水平集高斯过程的非星凸形扩展目标跟踪算法

陈 辉 曾文爱 连 峰 韩崇昭

①(兰州理工大学电气工程与信息工程学院 兰州 730050)

②(西安交通大学自动化科学与工程学院 西安 710049)

1 引言

随着高分辨率传感器技术的发展，目标检测可占据传感器的多个分辨率单元，继而传感器可接收由目标产生的多个量测。一个采样周期内产生多个量测的目标称为扩展目标，相对应的跟踪问题称为扩展目标跟踪[1–4](Extended Target Tracking,ETT)。为了更全面地识别与认知高分辨率目标，ETT问题得到国内外学者的广泛研究并且取得了一些优秀的科研成果。这些成果的核心关注点着眼于目标形状特征的估计[5–8]，而更为科学的量测源建模方法是研究问题的关键。此外，群智协同与集群联合作战使得群目标跟踪[9–12]问题颇受瞩目。如果把群目标看作一个整体而不区分个体目标属性，群目标的跟踪方法则与扩展目标跟踪非常相似，其所呈现的外部轮廓特征及其时空演变就是问题研究的焦点所在。

在对扩展目标量测源建模[13,14]的研究中，目标范围可以建模为圆、椭圆或者其他简单的几何形状[15–18]。目前，采用最广泛的形状模型是由Koch[19]提出的随机矩阵模型(Random M atrix M odel,RMM)，但由于形状简单、估计难度较小、对信息的利用率也不大，无法对扩展目标的细节进行精确描述。因此，对于目标辨识度要求较高的时候，椭圆建模就并不再适用。而探究更为细节化的不规则形状建模方法，便成了现代高分率传感器目标跟踪系统的研究重点。已有的描述扩展目标轮廓细节的方法大体上有两种：一种是Lan等人[20,21]提出的采用多个椭圆近似其实际形状，直观上利用个数不同、大小不一的多个椭圆去刻画目标轮廓上的局部细节。另一种是Baum等人[22]提出的应用于星凸不规则形状扩展目标跟踪的随机超曲面模型(Random Hypersurface M odel,RHM)。RHM利用径向函数通过傅里叶级数展开对扩展目标形状进行描述。为了避免在高阶傅里叶系数的情况下描述目标形状的变化，W ahlström和Özkan[23]在RHM的基础上提出一种基于扩展卡尔曼滤波的高斯过程(Gaussian Process,GP)模型。但对于非星凸不规则形状扩展目标，上述RHM和GP模型无法进一步对目标轮廓细节进行精确估计。因此，Zea等人[24]在RHM的基础上提出了一种新的模型，称为水平集随机超曲面模型(Level-Set RHM)。

Level-Set RHM利用给定形状函数的水平集，通过多边形方法对形状的内部进行建模，根据推导得到一个非线性量测方程，再使用标准高斯状态估计器跟踪扩展目标。水平集[25,26]是一种基于能量泛函的图像分割方法，应用水平集可以实现曲线演化。对于RHM无法描述非星凸形目标的细节，Level-Set RHM能够很好地精确估计。GP是一个随机过程，通过选择一个适当的核函数，结合训练数据来学习一个未知函数。对于解决高维数、非线性等问题，GP已被证明是一个非常理想的选择。而不规则形状扩展目标的状态向量与量测之间的关系是高度非线性的，故GP可以很好地用来估计高度非线性程度的目标[27–29]。因此，在Level-Set RHM的基础上，利用GP去求解更为复杂的量测过程，能够提高非星凸形形状估计的鲁棒性和准确性。

本文的主要创新点是针对非星凸形扩展目标跟踪提出了水平集高斯过程(Level-Set GP)模型。利用水平集将扩展目标建模为多边形，通过GP学习模型输入与输出的非线性映射关系，再进一步推导非线性量测方程，然后，对非线性量测方程采用无迹卡尔曼滤波器(Unscented Kalman Filter,UKF)[30,31]进行形状信息更新，使扩展目标形状的估计精度得以提高。最后，利用面积误差作为非星凸形扩展目标形状估计的评价指标。通过对非星凸形扩展目标进行实验仿真，验证了本文的有效性与可行性，且Level-Set GP对较为复杂的不规则形状建模问题的适应性更强，更能精确地描述目标形状细节。

2 基本理论

2.1 量测模型

假设目标量测是相互独立的，且传感器数学模型可有效建立扩展目标边界或表面的量测源分布，即扩展目标在k时刻产生的nk个量测来源于形状内的量测源集合。量测集Y k中的任意一个量测yk,l在笛卡儿坐标系中表示一个位置，借助有效的信息融合技术给出了扩展目标的形状信息。通过传感器模型所观测到的量测一般受加性噪声污染，因此量测方程可表示为

其中，w k,l表示均值为0，协方差为Cw的高斯白噪声。其中，协方差Cw由传感器模型确定。

2.2 动态轮廓模型

量测不仅仅从扩展目标形状边界生成，也从目标表面生成。本文跟踪的目标形状是单连通区域的，即目标形状是封闭且不包含任何小孔，因此目标形状可以解释为一个填充形状。在目标运动模型中，目标状态向量xk除了包括形状参数，可对其他运动参数(如速度或加速度)进行扩维。

动态轮廓模型描述了扩展目标状态x k在k时刻到k+1时刻的演化过程。扩展目标状态随时间变化而改变，其在连续时间步的演化服从下述模型

其中，ak(·)为n维向量函数，n由形状顶点决定，v k表示均值为0，协方差为Cv的高斯白噪声。

3 水平集随机超曲面模型

3.1 非星凸形扩展目标

星凸形扩展目标的定义为扩展目标中至少存在任意一点m与边界连接的线段仍属于该目标，则称这样的目标为星凸形扩展目标。反之，若不存在这样的点，则称该目标为非星凸形扩展目标。观察图1的 Z 形[图1(a)]和I 形[图1(b)]，形状内明显不存在点m，所以 Z形和I 形为非星凸形状。星形[图1(c)]显然不是一个凸的形状，但形状中存在任意点m，所以星形是一个星凸形状。

图1 不规则扩展目标形状

星凸形扩展目标可以通过将其边界向点m收缩来进行描述，但非星凸形扩展目标不存在这样的点，所以RHM和GP模型并不适用于跟踪非星凸形扩展目标，跟踪效果如图2所示。因此，为了解决非星凸形扩展目标的细节跟踪问题，Zea等人提出了Level-Set RHM。

图2 非星凸形扩展目标跟踪

图3 求边界形状函数最大值过程

3.2 边界形状函数

形状函数的意义在于，在不需要生成显式概率模型的情况下对形状参数进行估计，进而描述目标形状。最常用的形状函数是符号距离函数。

3.3 基于多边形应用的边界形状函数计算

实现Level-Set RHM最为常见的方法是使用多边形表示2维形状。即形状参数用n多边形的各顶点表示，记为，bk表示多边形各顶点。在多边形中，边界形状函数一般使用带符号的马氏距离计算，记为符号距离函数。

当j=n时，由于形状是封闭的，故bk,n+1等价于b k,1，依此类推。最后，根据马氏距离公式计算点z˜ 到多边形的最小距离

因此，符号距离函数可记为

3.4 正则化

对于未知形状的目标跟踪，不适当的初始化存在一定概率导致跟踪失败。为了解决这一问题，使用活动轮廓模型的思想。活动轮廓中最小化所谓的能量，对应正则化内能的概念。在Level-Set RHM中，内部能量最小化的目的是使形状边界更加光滑和平坦，降低噪声和过拟合的影响，并补偿不正当初始化的后果。对于多边形，内能最小化实现可表示为

其中，正则化因子c k∈[0,1]。bk,j及其相邻顶点的演化是线性的。因此，它可以使用向量Ar(c k)进行建模，其形式为

其中，Ar(c k)=[c k,(1-2c k),c k]。

4 水平集高斯过程模型

4.1 高斯过程

GP是一个反映输入与输出映射关系的随机过程，它是连续域内一个函数输入为u，输出为均值函数µ(u) 和协方差函数k(u,u′)的分布。即GP表达形式可由函数f(u)的均值函数µ(u)和协方差函数k(u,u′)唯一决定，其中，

因此，高斯过程可表示为

k(u,u′)f(u)f(u′)

协方差函数 反映了函数 和函数 之间的相关性。采用高斯过程进行建模时，计算其协方差函数是关键。考虑到模型的输入为角度，故选择周期性核函数，即

若u和u′彼此相距较近，则对应的f(u)和f(u′)之间相关性较高。其中，表示信号先验方差，l表示函数长度因子，表示均值函数方差。

在一个随机过程中，任意两个或多个随机变量服从多元高斯分布，这个随机过程被称为高斯过程。即对于任意有限个输入u=[u1,u2,...,u N]T，其对应的输出f(u)=[f(u1),f(u2),...,f(u N)]T服从多元高斯概率分布，可表示为

其中，均值函数µ和协方差函数K分别记为

4.2 高斯过程回归

高斯过程回归主要用于结合训练集学习未知函数。回归任务的本质是通过训练集学习输入与输出的映射关系，对新输入预测其相对应的函数值。

考虑模型

由GPR的本质可知，对于服从高斯分布的函数f(u k)，通过学习输入为u=[u1,u2,...,u N]T及其对应量测值之间的映射关系，对新的输入预测其对应的函数值。根据式(16)，量测值yr和函数值f的联合高斯分布可表示为

其中，⊗表示克罗内克积，协方差函数表示为

以高斯随机变量作为条件的分布仍是高斯分布，故根据式(20)的联合概率分布p(yr,f)，条件概率分布可表示为

其中，

在目标跟踪的实际应用中，量测数据不是批量获得的，因此使用贝叶斯公式递归更新后验概率分布

可得递归

假设f与过去时刻的量测距离值y1r:k-1独立，即

4.3 水平集高斯过程模型

扩展目标形状被假设为是封闭的。从这个假设可知，边界形状函数必有一个最大值，称为边界函数最大值。根据符号距离函数

通过下式对状态向量和协方差矩阵进行更新

Level-Set GP模型算法如算法1所示。

4.4 性能评价

为了客观地评估文中所提算法对非星凸形扩展目标跟踪的性能，根据文献[24]提出的面积差，设这两个形状的对称差记为

即两个形状的并集减去它们的交集。对对称差进行归一化，面积差ϵ(k)可表示为

算法1 Level-Set GP模型算法部分伪码

根据式(54)可知，对称差越小，面积差越小，模型性能越好。

对于不规则群目标的目标形状SG的计算，首先将从点区域按分割角度划分为N个子区域，再取每个子区域最远的点，将每个子区域最远的小圆点按顺序连接形成多边形，最后计算多边形面积从而得到不规则群目标的真实面积。

面积差计算如算法2所示。

5 仿真实验

本文通过构造非星凸形扩展目标，使用Level-Set GP对目标形状进行估计，验证所提算法的有效性和准确性。在非星凸形目标跟踪实验中，Z型是最具代表性的例子。因其具有显著的非星凸形特征，Z型被作为典型的图形案例应用在非星凸形扩展目标的跟踪应用中。因此本文主要以Z形目标作为示例。

5.1 场景构建

在仿真实验中，设置扩展目标在每个采样周期产生的量测数服从λ=10的泊松分布，采样周期为T=1 s；先验状态协方差为Cv=10-3·I n，量测噪声协方差矩阵为Cw=10-3·I n的高斯白噪声，其中In为n阶单位阵，n由多边形边数决定；尺度因子服从均值为0.3、方差为0.8的高斯分布；形状先验参数为外接圆半径为2m的多边形。

5.2 实验与分析

实验1算法可行性验证。根据仿真场景设置的参数，验证Level-Set GP模型的可行性，并且与传统算法Level-Set RHM跟踪效果进行对比。

分析1非星凸形扩展目标跟踪效果如图4所示。通过鉴别轮廓的跟踪细节，本文所提方法对于不规则形状的估计更贴近于目标的真实形状，验证了Level-Set GP模型比传统模型更有效且更准确地逼近非星凸形不规则轮廓。进一步，基于100次独立的M onte Carlo实验，根据面积误差对形状估计的精度进行分析，如图5所示，Level-Set GP模型最终收敛的面积误差较其他两种模型相比要更小，即对形状估计的效果更好。随着时间的增长，目标的量测信息逐渐增加，对扩展目标形状估计也越精确。通过与传统算法的对比，本文所提算法的优越性和有效性得以充分证明。

图4 不同形状的跟踪效果

图5 不同形状的面积误差

实验2抗噪稳健性测试。根据仿真场景设置的参数，对比不同噪声下的跟踪效果。设置不同的量测噪声协方差矩阵分别为

分析2不同噪声下的面积误差如图6所示，对不同噪声下的面积误差进行分析。对于低噪声，形状在k=600后趋于收敛，面积误差约为0.25和0.3。对于中等噪声和高噪声，误差最终收敛于0.3到0.4之间。验证了本文所提算法在不同的量测噪声条件下，依然能很好地跟踪非星凸形不规则扩展目标，算法的抗噪性能和稳健性得以验证。

图6 不同噪声下的面积误差

实验3运动目标跟踪测试。在仿真场景的参数基础上，对目标跟踪25个时刻，以运动参数为xkin=[10,10]Tm/s的速度做匀速直线运动，验证Level-Set GP模型跟踪动态扩展目标的可行性，并与传统算法的跟踪效果进行对比。

分析3 动态目标跟踪效果如图7所示，Level-Set GP模型不仅能够跟踪静态扩展目标，也能对运动中的扩展目标进行跟踪。由于动态目标在跟踪过程中的不断变化，与静态目标相比具有更大的挑战性。但根据局部轮廓放大的细节，本文所提算法相对于传统算法对动态目标的轮廓跟踪仍然更为精确。

图7 动态目标跟踪

为了对本文所提算法和传统算法的精确度进行比较，基于100次独立的Monte Carlo实验，面积误差结果如图8所示。通过分析得出，在动态目标跟踪过程中，Level-Set GP的面积误差最终收敛于0.24，Level-Set RHM收敛于0.32，而且整体运动过程中，本文算法的性能都要好于传统算法，验证了Level-Set GP模型在动态跟踪中的优越性。

图8 不同时刻动态目标的面积误差

实验4复杂的群目标跟踪测试。在仿真场景的参数基础上，对目标跟踪25个时刻，以运动参数为xkin=[20,10]Tm/s的速度做匀速直线运动，通过与传统算法的跟踪效果进行对比，验证Level-Set GP模型跟踪群目标的可行性与优越性。

分析4群目标跟踪效果如图9所示。将群目标的整体轮廓作为研究对象，一个小圆点表示一个子目标，多个小圆点组合构成了群目标，群目标由21个小圆点组成。通过放大不规则轮廓的估计细节，本文算法能更准确地逼近群目标的外围轮廓，验证了Level-Set GP模型对不规则群目标能进行有效估计。根据图10面积误差的收敛程度分析可知，Level-Set GP模型跟踪效果较传统算法好，本文算法对不规则群目标优越的跟踪性能得以充分验证。

图9 群目标跟踪

图10 群目标面积误差

6 结束语

本文的创新点是针对更难以跟踪的一类称为非星凸形不规则形状扩展目标，提出了一种新的形状跟踪模型。该算法以提高形状估计的精确度为目的，以GP作为基础，从雷达接收到的量测数据中学习输入与输出的映射关系，便于求得边界函数最大值。以面积误差作为形状估计性能的评价指标，将本文提出的算法与传统算法进行比较，通过仿真实验可以看出，Level-Set GP模型跟踪非星凸形不规则扩展目标具有很好的稳健性。与传统算法相比，提高了模型的准确性和鲁棒性。