一种多维信源衰减延时混合的欠定盲源分离方法

马宝泽张天骐 安泽亮 张 刚

(重庆邮电大学通信与信息工程学院 重庆 400065)

1 引言

盲源分离(Blind Source Separation,BSS)是一种仅利用观测信号就可恢复出源信号的信号处理技术[1]。然而，观测信号在采集过程中会受到传感器数量的限制，很难满足观测信号数目不少于源信号数目的要求[2,3]。同时，源信号的混叠往往伴随着信道衰减和时延现象[4–6]。传统的瞬时混合欠定盲源分离(Underdetermined BSS,UBSS)方法没有考虑时延的影响，混合矩阵仅包含衰减系数[7]。在实际情况下，每个源信号不可能同时达到所有的传感器，不同的源信号到达传感器的时间延时也有差别，时延的大小取决于传感器与信源间的相对位置以及源信号的传播速度[8]。由于信号到达每个传感器的幅度衰减和时间延迟不同，衰减延迟混合比线性瞬时混合更符合实际环境。因此，有必要对带衰减延时混合的欠定盲源分离问题进行深入的研究，即在传感器数量小于信源数的情况下不仅需要考虑源信号的幅度衰减，还要考虑源信号到达传感器所产生的时延。

在欠定混合系统中，文献[9]利用稀疏编码技术从时频点集合中发现1-D子空间，然后通过层次聚类对子空间中向量分组就可估计出混合矩阵，最后采用最小二乘方法实现源信号恢复。文献[10]利用一种新的子空间补偿匹配追踪算法实现欠定盲源分离源信号的恢复，该算法通过每次迭代选取多于一个原子的方式降低计算复杂度，同时为了提高恢复精度用L2范数最小化代替L0范数最小化。由于上述UBSS方法仅考虑了衰减系数而没有考虑时延，因此，文献[11]提出了一种基于先验信息的UBSS方法处理延时混合信号，从复值混合矩阵中提取先验信息确定单源区间，然后利用凝聚层次聚类法和子空间法分别估计混合矩阵和源信号。同时，根据延时混合模型，文献[12]提出了一种混合矩阵估计方法，在时频域中先建立一个变换矩阵构造实谱矩阵，然后根据单源区间的聚类中心推导出混合矩阵。由以上描述可知，欠定混合模型是盲源分离研究的热点，考虑时延的欠定盲源分离方法有待进一步研究。此外，信源数估计是盲信号处理的重要组成部分，尤其是非正定混合系统[13–15]。估计的源信号个数将直接影响分离结果的准确性，因此有必要在欠定混合系统分离阶段之前进行信源数估计[16]。

本文研究了一种针对多维信号衰减延时混合的UBSS方法。首先，为了利用观测信号在稀疏域中的线性聚类特性，需要计算观测信号的短时频谱能量来消除时延的影响；其次，由于散点呈现出的线性聚类只与衰减系数有关，所以可以利用势函数估计信源数。再次，根据估计出的信源数筛选能量和峰值对应的频点构造二进制时频掩码，进而得到分离信号的短时频谱。最后，在时域通过填充线消除分离信号存在的边界效应。此外，将基于子空间表示的Subspace方法[17]和基于稀疏分量分析(Sparse Component Analysis,SCA)的UBSS-SCA方法[18]作为对比算法。

2 理论背景

2.1 数学模型

那么，式(2)的矩阵形式可以表述为

利用短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform,STFT)将信号从时域转换到时频域，式(2)的时频域形式为

由于信号在传输过程中存在衰减aij和时延σij，传统的UBSS方法只能解决信号衰减问题。

2.2 问题分析

3 衰减延时混合UBSS方法

3.1 势函数估计信源数

通过计算势函数的大小来衡量散点聚类成线性

3.2 二进制时频掩码预测

3.3 消除边界效应

4 实验分析

4.1 模拟信号仿真

图1 模拟信号时域波形

图2 模拟信号散点图

图3 峰值分布情况

根据式(16)计算出每个估计信源的短时频谱，然后通过填充线消除时域分离信号的边界效应。从图4(a)虚方框可以看出未考虑填充线情况下时域分离信号首尾会存在较为明显的边界效应；通过填充线消除边界效应的时域波形如图4(b)所示，本文方法对模拟的源信号进行了有效的估计。

图4 分离信号时域

为了验证本文算法的性能，分别采用基于子空间表示的Subspace方法和基于稀疏分量分析的UBSS-SCA算法作为对比算法。在不同信噪比条件下，计算3种方法的分离性能，将SAR(Sources to Artifacts Ratio)作为衡量分离信号的评价指标[23]。

图5是3种算法在不同SNR(Signal to Noise Ratio)情况下对应的SAR对比图，可以看出本文所提算法优于其余两种算法，随着SNR的增加SAR最终都趋于平稳。

图5 3种算法分离性能对比

4.2 实测悬臂梁锤击测试中固有频率估计

采用规格为0.9×0.05×0.008 m3的均衡钢制悬梁臂作为实验平台，通过安装在悬梁上的3个位移传感器来收集由锤击激发的位移响应信号，其中观测信号的采样频率为1600 Hz，3个信道的截止频率为800 Hz[24]。

图6是3个传感器采集到的信号，从时域图中可以看出，观测信号不具有稀疏性。图7(a)为观测信号在时频域上的散点图，可以明显地看出散点聚类成闭合曲线，这种椭圆曲线说明源信号在混叠过程中存在时延。能量域散点图如图7(b)所示，在3维稀疏域中出现了4条聚类直线，为了估计信源数将3维散点图映射到2维，利用势函数峰值估计信源数。

图6 观测信号时域波形和频谱

对稀疏域中的散点进行预处理，消除不可靠数据对生成势函数的影响。不失一般性，将图7(b)中的3维散点图映射到以E1和E2组成的2维平面，计算势函数并检测峰值，如图8(a)所示。被标记出的5个峰值可以作为信源数的估计。图8(b)是能量和在不同频点上的峰值分布，利用估计信源数选取前5个能量和峰值对应的频点来构造二进制时频掩码。

图7 实测信号散点图

图8 测试实验中峰值分布情况

通过式(16)计算出估计信源的短时频谱，再利用ISTFT将估计信源由时频域变换到时域，最终每个时域分离信号分别乘以填充线来消除边界效应的影响。本文算法估计出的源信号时域和频谱如图9所示，5个模态响应信号频率由低到高依次列出，说明该算法在处理实测信号时是有效性的。

图9 估计源信号时域和频域

由文献[24]可知，5个模态的理论固有频率分别为8.9 Hz,55.78 Hz,156.20 Hz,306.09 Hz,505.84 Hz。为了直观地对比每个算法的准确度，采用式V=|Vtheo−Vesti|/Vtheo来衡量计算值与理论值间的差距，其中Vtheo表示固有频率的理论值，Vesti表示估计出的固有频率值。表1为理论固有频率和4种算法估计出的模态分量固有频率，其中小括号中的数值越小就说明计算值与理论值越接近。可以得出，虽然文献[24]处理的是5个传感器采集到的信号，但计算出的固有频率与理论值还是差距较大。实验表明本文所提方法优于Subspace和UBSSSCA方法，在处理带时延的模态信号分离过程中所计算出的固有频率与理论值最接近。

表1 固有频率估计结果(Hz)

5 结束语

由于信号采集过程中传感器数量会受到严重限制，这就会造成信源数往往大于传感器数，再加上传输信道的复杂性，信号时延也是不可避免的。所以研究带延时信息的UBSS方法很有实际意义。本文研究了一种考虑衰减延时的UBSS算法，首先，分析问题寻找稀疏域并利用势函数估计信源数；然后，根据信源数选取能量和峰值对应的频点构造时频掩码估计源信号的短时频谱；最后，利用填充线恢复时域估计源信号。实验表明该方法对模拟信号进行了有效分离，在处理实测悬臂梁锤击信号时，实现了多个模态的分离，成功地识别出了各阶模态固有频率。