采用FFT-PSO策略的多约束稀疏阵天线方向图综合*

潘红光1,薛纪康1,高海南**2,江能前

(1.西安科技大学 电气与控制工程学院，西安710054;2.西安卫星测控中心，陕西 渭南714000;3.西安交通大学 经济金融学院，西安710049)

采用FFT-PSO策略的多约束稀疏阵天线方向图综合*

潘红光1,薛纪康1,高海南**2,江能前3

(1.西安科技大学 电气与控制工程学院，西安710054;2.西安卫星测控中心，陕西 渭南714000;3.西安交通大学 经济金融学院，西安710049)

采用稀疏布阵的相控阵测控天线，阵元等幅激励时的阵列峰值副瓣电平无法满足指标要求。在考虑天线增益、半功率波束宽度等指标约束时设计了合适的适应度函数，并基于粒子群算法(PSO)对阵元激励幅度进行优化以降低天线副瓣电平。同时，分析了等间距栅格平面阵列天线方向图与离散傅里叶变换的关系，采用快速傅里叶变换(FFT) 降低了阵列方向图计算复杂度。仿真结果表明，该方法可有效降低峰值副瓣电平和计算复杂度。

航天测控；相控阵天线；稀疏平面阵列;粒子群优化；方向图综合

1 引 言

随着航天测控技术的发展和测控任务的增加，相控阵天线在测控设备天线的设计中应用越来越广泛。相控阵天线具备波束赋形和扫描灵活的优势，可用来提高阵列系统的整体性能，增加对辐射方向图的控制能力[1-3]。实际中，需要天线阵列的优化布阵技术以满足其设计中成本、结构和设备功能等方面的需求。一般来说，相控阵天线阵列设计分为稀疏和稀布两种布阵方式[4]。稀疏阵列是将一定数目的天线单元从均匀间隔阵列中稀疏而形成的，其阵元间距是原均匀阵列的阵元间距的整数倍；而稀布阵列的天线单元在天线孔径上随机分布，其阵元间距是相互不可整除的[4-5]。相较而言，由于稀疏阵列的结构设计和波束控制简便易行，因此在工程实际中应用更为常见。

对稀疏阵列天线而言，工程中采用阵元等幅度激励方法时，稀疏阵列天线方向图的峰值副瓣电平(Peak SideLobe Level，PSLL) 很难满足指标要求，并会带来一系列问题[6]，如：较高的PSLL 会增大副瓣误跟踪的几率，进而增加任务风险。因此，需要对稀疏平面阵列天线方向图进行低副瓣综合以降低PSLL[7]。

对测控(Telemetry，Track and Command，TT&C)天线而言，接收天线增益反映接收灵敏，半功率波束宽度BW(又称主瓣宽度)对目标测向精度有很大的影响。由于基于阵元激励幅值的方向图综合时降低阵列天线峰值副瓣电平的同时，一般也会降低天线增益和展宽半功率波束宽度，导致接收信号电平门限的降低和测向数据误差的增大，因此需要在设计适应度函数时考虑考虑以上两个指标约束。

稀疏平面阵列方向图综合问题中的目标函数和约束条件往往是多参数、非线性、不可微的，因此传统的解析方法和梯度寻优数值方法均无法有效求解[9]。而遗传算法(Genetic Algorithm，GA)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)、自适应差分算法和模拟退火算法等智能算法[9-14]在求解多变量非线性优化问题上具有很大的优势，算法简单、易于实现，因此在阵列天线方向图综合中得到了广泛的应用。譬如：文献[14]中所采用的自适应差分算法在处理分布式孔径雷达的方向图问题时，仅通过较少的仿真次数即可稳定的获得更低的旁瓣电平。

粒子群算法源自对鸟群捕食行为的研究，由Kennedy 和Eberhart[15]提出。基于标准PSO算法及改进的PSO算法优化稀布阵列天线间距和稀疏阵列天线的稀疏位置和阵元激励幅度、相位，可得到满意的PSLL，但构造适应度函数时很少考虑工程中对天线增益和半功率波束宽度等指标约束要求和栅瓣存在的影响。对于PSO等智能优化算法，采用级数求和求解天线方向图的方法也使得计算复杂度呈指数级增长[16]。当阵元间距等于半波长的特殊情况下，可采用快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform Algorithm，FFT)计算直接得到天线方向图，但该条件需放宽至任意阵元间距情况方能满足测控天线方向图计算需求。

本文建立了稀疏平面阵列天线数学模型，在此基础上构造了满足TT&C天线性能指标要求的适应度函数，并采用粒子群算法实现了稀疏阵列天线低副瓣方向图综合。另外，在分析等间距栅格平面阵列天线方向图与FFT关系的基础上，本文利用离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transformation，DFT)的周期性拓展方向图，得到了任意阵元间距情况阵列方向图，降低了计算复杂度。仿真验证了方法的有效性。

2 稀疏平面阵列天线方向图

2.1稀疏阵列天线方向图数学模型

对于图1所示的稀疏平面阵列天线，阵元只分布于x-y平面内的M×N个等间距栅格上，dx为x方向的栅格间距，dy为y方向的栅格间距。定义矩阵A表示阵元稀疏信息，Am，n=1表示(m，n)坐标栅格上有阵元，Am，n=0表示该位置阵元被稀疏掉，m∈[0，M-1]，n∈[0，N-1]。平面阵列方向图为

(1)

其中：xm=mdx；yn=ndy；θ为波束指向与阵列平面法线的夹角；φ为波束指向与阵列平面x正方向的夹角；Cm，n为每个阵元的口径分布展开的复电压，Cm，n=cm，nejΘm;n，cm，n为阵元激励幅度，cm，n∈[0，1]，Θm，n为归一化阵元激励相位，Θm，n∈[0，2π]，均受阵元中的移相器控制[17]。

图1 稀疏平面阵列天线模型Fig.1 The model of sparse planar array antenna

若仅考虑幅度激励，则对∀m∈[0，M-1]和∀n∈[0，N-1]，有Θm，n=0，式(1)可变为

(2)

由天线方向图的乘积原理可知，相控阵天线的天线方向图为阵元方向图e(θ，φ)与阵列因子f(θ，φ)的乘积，即

F(θ，φ)=e(θ，φ)f(θ，φ)，

(3)

(4)

2.2阵列天线方向图的FFT计算方法

阵元方向图e(θ，φ)固定不变，因此计算阵列天线方向图需首先计算阵列因子f(θ，φ)。 直接按照式(2)计算方向图需要(MN)2次复数乘法和MN(MN-1)次复数加法，当阵元个数较多时，计算量很大。通过变换将式(2)写为

(5)

图2 FFT 变换后的u-v空间示意图Fig. 2 The u-v space diagram after FFT transformation

对u和v进行变换处理有

(6)

uL≤u≤uR，vL≤v≤vR。

(7)

通过FFT方法可将阵列因子方向图的计算复杂度由(MN)2降低到(MN)lb(MN)数量级，提高了优化算法的效率[16]。

3 基于粒子群优化的多约束方向图综合

3.1粒子群优化算法简介

粒子群算法首先在给定的解空间中随机初始化粒子群，待优化问题的变量数决定了解空间的维数。每个粒子均有初始位置、初始速度和优化目标构造的适应度函数，在解空间中按照一定的速度迭代寻优。每次迭代中，粒子通过跟踪两个极值来更新自己在解空间中的位置与速度，一个是单个粒子在迭代过程中找到的最优个体极值，另一个为种群所有粒子在迭代过程中所找到的全局最优极值。

粒子群算法的速度、位置的迭代方程为

(8a)

(8b)

3.2适应度函数设计

适应度函数的设计是粒子群算法的关键，合适的适应度函数能够提高算法的优化结果，因此，其设计必须根据所要优化的问题具体分析。对于TT&C天线而言，接收天线增益可反映接收灵敏度，而半功率波束宽度BW(又称主瓣宽度)也对目标测向精度有很大的影响。基于阵元激励幅值的方向图综合时，在降低阵列天线峰值副瓣电平的同时，一般也会降低天线增益和半功率波束宽度，导致接收信号电平门限的降低和测向数据误差的增大，因此在设计适应度函数时需要考虑以上两个指标约束。

对于式(3)表示的方向图函数，若限定最大副瓣电平与主瓣电平之差(对数)为KF，构造适应度函数，即

(9)

其中:max函数为求极大值，且满足

(10)

(11)

其中：BW，S为设定的半功率波束宽度，BW不应大于BW，S；FS为设定的天线增益，Fmax不应小于FS；α、β、γ分别为对应项的权值，权值越大表示该项指标越重要。通过最小化该适应度函数，不断迭代搜索满足约束条件的最优解，可实现方向图的低副瓣综合。

3.3整体算法

对于TT&C天线，离主瓣波束最近的若干峰值副瓣电平大小对目标角度捕获影响最大，因此，方向图综合的目的在于优化阵元激励幅度以降低一定角度范围的峰值副瓣电平。为保证天线方向图E面和H面的对称，阵元激励幅度也应以阵元为中心一致。稀疏阵列天线的阵元稀疏位置由矩阵A控制，故被优化变量为MN个等效阵元激励幅度Im，n(Am，ncm，n)。 算法实施框图如图3所示。具体地，将等效阵元激励幅度Im，n(m∈[0，M-1]，n∈[0，N-1])视为粒子，并进行初始化，可采用FFT算法计算得到阵元方向图F(θ，ψ)；在此基础上，即可得到峰值副瓣电平、天线增益和半功率波束宽度等指标；综合上述3个指标得到适应度函数值并进行搜索优化，完成一次迭代；最后，达到迭代次数或者适应度函数值满足误差要求后优化完成。

图3 粒子群优化方向图框图Fig.3 The pattern diagram of particle swarm optimization

算法1(整体算法):

Step1 初始化等间距栅格节点上的阵元幅值及其速度值。

Step2 由FFT计算阵列方向图和初始种群适应度函数，并根据式(11)所示的适应度函数得到全局最优种群和个体最优种群。

Step3 按式(8)产生新的种群，并计算新种群的适应度函数，更新全局最优和个体最优值，然后更新种群速度。

Step4 判断是否达到终止条件，若是，终止迭代，否则转向Step 3。

注释1:

(1)粒子群算法作为一种常见的启发式算法，其明显优势是算法的有效性和程序实现的便捷性。

(2)由图3及算法1的描述可知，该整体算法可作为解决此类问题的通用框架，能够方便地采用遗传算法、差分进化算法等启发式算法替换。

(3)适应度函数可以灵活的采用不同指标进行构造，以满足应用中出现的不同需求。

注释2:

(1)本文通过分析等间距栅格平面阵列天线方向图与离散傅里叶变换的关系，采用FFT来降低阵列方向图计算复杂度。在整体算法1中，每个粒子的每步迭代计算均采用FFT算法降低阵列方向图的计算量，从而显著降低了整体算法的计算量。

(2)根据注释1及注释2(1)，在采用其他启发式算法(如遗传算法、差分进化算法等)后，整体算法的计算量主要取决于这些启发式算法参数(如遗传算法的种群和遗传代数、差分进化算法的个体数和迭代次数等)的设置。因此，已有文献对于此类启发式算法计算复杂度的比较结果也适用于本文的整体算法1。

4 仿真与分析

本仿真采用的台式计算机参数如下：酷睿i5 4590系列处理器，CPU频率为3.3 GHz，内存容量为4 GB。

测控阵列天线阵元稀疏情况如图4所示，灰色方格为阵元，白色方格表示阵元被稀疏掉，阵列中阵元行数M=16，列数N=16。下行信号空间自由波长λ，阵元间距dx=dy=2λ。

注释3：

工程应用的设备工作在S频段，信号波长为0.13～0.16 m，设备研制方选取阵元间距dx=dy=2λ，那么单个阵元尺寸为0.27～0.35 m，平面阵列尺寸约为5 m×5 m，在这个尺寸下，既方便结构设计、降低成本，又能满足性能要求。因此，选取阵元间距dx=dy=2λ是综合衡量的结果。

4.1波束未扫描时的仿真结果

当不存在波束扫描，即扫描角θ=0°时，若阵元为等幅激励，则通过Matlab仿真得到阵列天线的三维空间归一化方向图如图5 所示(坐标u′、v′定义为u′=sinθcosφ、v′=sinθsinφ)，对应的E面归一化方向图如图6所示，阵列天线理论增益为65.77 dB，方向图峰值副瓣电平为-10.25 dB，半功率波束宽度为BW=1.47°。同时可以看到，在偏离主波束30° 存在第一栅瓣。在工程实际中，考虑到拼阵损失和数字移相器幅相误差等因素影响，实际峰值幅瓣电平和半功率波束宽度一般均大于上述仿真值。

图4 阵元排布示意图Fig.4 The diagram of array element configuration

图6 阵列天线E 面归一化方向图Fig.6 The E-plane normalized pattern of array antenna

如表1所示，测控设备天线峰值副瓣电平要求小于-13 dB，采用粒子群算法进行方向图低副瓣综合时，展宽后的半功率波束宽度不大于1.6°，天线增益下降不超过2 dB。考虑到测控设备天线测角的功能需求，方向图关于阵面法线对称分布，因此，图4的每个子阵中的阵元激励幅度关于阵面中心对称，则粒子的维数为子阵栅格数64，粒子数目n=50，阵元激励幅度范围为[0，1]，迭代次数N=200，c1=c2=2，惯性权重ω随迭代次数从1到0.4线性递减，ξ、η取[0，1]的随机数，适应度函数各项加权系数α、β、γ分别为1、0.5、1。

表1 优化前后参数对比Tab.1 Comparison between the non-optimized and optimized parameters

粒子群优化算法性能如图7所示，第49次迭代后适应度函数值已基本接近于0。图8所示为粒子群算法得到的阵元激励幅值直方图分布，图9 所示为阵列天线E面方向图，优化后的峰值副瓣电平为-13.25 dB，天线增益下降1.89 dB，波束宽度为1.55°，均满足设定的指标要求。另外，与阵元叠加原理计算方向图相比，FFT方法计算方向图的每次平均迭代时间由4.58 s 降为0.23 s，因此FFT 方法的运用提高了计算效率。

图7 粒子群优化算法性能Fig.7 The algorithm performance of PSO

图8 阵元激励幅值直方图分布Fig.8 The amplitude histogram of array element excitation

图9 E面方向图Fig.9 The E-plane pattern

4.2进一步讨论

4.2.1波束扫描时的仿真结果

采用4.1节中θ=0°时优化得到的阵元等效激励幅度Im，n，并保持其他参数不变，通过改变波束扫描角θ的数值来分析波束扫描时的离线优化结果，具体如表2所示。由表2可知，随着扫描角度θ的增大，半功率波束宽度随着扫描角度的增大逐渐展宽；同时，峰值副瓣电平逐渐增大、天线增益逐渐下降，这两项指标在θ=6°时均不满足指标要求。显然，如果不能针对变化的扫描角逐个优化阵元等效激励幅度Im，n，那么，在扫描角度θ逐步增大的过程中，峰值副瓣电平、半功率波束宽度和天线增益这3项指标均会逐步下降。

表2 波束扫描时的优化结果Tab.2 Optimization results with beam scanning

4.2.2权重影响分析

本节对适应度函数式(11)中参数α、β和γ的选取及其对算法的影响展开讨论。

首先，在权重α、β和γ选取时，需要考虑峰值副瓣电平、半功率波束宽度和天线增益这3项指标的重要程度。一般来说，若要体现某个指标的重要性，其对应的权重应该较其他指标的权重至少高出一个数量级，下面的仿真结果也验证了该结论。

其次，为了量化权重α、β和γ对式(11)的影响，采用4.1节中的仿真参数，仅将3项指标的参考值(分别为峰值副瓣电平≤16.00 dB、半功率波束宽度≤1.48°、天线增益≥65.76 dB)加以收紧，收紧后的各指标如表3所示。我们共设计4组仿真:第一组，α、β和γ均取为1，作为后续3组仿真的比较基准；在第二、三、四组中，α、β和γ分别取为100，表示其对应的某项指标重要性高于其他指标。以第四组为例，当α、β和γ时，天线增益较第一组中增加2.1 dB，而峰值副瓣电平则距离指标偏差增大；也即，增大的权重值明显体现了其对应指标在优化过程中的重要性。类似地，从第二、三组的结果中也可得出相似的结论。

表3 不同权重取值对3项指标的影响Tab.3 Influence of different weight on three indexes

需要说明的是，4.1节中对于指标参考值的选取主要考虑了实际工程中的影响，当然，此种情况下，各权重对指标重要性的区分度会有所降低，但其作用仍不容忽视，这是工程应用中通常采用式(11)作为适应度函数的原因之一。

5 结 论

为解决TT&C稀疏平面阵列天线峰值副瓣电平过高问题，本文在分析相控阵天线方向图数学模型基础上，将天线增益、半功率波束宽度等指标加入适应度函数设计中，采用粒子群算法优化阵元激励幅度，使峰值副瓣电平满足指标要求。FFT方法的运用加快了阵列天线方向图计算速度，显著降低了计算复杂度。仿真试验验证了算法的有效性，算法可在阵列天线设计中进行应用。

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ThinnedArrayAntennaPatternSynthesiswithMultipleConstraintsUsingFFT-PSOStrategy

PAN Hongguang1，XUE Jikang1，GAO Hainan2，JIANG Nengqian3
(1.School of Electrical and Control Engineering，Xi′an University of Science and Technology，Xi′an 710054，China;2.Xi′an Satellite Control Center，Weinan 714000，China;3.School of Economics and Finance，Xi′an Jiaotong University，Xi′an 710049，China)

For the thinned array antenna,the peak sidelobe level (PSLL) of the array with equal amplitude excitation can not meet the requirements of the designed performances. Considering the constraints of antenna gain and the half-power beamwidth,the appropriate fitness function is designed,and the excitation amplitude of the element based on particle swarm optimization (PSO) is optimized to reduce the antenna sidelobe level.Meanwhile,the relationship between the pattern of planar phased array with rectangular grid and the discrete Fourier transform (DFT) is analyzed,then the fast Fourier transform (FFT) is used to reduce the computational complexity. The simulation results show that the proposed approach can effectively reduce the maximum PSLL and the computational complexity.

space TT&C;phased array antenna;thinned planar array;particle swarm optimization;pattern synthesis

date:2017-03-03；Revised date：2017-07-14

国家自然科学基金资助项目(61603295)；陕西省科技厅工业科技公关项目(2016GY-040,2105GY020)

**通信作者：gaohainan1505@163.com Corresponding author：gaohainan1505@163.com

TN821

A

1001-893X(2017)10-1133-07

潘红光(1983—),男,山东临沂人,2015年于西安交通大学获博士学位,期间获国家留学基金委资助赴美联合培养,现工作于西安科技大学电控学院,主要研究方向为预测控制、智能控制及其应用；

Email:hongguangpan@163.com

薛纪康(1993—),男,陕西富平人,西安科技大学电控学院硕士研究生,主要研究方向为嵌入式控制、预测控制、智能控制；

Email:jkxue1993@163.com

高海南(1987—),男,安徽太和人,2013年于西安交通大学获硕士学位,现工作于西安卫星测控中心,目前研究方向为无线电测控与通信、预测控制、智能控制；

Email:gaohainan1505@163.com

江能前(1982—),男,江苏苏州人,西安交通大学经济与金融学院博士研究生,主要研究方向为应用经济、环保能源、战略管理等。

Email:jnq999@hotmail.com

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.10.006

潘红光,薛纪康，高海南,等.采用FFT-PSO策略的多约束稀疏阵天线方向图综合[J].电讯技术，2017,57(10):1133-1139.[PAN Hongguang,XUE Jikang,GAO Hainan,et al.Thinned array antenna pattern synthesis with multiple constraints using FFT-PSO strategy[J].Telecommunication Engineering,2017,57(10):1133-1139.]

2017-03-03；

2017-07-14