与同车道前车保持100m以上的距离（见图2）。这样规定的依据是什么？合理吗？

图1 车道限速标志牌示意图

图2 车距确认提示牌图

从发现紧急状况到汽车停止，汽车行驶的距离称为停车距离。今天这节课我们要研究的就是在紧急刹车情况下的停车距离问题。

【活动1】学生独立思考，结合生活实际经历，识别道路交通标志，思考相关法规的意义。

限速，确认车距。

保持足够的车距，遇到紧急路况（交通事故、道路抢修等）时，保证足够安全的停车距离。

【设计意图】通过现实生活情境，激发学生探索热情与学习兴趣，从而引发学生对今天研究问题的思考。

环节二 情境分析，简化假设

【问题2】（1）影响停车距离的因素有哪些？

主要考虑刹车前速度，忽略其他因素，可以做出哪些合理的简化假设。

【活动2】独立思考，小组讨论，代表分享。

（1）主要有以下几个方面的影响因素。

汽车：刹车前速度，汽车性能；

司机：反应时间、路况、天气等。

（2）合理的简化假设。

①车型相同，车辆性能良好；②同一位驾驶员，司机状态良好；③天气状况、路况相同且良好。

【设计意图】联系生活实际，设计开放性问题，是项目式学习的前提。引导学生分析影响因素，简化假设，创设理想的研究情境，便于学生利用数学方法解决实际问题。

环节三 模型构建，求解参数

【问题3】设停车距离为d。

从发现紧急状况到刹车制动开始起作用，这段行车距离称为反应距离，设为d1，

从刹车制动开始起作用到汽车停止，这段行车距离称为制动距离，设为d2，则d＝d1＋d2。

通过查阅资料得到如下美国公路局公布的实验数据（见表1）：

（1）利用表格数据以及学科知识，思考得到停车距离与刹车前速度之间关系的可行性办法；

（2）利用GeoGebra软件将上面的办法付诸实践，求解停车距离与刹车前速度之间的关系。

表1 美国公路局公布的实验数据

【活动3】独立思考，小组讨论，代表分享，结合物理与数学相关知识，对数据进行分析处理，并让学生代表上台演示，利用GeoGebra软件求解模型。

（1）法1：物理运动学分析＋数据分析处理。

①反应时段，汽车做匀速运动，d1＝αv，算出每组数据的α，用平均值估计α，得到d1＝αv；②制动时段，汽车做匀减速运动，算出每组数据的β，用平均值估计β，得到d2＝βv2；③得到关于二次函数的模型为d＝αv＋βv2。

法2：描点＋函数分析＋函数求解（拟合）。

①在坐标系中，分别以v为横坐标，d1为纵坐标，进行描点，观察变化趋势，估计d1关于v的函数类型，通过代入点的坐标求解函数解析式或者利用函数拟合得到解析式；②在坐标系中，分别以v为横坐标，d2为纵坐标，进行描点，观察变化趋势，估计d2关于v的函数类型，通过代入点的坐标求解函数解析式或者利用函数拟合得到解析式；③得到停车距离与刹车前距离之间的函数模型。

法3：描点＋函数分析＋函数求解（拟合）。

在坐标系中，分别以v为横坐标，d为纵坐标，进行描点，观察变化趋势，估计d关于v的函数类型，通过代入点的坐标求解函数解析式或者利用函数拟合得到解析式，得到停车距离与刹车前距离之间的函数模型。

（2）法1：通过正比例关系d1＝αv和d2＝βv2，利用表格区功能，可以计算出表中每一行中相应的α和β的值。它们的平均数约为α＝0．21，β＝0．0055，这组数据可以作为对参数α，β的一种估计。于是，得到停车距离模型d＝0．21v＋0．0055v2（见表2）。

法2：利用表格区点列工具描点，观察变化趋势，估计d1为v的一次函数，求解函数解析式或者利用函数拟合得到解析式；估计d2为v的二次函数，求解函数解析式或者利用函数拟合得到解析式，得到停车距离与刹车前距离之间的二次函数模型（如图3和图4所示为利用函数拟合工具得到函数模型）。

表2 停车距离模型数据

图3 拟合的函数模型

图4 拟合的函数模型

法3：利用表格区点列工具描点，观察变化趋势，估计为的二次函数，通过代入点的坐标求解函数解析式或者利用函数拟合得到解析式，得到停车距离与刹车前距离之间的二次函数模型（如图5所示，代入A，B，C三点得到的函数模型f（x），代入A，E，I三点得到的函数模型g（x））。

【设计意图】通过给定数据，引导学生进行数据分析与处理，培养学生的数据分析与预测能力。首先，学生综合应用多学科知识进行方法层面的探索，有一定挑战性，利用组织学习方式攻克难关，培养学生数学抽象、直观想象的数学学科关键能力；其次，进行实践层面的操作，学生利用数学软件进行研究，从而大大减少学生计算的时间。

图5 拟合的函数模型

环节四 分析检验，实际应用

【问题4】实际数据与上述模型结果可能存在误差，回忆之前的环节，你认为存在误差的可能原因是什么？

【活动4】学生独立思考，互相补充。

为了方便研究，进行合理的简化假设，忽略一些因素对停车的影响；

由于目前所学知识有限，只能选用已学函数拟合数据，对分析与预测数据可能存在误差。

【问题5】结合所求的模型，说明问题1中提到的交通法中出现的数据“100m以上”建立的依据是什么？

【活动5】学生代表上台演示，利用GeoGebra软件进行相关函数值求解，验证相关法规的合理性（图6中，a＝g（100），b＝g（120））。

图6 拟合的函数模型

【设计意图】回顾前面环节，引导学生进行简单的误差分析，从而完善数学建模过程。利用建立数学模型验证相关法规的合理性，让学生体会数学在生活中的广泛应用。

环节五 归纳总结，提升认知

【问题6】通过今天的学习，我们利用数学知识解决实际问题，你能归纳一下数学建模的大致步骤吗？

【活动6】学生独立思考，互相补充，归纳数学建模的全过程。

数学建模的过程：发现问题、分析问题、建立模型、求解模型、检验结果、解决问题（见图7）。

图7 数学建模的全过程

【设计意图】归纳总结，对整节课的学习有整体认识。

环节六 作业设计

【必做】将停车距离建模全过程整理成论文形式，参看课本127页；

【思考】选择生活中的实际问题进行数学建模实践研究。

四、课后点评

这是一节学生全程参与的数学建模课，改变了以往建模课就是解决数学中应用题的教学模式，这节课的着力点是生活中的真实问题，发生在学生身边，学生能切身地感受到，学生经历了发现问题、提出问题、抽象成数学问题、解决数学问题、还原到实际问题，进而解决实际问题的全流程，过程完整有层次，不再是一节以教师为主导的数学课，而是一种体验与感悟的数学教学。通过驱动型问题串的设置，引导学生开展有效的活动，在探索与发展过程中建立合理的数学模型，找到解决问题的方法，进而总结出解决问题的通性通法，既解决了实际问题，又提高了学生的数学思维和相关的数学关键能力。借助于教学软件GeoGebra的引入，极大地提高了学生解决问题的时效性，为学生探索问题提供了极大的帮助。学生通过对数据的快速处理，很快找到相应的问题结论，既激发了学生解决问题的兴趣，又使学生获得极大的成就感，对数学学习会更投入。学生动手操作软件，极大地让学生感受到自己是在解决实际问题而不是在解决数学题，将数学素养渗透在教学之中，无形中极大地提高了学生的数学关键能力。