微弱LFM信号的FrFT检测能力分析

田建勇1, 石林江1，张晓光

(1.安顺学院 电子与信息工程学院, 贵州 安顺 561000；2.辽东学院 机械电子工程学院,辽宁 丹东118000)

1 引 言

线性调频(Linear Frequency Modulated,LFM)信号广泛应用于雷达、通信、声呐以及电子对抗等电子信息系统中，对未知LFM信号的检测在雷达目标参数测量、地震信号检测、电子情报目标识别等诸多领域中有着不可替代的作用[1]。在这些应用场合中，均需要完成微弱LFM信号检测。目前，应用最为广泛的微弱LFM信号检测方法是基于时频分析的方法。该类方法首先利用时频变换(短时傅里叶变换[2]、Winger变换[3]、Ambiguity变换[4]等)获取信号的时频分布，然后基于Radon变换或Hough变换等检测手段实现LFM信号检测，其检测本质是提取LFM信号在时频分布中的直线特征。这类方法的缺陷在于需要首先计算信号的二维时频分布，再进行直线特性变换后依靠二维峰值搜素实现信号检测，计算量较大，对硬件性能要求很高。

分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FrFT)最早用于解决量子力学中的微分方程问题[5]。文献[6]证明了FrFT与Wigner变换之间的等价关系，指出了FrFT本质上是一种时频旋转算子，奠定了FrFT处理LFM信号的理论基础[7-10]。FrFT的时频旋转功能可以将LFM信号累积为一个峰值，即使在低信噪比下也具有很好检测性能，并且FrFT在检测LFM信号的同时还能估计出信号的中心频率和调频率，同时实现了信号检测和参数估计。但是，许多应用场合需要对微弱LFM信号进行检测，而目前缺乏对FrFT检测微弱LFM信号能力的分析，影响了FrFT检测LFM信号的实际应用。

针对此问题，本文研究了FrFT对微弱LFM信号的检测能力问题，首先简要介绍了FrFT检测LFM信号的原理，在二元假设检验模型下分析了FrFT检测LFM信号的性能，推导了虚警概率和检测概率的数学表达式，分情况讨论了LFM信号幅度谱的近似解；然后利用虚警概率和检测概率结合接收机工作特性曲线(Receiver Operating Characteristic,ROC)分析了FrFT检测LFM信号的灵敏度；最后仿真比较了FrFT与传统傅里叶变换(Fourier Transform,FT)对微弱LFM信号的检测灵敏度和信号累积能力。

2 FrFT检测原理

任意信号x(t)的FrFT可以表示为

(1)

式中：u代表分数阶频率，α代表FrFT的变换角度，Kα(t,u)表示FrFT的核函数，

(2)

K(t,u)=exp(-2πjut) 。

(3)

FT只是单纯将信号由时域变换至频域，而FrFT通过改变核函数，实现对时频平面的旋转。LFM信号模型可以表示为

s(t)=Aexp[2πj(f0t+kt2)+φ] 。

(4)

式中：A表示信号幅度，f0为信号的载频，k为信号的调频斜率，φ为信号的初始相位。

对于有限长的LFM，其维格纳变换(Wigner-Ville Distribution,WVD)表现为一条斜刀刃状的脊线，文献[3]和文献[11]分别提出采用Radon变换和Hough变换累积LFM信号在WVD中的脊线实现信号检测。文献[6]分析了FrFT和WVD等时频分析工具之间的关系，指出FrFT就是将信号的时频坐标(t,ω)绕远点逆时针旋转角度α，完成由(t,ω)到(u,α)的变换。FrFT可以看作是对时频平面的旋转，旋转过程如图1所示。

图1 FrFT旋转算子示意图Fig.1 Sketch of FrFT rotation operator

图1中还给出了LFM信号的时频分布，当FrFT的旋转角度α刚好旋转到与LFM信号的脊线垂直时，LFM信号就会在u轴投影为一个峰值，实现了能量聚集，而白噪声的FrFT不会产生任何峰值，不会产生能量聚集，这说明FrFT可以用来检测LFM信号。

受加性噪声污染的信号可以表示为

x(t)=s(t)+n(t)。

(5)

式中：n(t)代表均值为零、方差为σn的高斯白噪声。LFM信号检测的任务就是从受到噪声污染的信号中检测出LFM信号。定义X(u*,α*)2为基于FrFT的LFM信号检测统计量，

(6)

当检测统计量大于给定门限时，判断为LFM信号；否则，判为噪声。

近年来，研究人员提出了多种FrFT的等价变换公式[4]。文献[5]给出了一种FrFT等价变换，称为Chirp-Fourier变换(Chirp-Fourier Transform,CFT)：

(7)

上式仅适用于α∉{-1,0,1}的情况。α∉{-1,0,1}是FrFT的特殊情况：α=-1对应信号的逆Fourier变换，α=1对应传统的Fourier变换，而α=0表示无变换。对比式(1)和式(7)可知，CFT和FrFT存在下列关系：

X(u,α)=A(φ)Xc(u/sinα,β)，

(8)

(9)

式中：β=-cotα/2。式(8)和式(9)表明，CFT模值和FrFT模值之间只相差一个固定的尺度因子，因此可以用CFT模值代替FrFT模值进行LFM信号的检测，此时检测统计量变为Xc(u*,β*)2，

(10)

3 检测能力分析

3.1 虚警概率与检测概率

LFM信号检测的二元假设检验模型可以表示为

(11)

假设基于FrFT的LFM信号检测门限为λ，则虚警概率可以表示为

(12)

式中：Xmax表示检测统计量Xc(u*,β*)2，p(XmaxH0)为高斯白噪声经过CFT后的模值平方最大值的概率密度函数。

检测概率可以表示为

(13)

式中：p(XmaxH1)为信号加噪声经过CFT变换后的模值平方最大值的概率密度函数。

实际检测过程中，都是在一定的调频率范围内检测信号，即β∈[0,βmax]。假设在调频率范围内β的离散点数为N，分数阶频率u的离散个数为M。在假设H0条件下，检测统计量Xmax的概率密度函数可以表示为[12]

(14)

将上式代入式(12)可以化简得出虚警概率等于

(15)

根据CFT的定义可知，当调频率β取某一定值时，在H1假设条件下，信号CFT的实部和虚部均为独立的高斯随机变量，因此Xc(u,β)2服从于非中心的卡方分布，此时检测统计量的概率密度函数为

(16)

式中：S(f)表示LFM信号s(t)的Fourier变换，即s(t)的频谱。检测概率

(17)

实际检测过程中处理的都是离散信号，对于快变的LFM信号(调频率k较大时)，信号频谱在中心频率f0处的模值平方可以近似为

(18)

式中：ω(·)是计算FFT时采用的窗函数，fs是信号的采样频率。对于慢变的LFM信号(调频率k较小时)，信号频谱在中心频率f0处的模值平方可以近似表示三阶泰勒级数的形式:

(19)

式中:

(20)

而am表示m阶窗函数的时间矩，

(21)

快变信号、慢变信号的近似值与真实值的关系如图2所示，图中kmax=fs/4T，T为信号长度。

图2 LFM信号频谱幅值近似Fig.2 LFM signal spectrum amplitude approximation

由图可知，快变信号、慢变信号的近似可以合并为如下形式：

(22)

将上式代入式(17)即可得出检测概率与检测门限的关系。

3.2 检测灵敏度

信噪比在信号检测中占有非常重要的地位，是接收机信号检测的主要技术指标。将检测概率、虚警概率和信噪比之间的关系用曲线描述出来，称为ROC曲线，一定信噪比范围的ROC曲线描述了检测算法的性能。目前FrFT广泛应用于动目标检测、电子侦察信号检测以及SAR成像信号处理等涉及微弱LFM信号检测的领域，但缺乏关于FrFT检测微弱LFM信号能力的定量分析。

根据ROC曲线可以分析FrFT检测微弱LFM信号的能力，即检测灵敏度。检测灵敏度是指给定检测概率和虚警概率时，穿过检测概率和虚警概率坐标点的ROC曲线的信噪比。信号检测灵敏度的值越小，算法检测微弱信号的能力就越强。图3给出了3种不同信噪比下(-6 dB、-8 dB和-10 dB)，基于FrFT检测LFM信号的ROC曲线，定义检测概率和虚警概率分别为pd=0.7、pfa=10-6，那么FrFT检测LFM信号的灵敏度就约等于-6 dB。

图3 ROC曲线Fig.3 ROC curve

4 仿真分析

本节将通过仿真实验对比分析FT和FrFT对微弱LFM信号的检测能力，包括不同调频率信号的检测灵敏度仿真、不同时长信号的检测灵敏度仿真和不同信噪比信号的检测概率仿真。在验证前述理论分析正确性的同时，进一步分析FrFT检测LFM信号优缺点。

4.1 不同调频率信号的检测灵敏度

图4为FT和FrFT对30个不同调频率LFM信号的检测灵敏度，图4(a)和图4(b)分别为信号长度N=256和N=512时检测灵敏度与调频率关系。

(a)N=256

(b)N=512图4 不同调频率信号检测性能Fig.4 Different frequency signal detection performance

对比图4中FT和FrFT对不同调频率LFM信号的检测灵敏度可知，FrFT方法对于信号调频率不敏感，对不同调频率信号具有稳定的检测灵敏度；而FT方法对调频率较低信号的检测灵敏度较高，当信号调频率升高至一定值时，检测灵敏度随着调频率的增加而下降。此外，当LFM信号的调频率较小时，FT方法的检测灵敏度较高；当LFM信号的调频率较大时，FrFT方法的检测灵敏度较高。这是因为调频率较小的LFM信号十分接近于正弦波信号，适合于FT方法检测；而FrFT方法需要对调频率β进行量化寻优，检测性能受到β量化分辨率的影响，因此当信号调频率较低时，检测性能差于FT方法。

对比图4(a)和图4(b)可知，检测灵敏度与信号长度有关，信号长度越长，两种方法的检测性能均有提升。

4.2 不同时长信号的检测灵敏度

图5为FT和FrFT对不同调频率LFM信号的检测灵敏度，LFM信号调频为0.03βmax。

图5 不同时长信号检测性能Fig.5 Different durations signal detection performance

图5表明，当信号时长较小时，FT方法与FrFT方法的检测灵敏度变化趋势几乎相同。但是，随着信号时长的进一步增加，FrFT方法检测灵敏度继续提升，而FT方法的检测灵敏度不再增加。结果表明，FT方法的检测灵敏度不能随着信号时长的增加而增加，对LFM信号不是最优的，而FrFT方法的检测灵敏度随着信号时长的增加而增加，实现了对LFM信号的最优检测。

4.3 不同信噪比信号的检测概率

设定LFM信号脉冲宽度为T=1 s，中心频率f0=400 Hz，采样频率fs=8 kHz，调频率200 Hz/s，窗函数为128点的Hanning窗，给定虚警概率Pfa=10-6，信噪比步进为1 dB，每个信噪比下进行500次蒙特卡洛仿真实验，分别采用FT方法和FrFT方法检测，实验结果如图6所示。

图6 检测性能对比Fig.6 Comparison of detection performance

从图6可以看出，在设置的仿真条件下，FrFT方法的检测性能明显优于FT方法。这是因为，虽然噪声在传统频域和分数阶频域都是分散的，不会出现明显的能量聚集，但是LFM信号在传统频域中的幅值表现为矩形形状的谱线，信号的能量没有得到有效的累积，因此在噪声条件下的检测性能不佳；而LFM信号经过FrFT后，会将信号能量累积到特定旋转角和分数阶频点的峰值中，相对压低了噪声能量，因而具有良好的检测性能。

综上所述，FrFT适合于对微弱LFM信号进行检测，其缺点是对于调频率较小的LFM信号，参数离散分辨率会影响检测性能，但可以采用一些优化算法[13-14]在不增加运算量的同时提高参数离散分辨率，实现微弱LFM信号检测。

5 结 论

本文研究了微弱LFM信号的FrFT检测能力问题:基于FrFT检测原理和二元假设检验理论推导了FrFT检测LFM信号的虚警概率和检测概率，理论上分析了FrFT对LFM信号的检测灵敏度，仿真对比了FrFT和FT检测微弱LFM信号的能力，表明FrFT的对LFM信号的检测能力优于FT。文中的研究内容为实际工程应用中FrFT检测LFM信号设置合理的检查门限提供了依据。下一步值得研究的问题是在保证检测效率的前提下提高FrFT检测LFM信号的参数分辨率。