降低OFDM系统带外泄漏和PAPR的新预编码方法

,2

(1.清华大学 电子工程系 北京信息科学与技术国家研究中心，北京100084； 2.深圳清华大学研究院 广东省(深圳市)数字电视系统重点实验室，广东 深圳 518000)

1 引 言

正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)技术是一种多载波传输通信技术，由于它具备极高的频谱效率，并且可以实现简单的频域均衡，所以被广泛应用在各种无线宽带通信场景中[1]，如无线局域网(Wireless Local Area Network,WLAN)、长期演进技术(Long Term Evolution,LTE)等。但是，它同样具备一些明显的缺点，本文主要讨论其中两个问题。第一是OFDM系统的带外泄漏(Out-of-Band,OOB leakage)问题。作为一种多载波通信系统，OFDM信号的每一个子载波波形是一个sinc函数，叠加后导致了系统的带外泄漏，这种泄漏会对邻频带的通信应用造成干扰，所以，为了提高通信质量，减少这样的带外泄漏是很有必要的。第二是OFDM系统的信号通常有比较高的峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio,PAPR)，这就要求射频功率放大器不能只是在线性工作区工作，给射频功放提出了一定的要求，需要较大的动态范围[2]。通过降低PAPR可以降低整个OFDM的系统开销，适当增加发射功率，从而提升整个系统的通信质量。

针对以上提到的两个问题，已经有大量的解决方案被提出。对于带外泄漏问题，经典传统方法是窗函数技术[3]，即通过对时域波形进行窗函数设计来达到降低带外泄漏的目的，比如使用升余弦窗等。这类方法需要额外的保护间隔，会降低系统的频谱效率。所以，有人提出了一些新型技术[4-9]，其中消除技术和预编码技术具有较好的性能表现[1,4-5,8]。PAPR降低技术目前包括星座整形[10]、部分传输序列(Partial Transmit Sequence,PTS)[11]、限幅滤波算法[12]、预编码算法等[2]。以上方法一般都是用来处理带外泄漏或者PAPR中的单一问题。考虑到它们都有使用预编码的解决方案，本文将两种独立的预编码方案[2,4]融合在一起，以实现同时降低带外泄漏和PAPR的目的，即仅使用一个预编码矩阵来实现两个目标。本文提出的方案主要基于文献[4]提出的框架，引入编码冗余度，通过数学推导将问题转化为矩阵Frobenius范数的最小化问题[13]，并结合文献[2]中所表述的降低PAPR的直接预编码矩阵进行联合优化，得到最终的正交预编码矩阵。最后给出算法仿真结果，比较不同预编码方案在带外泄漏和PAPR抑制上的性能差异，并给出随着冗余度变化本文所提方案的性能变化情况。

2 预编码模型与主要框架

本节介绍预编码OFDM系统模型和一个主要基于文献[4]的主体预编码框架，此框架主要是针对降低标准OFDM系统的带外泄漏。

2.1 预编码模型

一个典型的预编码OFDM系统示意图如图1所示。假设采用的子载波数量为M，在星座点映射后的数据流被分为N块，其中M≥N，定义编码冗余度R=M-N[4]。所以在逆傅里叶变换(Inverse Fast Fourier Transform,IFFT)之前的预编码过程的矩阵表示为

s=Pd。

(1)

式中：d是编码前的原始符号列向量，s是编码后的符号向量，P是一个M×N的预编码矩阵。为了减少对于误码率性能的影响，本文采用正交预编码方案，即预编码矩阵P满足PHP=IN。

图1 OFDM预编码模型Fig.1 Model of precoding a typical OFDM system

通常在一个OFDM系统中，每一个符号可以视为和一个矩形窗函数相乘，该窗函数可记作

(2)

式中：T表示符号周期。则第i个子载波的频域表示为[14]

(3)

可忽略常数因子，得到

(4)

ci表示第i个子载波与频率ω之间的影响系数。如果定义一个带外的频率集合Φ，其中包含K个元素，每一个元素表示频带外的一个频点，那么带外泄漏就可以用如下的矩阵形式表示：

r=Cs=CPd。

(5)

式中：C是一个K×M的影响系数矩阵，它的元素由Ci,j=C(i,j)=ci(ωj)计算，表示第k个带外频率点对第m个带内频点的影响因子。则r为一个K×1的矢量，代表了带外频率集Φ上所设的K个频率点的带外泄漏情况。

2.2 主要框架

为了降低带外泄漏，由以上模型可知，带外泄漏功率可表示为Poob=E[rHr]，抑制带外泄漏即最小化Poob=E[rHr]。常用的方法是利用奇异值分解(Singular Value Decomposition,SVD)。通过SVD可将CP分解为

CP=UΣVH。

(6)

式中：U、V分别是K×K和N×N的酉矩阵。那么有

(7)

根据文献[13]的介绍，矩阵Frobenius范数具备数学特性：矩阵的Frobenius范数等于该矩阵奇异值的平方和[13]，所以式(7)可写作

Poob=Ps‖CP‖2。

(8)

式中：Ps是原始数据d的平均功率，‖·‖代表矩阵的Frobenius范数。那么为了得到最优的预编码矩阵，需要解决如下最小化问题：

(9)

Popt=V1Q。

(10)

式中：V1是酉矩阵Vc的一个M×N阶子矩阵，由Vc的最后N列组成，对应最小的N个奇异值；Q是任意的N×N阶酉矩阵，即满足QHQ=I。这样，Popt就是最小化问题(9)的解，并且是正交矩阵，符合设定的要求。

以上给出了一种预编码矩阵的设计模式用于抑制带外泄漏，但并没有给定矩阵Q，所以无法计算确定的Popt。针对Q矩阵，如前文所述，Q是任意的酉矩阵。考虑一个具有R个冗余子载波的OFDM系统，系统的R个冗余子载波上不搭载任何数据，即不做编码，只是在频带两侧留出空闲频点用作保护频带。不编码即等效于预编码矩阵P=B，B见式(11)。但是在上述框架下，由于引入了编码来降低带外泄漏，在R个冗余子载波上实际上不填充0，经过预编码后有非零数据。所以在本框架下，考虑了带外泄漏预编码的Popt不严格等于B。而为了不改变OFDM系统的其他特性，问题转化为使预编码矩阵Popt尽可能接近这个目标矩阵B，即

(11)

式中：RL+RR=M-N=R>0，表示编码冗余度，即不承载实际数据的子载波数量。那么为了使Popt尽量接近B，问题转化为如下的最小化问题：求矩阵Q(QHQ=I)，使

(12)

此问题的解对应的Popt=V1Q即为与目标矩阵B最接近的正交预编码矩阵。该最小化问题在线性代数当中已经有相关的解决方法[13]。

但是该最小化问题仅考虑了标准情况下带外泄漏的抑制，并对PAPR进行优化。实际上考虑到PAPR的抑制，目标矩阵B将会有针对性地改变。本文将在下一节结合PAPR的优化，改变目标矩阵，并给出矩阵Q的计算方法。

3 针对降低PAPR的方案改进

上一节介绍了一种通用的降低带外泄漏的预编码方法框架，但是仅仅达到了降低带外泄漏的目的，并没有对PAPR进行优化。正如上文所述，可以通过式(12)中目标矩阵B的设计，通过Popt=V1Q与目标矩阵的接近，即矩阵差值范数最小化问题的解决，来实现可以降低PAPR的矩阵Q的设计，从而完成最终预编码矩阵的计算。

文献[2]提出了一种离散余弦变换(Discrete Cosine Transform,DCT)预编码矩阵，经过该矩阵预编码后的信号的PAPR有明显降低。该方法主要是将离散余弦变换矩阵D直接作为预编码矩阵，即在式(1)中有P=D，D的元素如式(13)：

(13)

但是这种方法只针对PAPR这一个问题，于是本文将它与上文所述的预编码框架结合起来，利用D矩阵来优化预编码矩阵P，将D矩阵作为目标矩阵，从而实现同时优化两个问题的目的。

与上述框架类似，本文将Popt向D矩阵近似，而不是标准OFDM系统即式(11)中的B矩阵，所以有

(14)

式中：DN×N是一个N×N的离散余弦变换矩阵，它的元素由式(13)计算。所以问题(12)转化成了

(15)

由线性代数知识可知[4,13]，对于一个给定矩阵V1和Do，问题(15)的最优解为

Qo=UoVoH。

(16)

Popt=V1UoVoH。

(17)

这样，本文就实现了两种分别解决不同问题的预编码方案相结合，得到最终预编码矩阵，并使用单一预编码矩阵同时实现带外泄漏和PAPR的降低，而且算法复杂度和原有的框架类似，仅增加了计算离散余弦变换矩阵的时间。

4 仿真分析

为了评价本文所提出的预编码方案的性能，使用Matlab进行仿真。本文假设这是一个对称的OFDM系统，即RL=RR=R/2，使用总共M=64个子载波和正交相移键控(Quadrature Phase Shift Keying,QPSK)的调制方式。由前文算法所述，计算式(5)中矩阵C的元素C(i,j)需要设定特定的带外频率集Φ，本文将Φ设置为

Φ=[ωL-96Δω,ωL-16Δω]∪[ωR+16Δω,ωR+96Δω]。

式中：[ωL,ωR]为频带范围，Δω为子载波间隔。

图2给出了4种OFDM系统在R=4时带外泄漏情况的对比。直接DCT预编码方法[4]由于仅考虑了PAPR优化，没有考虑带外泄漏情况，所以带外抑制效果是最差的。在本文所设置的条件下，带外泄漏在-30 dB左右；标准OFDM系统(即无编码)的带外泄漏情况比前者略优，但由于标准系统同样没有考虑抑制带外泄漏，数量级上并没有差距，性能基本相当。本文所提方案在R=4的情况下，带外泄漏比前两者降低15 dB，抑制效果明显；与此同时由于考虑了PAPR抑制，本文提出的方案比仅抑制带外泄漏的标准框架方案在带外抑制上虽然性能稍差，但是差距很小，而对PAPR却有明显的优化作用。

图2 R=4时4个不同的OFDM带外泄漏情况Fig.2 Out-of-band emission performance comparison among different OFDM systems with R=4

图3表示了R=4的情况下上述4个不同OFDM系统在PAPR性能上的对比，表现形式为PAPR的互补累计分布函数(Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF)。为方便比较，以10-3量级作为比较基准。标准框架方案只考虑带外泄漏的抑制，其PAPR性能是最差的，PAPR阈值要超过10.5 dB才能达到10-3比率；标准的OFDM系统(即无编码)没有进行带外抑制，所以PAPR性能也比前者略好，但差距很小，同样在10.5 dB左右。本文提出的预编码方案在PAPR抑制上也有明显效果，在R=4的情况下，在10-3量级比率进行截断，相比标准OFDM系统，有超过1.5 dB的性能提升；而直接DCT预编码方案由于仅针对了PAPR优化，在PAPR抑制的效果上虽然比本文提出方案有大约0.5 dB的提升，但是正如前面的图2对比，带外泄漏非常高，没有抑制效果。

图3 R=4时不同OFDM系统的PAPR性能比较Fig.3 PAPR performance comparison among different OFDM systems with R=4

图4和图5分别给出了带外泄漏情况和PAPR在不同冗余度R下的性能比较，可以看出，随着冗余度R的增加，带外泄漏抑制效果也在提升，相反地，PAPR则是相对在恶化，这也是由本文所采用的框架所决定的。R越大表示框架引入的用于降低带外泄漏编码的冗余子载波越多，但同时也会拉低信号平均功率，影响PAPR。本文所提出的方案可以达到同时降低带外泄漏和PAPR的效果，但是不可能同时达到最好；而且R的增大表示冗余子载波增多，这也会降低频谱效率，因此R的值需要在应用中进行权衡。

图4 本文方案在不同冗余度R下的带外泄漏情况Fig.4 Out-of-band emission performance with different R for the proposed method

图5 本文方案在不同冗余度R下的PAPR情况Fig.5 PAPR performance with different R for the proposed method

最后，由于本文始终是基于正交矩阵的原则在进行方案的优化，所以至少在加性高斯白噪声信道(Additive White Gaussian Noise,AWGN)上，误码率性能不会有很大影响。

5 结束语

本文基于两种分别解决OFDM系统中带外泄漏和PAPR问题的预编码方案，提出了一种联合的预编码方法。该方法基于已有的用以降低带外泄漏的框架，针对PAPR的降低进行优化，实现了仅使用一个预编码矩阵来同时解决OFDM系统中常见的两个问题，并且没有引入额外的高复杂度，在两个问题的解决之间实现了一定程度上的平衡。仿真结果表明，少量的频谱冗余度就可以同时在带外泄漏和PAPR问题的解决上取得较好的结果，并且由于是正交矩阵编码，在加性高斯白噪声信道上对误码率性能没有明显影响。除此之外，该方法的效果仅与采取的子载波数量、频谱冗余量以及带外频率集的选择有关，即预编码矩阵与基带数据没有关系，所以接收机的解码器设计也变得非常容易。但是本文提出的算法在子载波数量非常多的情况下时间复杂度也会变得很高，还有进一步优化的空间。