一种循环迭代的MIMO雷达发射方向图设计方法

吴 梦刘宏伟 王 旭

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室 西安 710071)

一种循环迭代的MIMO雷达发射方向图设计方法

吴 梦*刘宏伟 王 旭

(西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室 西安 710071)

现有多输入多输出(MIMO)雷达发射方向图设计是通过优化信号相关矩阵来逼近期望方向图，可采用凸优化方法求解，但其计算量较大，不利于工程实现。针对上述问题，该文提出一种循环迭代的MIMO雷达发射方向图设计方法。该方法以加权最小二乘为准则，通过引入辅助变量，将对信号相关矩阵的优化问题转化为关于其Hermite平方根的二次优化问题，再以循环迭代的方式进行求解。对于均匀线阵，当采用均匀加权且离散化方位角在归一化空间频率域均匀采样时，可采用快速傅里叶变换(FFT)的方式进行求解，进一步提高计算效率。仿真结果表明，该方法所得发射方向图可以很好地逼近期望方向图，且具有较高的实时性。

多输入多输出雷达；发射方向图设计；循环迭代；快速傅里叶变换

1 引言

多输入多输出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷达作为一种新体制雷达，现已成为雷达技术领域的研究热点[116]-。根据天线位置的空间分布，

MIMO雷达可分为分布式MIMO雷达[1]和集中式

MIMO雷达[2]。对于分布式MIMO雷达，其天线间距较大，各个天线对目标的观测视角不同，且目标回波之间相互独立，可以有效克服目标的闪烁效应，提高雷达的检测性能。对于集中式MIMO雷达，其布阵方式与相控阵雷达相同，但各个发射天线发射不同的信号，能够获得更高的角度分辨率、更好的参数辨别能力和杂波抑制能力[7]。集中式MIMO雷达的发射信号可以是正交的[79]-或是部分相关的[1012]-，此时发射信号相关矩阵的秩大于等于1，使得集中式MIMO雷达具有更多的自由度，因此可以通过设计发射信号相关矩阵来灵活地设计满足实际需要的发射方向图[1216]-。本文主要对集中式MIMO雷达(以下简称为MIMO雷达)的发射方向图设计进行研究。

目前，较为经典的发射方向图设计方法是由文献[12]针对MIMO雷达发射方向图匹配问题提出的半正定二次规划方法(Semidefinite Quadratic Programming, SQP)，该算法根据给定的发射方向图在约束各个发射天线发射功率相同的条件下，以最小二乘为准则得到全局最优的发射信号相关矩阵。文献[15]通过修正已有发射信号相关矩阵的非对角线元素来获得低旁瓣方向图。文献[16]则提出了两种基于凸优化的MIMO雷达发射信号相关矩阵设计算法，可以有效逼近期望发射方向图，其中一种方法使得综合出的方向图在全角域范围内与期望方向图匹配，另一种方法则在保证主瓣不失真的情况下获得低于阈值的旁瓣电平。虽然这些算法的优化问题都是凸优化问题，可以直接使用凸优化工具包(如CVX[17])进行求解，但其计算复杂度高，不利于实时处理。而且在实际应用中，动目标的方位、距离和径向速度时刻在发生变化，为提高雷达资源的利用率，人们希望发射的电磁能量分配也要自适应于它们的变化。因此，发射方向图设计方法不仅要考虑其逼近期望方向图的性能，还要具有较高的计算效率。

针对发射方向图设计中计算量较大的问题，本文提出了一种循环迭代的MIMO雷达发射方向图设计方法。该方法基于加权最小二乘准则建立方向图匹配模型，首先将对发射信号相关矩阵的求解转化为对其Hermite平方根的求解，再通过引入辅助变量，将关于Hermite平方根的四次优化问题近似地转化为二次优化问题，最后以循环迭代的方式进行求解。特别地，对于均匀线阵，当采用均匀加权且离散化方位角在归一化空间频率域均匀采样时，该方法在迭代过程中还可以利用快速傅里叶变换(FFT)进一步提高运算效率。由于该算法的主要步骤由FFT完成，运算量较小，工程应用性较强。实验结果表明该算法不但能够有效逼近期望发射方向图，而且具有较高的实时性。

2 问题描述

假设MIMO雷达系统的发射阵列是由M个天线构成的均匀线阵，阵元间距为d，如图1所示。各天线发射窄带的相位编码信号，则第l个码元时刻阵列发射的信号矢量为

其中，xm(l)为第m个天线在第l个码元时刻的发射信号，L为发射信号的码元长度或子脉冲数。不失一般性，以阵列左边第1个天线为相位参考点，忽略传播衰减，则子脉冲x(l)在远场θ方位处的基带信号为

其中，λ为发射信号波长，a(θ)=[1,ej2πdsinθ/λ,…, ej2π(M-1)dsinθ/λ]T为发射导向矢量。空域信号y(θ,l)在一个脉冲内的平均功率为

图1 MIMO雷达阵列示意图

P(θ)反映了雷达发射能量在空间上的分布情况，称作发射方向图。从式(3)可以看出，对于确定的发射阵列结构，发射方向图的形状主要取决于发射信号的相关矩阵R。通过对R的优化，可以灵活地对发射方向图进行设计，以满足不同场景下的需求，提高雷达系统资源的利用率。目前MIMO雷达发射方向图设计多采用方向图匹配模型[12]，即对相关矩阵R进行优化使其方向图P(θ)在一定准则下逼近期望的发射方向图Pd(θ)，通常以加权最小二乘为准则建立优化模型，可以表示为

3 快速发射方向图设计方法

3.1 循环迭代法

为了便于计算并保证发射信号相关矩阵R的半正定性，采用的分解为

在式(6)的约束条件下对矩阵U进行优化，再由式(5)得到矩阵R，可以保证获得的R满足式(4)中的两个约束，即半正定约束和等功率约束。因此，将求解R的问题式(4)转化为求解U的优化问题：

由于式(7)中目标函数是关于变量umn的四次函数，对U进行优化比较困难，因此参考文献[9]中的处理方式，引入辅助变量∈ℂM×1(k=1,2,…,K)，将式(7)近似地转化为关于umn的二次优化模型：

该问题的解为

由式(10)得到K个sk并组合成矩阵形式，可以表示为S=[s1,s2,…,sK]T。

在矩阵ΛAT的左乘作用下，U的行向量之间相互耦合，故无法像式(9)一样进行求解。因此为获得，继续采用循环交替的方式对其进行求解。令B=ΛAT有

其解为

按照式(15)和式(17)依次计算iZ和iu，并循环重复直至式(13)中的目标函数满足终止条件。

根据以上思路，对式(8)的求解可转化为对式(9)、式(11)和式(13)的循环迭代求解，具体算法流程如表1所示。

表1 发射方向图设计算法流程

将关于发射信号相关矩阵R的优化问题转化为对其Hermite平方根矩阵U的二次优化问题，并采用循环迭代的方式进行求解，避免了凸优化工具包的使用，以及由于矩阵半正定约束引入的复杂数值计算，因此有利于该发射方向图设计方法在实际工程中的应用。

3.2 迭代FFT方法

对于阵元间距为半波间距(d=λ/2)的均匀线阵，空域合成的基带信号式(2)可以表示为

其中，f=dsinθ/λ=sinθ/2为归一化空间频率。如果对f在区间[-0.5,0.5]进行Ns点均匀采样，即

式(18)相当于对发射信号()lx进行快速傅里叶逆变换(IFFT),sN就是IFFT点数。这意味着空域合成信号和发射信号之间存在离散傅里叶逆变换关系[18,19]。

当方位角按照式(19)进行离散化时，方位角kθ处的导向矢量可以表示为

此时，导向矢量矩阵A=[a(θ-Ns/2),a(θ-Ns/2+1),…, a(θNs/2-1)]。定义IFFT矩阵：

上一小节考虑了加权最小二乘准则下的发射方向图设计，由于矩阵ΛAT的左乘作用，矩阵U的行向量umT之间存在耦合，无法有效求解。对于均匀加权的情况，即Λ=IK，其中IK为K维单位阵，当离散方位角按照式(19)进行采样时，式(13)中的目标函数可以表示为

因此对于均匀加权且离散方位角为式(19)的情况，发射方向图设计的算法流程表1中，步骤4可以按照式(23)进行更新。在发射方向图设计算法中，主要计算代价为式(10)和式(23)的计算，由于矩阵F为IFFT矩阵，导向矢量矩阵A为矩阵F的前M行，因此式(10)中的UTa(θk)及式(23)中V的计算可以采用IFFT和FFT操作，有效提高计算效率。

4 仿真实验

下面通过仿真实验验证本文方法的有效性和可行性。假设MIMO雷达系统的发射阵列为半波间距的均匀线阵，各阵元发射功率相同且均为1。表1中本文算法的终止阈值分别为ε1=10-2, ε2=10-2。将本文方法与文献[12]中的半正定二次规划方法(SQP)进行对比。同时，采用均方误差(Mean-Squared Error, MSE)来衡量本文方法对发射方向图的优化质量，其定义为

4.1 非均匀加权情况

设方位角采样间隔为1◦，阵元数16M=，分别给出在采用非均匀加权时本文所提循环迭代方法单次实验的方向图综合结果，及多次实验的均方误差随迭代次数的变化曲线。独立实验次数为100，每次实验的初始值随机给定。

首先考虑期望发射方向图为指向0◦，波束宽度为60◦的宽波束，即

图2中虚线为期望发射方向图，实线为本文方法所得方向图，其中权重wk在区间[-33◦,-29◦]∪[29◦,33◦]为0，在其他方位为1；点线为SQP方法采用非均匀加权时进行发射方向图设计的结果，权重与本文方法对应的权重相同；点划线为SQP方法采用均匀加权所得方向图，权重为1。从图2可以看出，采用非均匀加权方式可以获得比均匀加权更低的旁瓣，且本文方法的性能与SQP方法接近。从图3可以看出多次实验下所提循环迭代方法的均方误差曲线下降趋势相同，都随着迭代次数的增加逐渐减小并趋于平稳。

其次考虑期望发射方向图为分别指向-40◦, 0◦和40◦，波束宽度为20◦的多波束，即

图4中实线为本文方法所得方向图，权重在区间[-54◦,-49◦]∪[-31◦,-27◦]∪[-12◦,-9◦]和其对称区间的值为0，在其他方位为1。SQP方法采用非均匀加权时的权重选择和本文方法相同。由图4可以看出本文方法在采用非均匀加权时能够获得比SQP方法更低的旁瓣。图5为循环迭代方法的均方误差随迭代次数的变化曲线，说明随着迭代次数的增加，所设计方向图逐渐逼近期望方向图。

图2 宽波束发射方向图

图3 均方误差随迭代次数的变化曲线

图4 多波束发射方向图

4.2 均匀加权情况

当采用均匀加权，按照式(19)对方位角进行采样时，本文方法在循环迭代过程中可以进行FFT/IFFT操作，以提高计算效率。设采样点数Ns=256。为测试本文方法与SQP方法设计发射方向图的计算时间，本文以2.8 GHz主频和32 GB内存的PC机作为计算平台，采用Matlab语言编写程序，用凸优化工具包CVX[17]求解SQP方法。计算时间是由100次Monte Carlo实验平均所得。

当阵元数较少时，即16M=时对比两种方法所得发射方向图，结果示于图6。图6(a)中期望发射方向图为指向0◦波束宽度为40◦的宽波束，与SQP方法所得方向图相比，采用本文所提迭代FFT方法获得的方向图具有更低的旁瓣。图6(b)中期望发射方向图为分别指向40-◦, 0◦和40◦的多波束，其各波束主瓣由传统相控阵雷达的主波束(加30 dB切比雪夫权)构成，可以看出两种方法所设计方向图在主瓣区域与期望方向图很接近。从表2中给出的计算时间对比结果可以看出，由于采用FFT/IFFT操作，迭代FFT方法具有更高的计算效率。

为了进一步说明迭代FFT方法在阵元数较大时的有效性，图7给出了阵元数40M=时的发射方向图设计结果，期望发射方向图与图6中的相同。从图7的对比结果可以看出，采用迭代FFT方法设计的方向图依然能够获得更低的旁瓣，且由表3可以看出，在阵元数较大情况下迭代FFT方法的求解速度比SQP方法快很多。

表2 阵元数M=16时计算时间(s)对比

表3 阵元数M=40时计算时间(s)对比

5 结束语

图5 均方误差随迭代次数的变化曲线

图6 阵元数M=16时发射方向图对比

图7 阵元数M=40时发射方向图对比

本文提出了一种循环迭代的MIMO雷达发射方向图设计方法，该方法以加权最小二乘为准则建立方向图匹配模型，通过引入辅助变量，将对信号相关矩阵的优化问题转化为关于其Hermite平方根的二次优化问题，所得相关矩阵不但具有半正定性且满足各阵元发射功率相同。尤其是对于均匀线阵，当采用均匀加权且离散化方位角在归一化空间频率域均匀采样时，迭代过程可以采用FFT/IFFT操作，进一步提高计算效率。通过仿真实验可以看出，本文方法综合出的发射方向图可以有效逼近期望方向图，与已有方法相比，不但能够获得更低的旁瓣，而且计算时间大大减少。由于所提方法求解过程无需利用凸优化工具包，实时性较高，利于工程实现。

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吴 梦： 女，1985年生，博士生，研究方向为MIMO雷达、自适应信号处理.

刘宏伟： 男，1971年生，博士，教授，博士生导师，研究方向为雷达系统、雷达信号处理、雷达自动目标识别等.

王 旭： 男，1987年生，博士生，研究方向为MIMO雷达、认知雷达发射波形设计.

A Cyclic Iterative Method for MIMO Radar Transmit Beampattern Design

Wu Meng Liu Hong-wei Wang Xu
(National Laboratory of Radar Signal Processing, Xidian University, Xi’an 710071, China)

Transmit beampattern design for Multiple Input Multiple Output (MIMO) radar is obtained by synthesizing the signal covariance matrix, which can be achieved by convex optimization approaches. Due to the high computational complexity, these approaches are not easy for practical implementation. In this paper, a cyclic iterative method for MIMO radar transmit beampattern design is proposed. Based on the weighted least square criterion, signal covariance matrix can be obtained by optimizing the quadratic cost function with respect to its Hermite square root. For the uniform linear array, especially when the sampling grid in normalized spatial frequency is uniform and the weights for grid points are the same, FFT can be used to further reduce the computational complexity of the proposed algorithm. Simulation results show that the resulting beampattern matches the desired pattern closely and the proposed algorithm is efficient for the real time application.

MIMO radar; Transmit beampattern design; Cyclic iterative; FFT

TN958

A

1009-5896(2015)02-0322-06

10.11999/JEIT141043

2014-08-04收到，2014-12-01改回

国家自然科学基金(61401329, 61201285)资助课题

*通信作者：吴梦 mengwu121@163.com