考虑球面副润滑间隙的空间并联机构动力学建模与响应分析

陈修龙,樊慧凯

(山东科技大学 机械电子工程学院,山东 青岛 266590)

0 引言

并联机构具有结构稳定、刚度好、累计误差小、精度高等优点[1-2],已在工程中得到广泛应用。球面副是空间并联机构中最为典型的运动副之一,由于加工和装配带来的误差,在球面副中不可避免地存在间隙,从而导致机构在运行过程中产生振动,影响并联机构的精度和寿命[3-4]。因此,工程中常常在球面副关节处添加润滑油来抵消冲击振动等消极影响,润滑油的使用可以使关节处两接触面相互分离,减少运动副的磨损和因冲击导致的动力系统的能量损失,也使得建立的空间并联机构动力学模型更加接近实际。因此,建立考虑含球面副润滑间隙的空间并联机构动力学模型具有重要的意义。

近年来,国内外学者对含有润滑间隙的机构动力学特性开展了较深入的研究,但大都针对平面机构,涉及考虑润滑间隙空间并联机构动力学特性的研究很少。郑恩来等[5]建立了一种考虑平面多连杆机构的润滑间隙和曲轴转子—轴承相互配合柔性建模动力学模型,并分析了润滑油的存在对多连杆机构运动性能的影响。李贞靖等[6]基于二状态接触模型与流体润滑模型,建立了以曲柄滑块机构为主体的干摩擦模型与润滑模型。李园园等[7]采用Sommerfeld润滑条件,建立了轴承—轴颈的润滑力模型来分析空载四连杆机构运行过程中的性能表现。GUO等[8]建立了考虑活塞二次运动的动力学模型,通过调整间隙来评估曲柄传动系统动力学特性影响。DONG等[9]建立了具有混合润滑间隙关节的柔性肘杆机构的动力学模型,并对不同载荷和速度下的动态响应进行了实验研究,结果表明,连杆的柔性和润滑可以缓冲混合间隙的冲击。FLORES等[10]从雷诺方程中导出润滑作用力,并将该作用力作为外力添加到动力学方程中,比较和分析了空间四杆机构在干摩擦和润滑条件下的动力学响应。

因此,本文以一种含有球面副的典型2RPS-SPR(转动副—移动副—球面副—球面副—移动副—转动副)空间并联机构为研究对象,建立了含润滑间隙的空间并联机构动力学模型,同时对润滑间隙、理想情况和干摩擦间隙动力学响应进行对比分析,研究了不同参数对机构动力学响应的影响。

1 球面副间隙润滑模型建立

1.1 球面副间隙润滑的运动学模型

如图1所示为润滑间隙示意图,在球窝中心处建立直角坐标系o-xyz,同时,为便于描述该球面关节,引入球坐标系(r,θl,βl),P为球头表面任意一点,pk和pl为球窝与球头中心,n为接触面的法向向量。

图1 球面副润滑间隙示意图

考虑偏心率ξ(球头相对球窝)的公式如下：

(1)

在多体系统建模过程中对雷诺方程进行求解时,采用Gümbel边界条件。等温雷诺方程的一般形式[11]如下：

(2)

式中：Rk表示球窝半径,βl表示点P与x轴方向的夹角,θl表示点P与z轴方向的夹角,hd表示油膜层厚度,μd表示润滑油的动力粘度,p为润滑油的压力大小。

假设球面副中的润滑油充满半个球窝,则其压力边界条件如下：

(3)

含挤压油膜的球面副压力分布如图2所示,球头相对于球窝偏心的距离为e,θd表示任一点与油膜压力合力方向的夹角,油膜厚度的计算公式为：

图2 球面副润滑间隙平面示意图

hd=c(1-ξsinθd)。

(4)

1.2 球面副间隙润滑油膜承载力模型

油膜的压力梯度计算公式[12]如下：

(5)

为保证积分的连续性,需要考虑油膜厚度为0处的边界条件,对下半球区域积分得到整个压力场的分布：

(6)

对整个下半球区域积分,得到纯挤压油膜条件下的油膜承载力积分形式为

(7)

将式(6)代入式(7),可得到油膜承载力的计算公式为：

(8)

油膜承载力将作为广义力矢量引入含干摩擦间隙的并联机构动力学模型。

当球头与球窝之间运动表面无限接近时,过薄的油膜将导致油膜承载力趋近于无穷,此时将由干摩擦接触力模型来替代润滑作用力模型,而这种力的突变将导致模型后续的数值计算不具有连续性,引入过渡力模型来过渡润滑和干摩擦之间的状态,可以保证后续计算的收敛性。综合考虑,润滑间隙过渡力模型可表示如下：

(9)

式中：F干为球头与球窝的干摩擦接触碰撞力[13],由法向接触力和切向摩擦力组成;e为球头相对于球窝的偏心距离;给定的e0为偏心度公差;F润为润滑间隙的作用力,球头对球窝的作用力

(10)

则球窝对球头的作用力

(11)

2 含球面副润滑间隙的2RPS-SPR空间并联机构动力学模型建立

2.1 坐标系建立及动力学建模

2.1.1 2RPS-SPR空间并联机构特征

2RPS-SPR空间并联机构如图3所示,该机构由定平台、动平台、2条RPS驱动支链,以及1条SPR驱动支链组成,3条支链成120°分布,其中每个驱动支链中包含一个摆动杆和一个伸缩杆。通过改进的Kutzbach-Grübler公式计算可得[14],该机构有3个自由度,分别为2个方向上的转动和1个方向上的移动,在给3条驱动支链添加驱动后,能实现动平台位姿的精准控制。该机构可以作为测量机的主体部分或混联机床的主体机构来使用。

图3 2RPS-SPR空间并联机构

如图4所示为该并联机构结构简图,定平台用A表示,伸缩杆用1,2,3表示,摆动杆用4,5,6表示,动平台用B表示。其中转动副R1、球面副S1和转动副R2连接定平台与4,5,6号摆动杆,球面副S2、转动副R3和球面副S3连接1,2,3号伸缩杆与动平台,通过移动副Pi(i=1,2,3)连接摆动杆与伸缩杆。将润滑间隙设定在球面副S1与S2处,其余运动副按理想副处理。

图4 2RPS-SPR空间并联机构简图0

2.1.2 坐标系建立

定平台的质量为mA,在定平台的质心处建立全局坐标系OA-XAYAZA,在以OA为圆心,rA为半径的圆上,布置有转动副R1、球面副S1和转动副R2且各运动副之间呈2π/3均布。

动平台的质量为mB,在动平台质心处建立局部坐标系OB-XBYBZB,在以OB为圆心,rB为半径的圆上,布置有运动副S2、R3和S3排列方式与定平台相对应。

摆动杆的质量用mj(j=4,5,6)表示,长度用lj(j=4,5,6)表示,将杆长的中心点近似地看作质心,建立局部坐标系oj-xjyjzj(j=4,5,6),伸缩杆的质量用mi(i=1,2,3)表示,长度用li(i=1,2,3)表示,同理,建立局部坐标系oi-xiyizi(i=1,2,3)。

局部坐标系姿态转换为欧拉角转换,旋转顺序为X-Z-Y。

2.1.3 动力学模型的建立

建立2RPS-SPR空间并联机构中7个活动构件的广义坐标如下：

(12)

ΦSi(i=1,2,3),ΦRi(i=1,2,3)和ΦPi(i=1,2,3)分别表示球面副、转动副和移动副的约束方程,得到含润滑间隙2RPS-SPR空间并联机构对应的约束方程为：

Φ(q)*=(ΦS3ΦR1ΦR2ΦR3ΦP1ΦP2ΦP3)T=033×1。

(13)

λ为拉格朗日乘子,微分代数形式的动力学方程如下：

(14)

(15)

式中αb和βb为修正系数。

2.2 求解过程

将求解参数输入MATLAB软件,通过四阶Runge-Kutta算法计算,利用Ode45求解器得到结果,如图5所示,其具体流程如下：

图5 含润滑间隙动力学求解流程图

(1)定义空间并联机构的初始参数。

(2)求解动力学方程。判断间隙处元素间位置关系,当ec+e0时,间隙处广义力为干摩擦接触力。然后根据接触力的求解获得此时所有构件的动力参数,并进入下一步判断。

(3)判断仿真是否结束。判断是否为最终时刻,若判定为否,则对时间赋值为T=T+ΔT,再次循环,若判定为是,则保存上述计算结果并输出,求解过程结束。

2.3 空间并联机构参数设定

2RPS-SPR空间并联机构各构件参数详情如表1所示,利用MATLAB软件进行动力学建模时,其各项参数详情如表2所示。

表1 2RPS-SPR并联机构参数

表2 2RPS-SPR空间并联机构动力学建模求解参数

3 含多个球面副润滑间隙的空间并联机构动力学响应分析及验证

3.1 考虑润滑间隙对机构动力学响应的影响

2RPS-SPR空间并联机构的动平台3个自由度分别为沿X轴方向上的移动,以及绕X轴,γ轴方向的转动,通过运动学反解方法,设定动平台采用如下运动轨迹(单位：rad/m)：

x=0.1sin(πt)+0.5;α=0;

γ=0.1sin(πt)。

(16)

利用MATLAB软件进行数值求解并分别得到机构的干摩擦动力学响应图像和润滑动力学响应图像,就干摩擦间隙模型与润滑间隙模型对2RPS-SPR空间并联机构动态响应情况进行了分析,同时与理想情况(关节处不添加间隙)进行了对比分析,得到润滑间隙对机构动态响应的影响。干摩擦间隙模型与润滑间隙模型均考虑S1处和S2处球面副间隙的存在,间隙值均设置为0.2 mm,驱动轨迹如式(16),润滑油的动力粘度取为400 cP。另外加入ADAMS虚拟样机干摩擦间隙仿真曲线(间隙值大小,间隙数量和位置同理论值一致)进行对比分析,来验证模型结果的正确性。

由如图6所示的干摩擦间隙动力学响应理论曲线可知,与理想情况相比,动平台的速度和加速度在初始时刻都有明显波动,且γ方向上的曲线波动程度无论是速度还是加速度都较为剧烈,说明干摩擦间隙的存在对机构动平台的影响较大,且通过与ADAMS虚拟样机的结果对比验证了这一结论。

图6 动平台动力学响应

由图6润滑间隙动力学响应理论曲线可知,由于润滑油膜的润滑作用,在X方向上,速度的初始波动范围很小,且波动于0.05 s趋于平稳;加速度的初始波动范围为(-2.116 m/s2,3.781 m/s2),对应波动时间区间为(0 s,0.05 s),且波动于0.05 s趋于平稳;在γ方向上,角速度的初始波动范围为(0.275 7 rad/s,0.628 1 rad/s),对应时间区间为(0 s,0.05 s),且波动于0.05 s趋于平稳;角加速度的初始波动范围为(-95.17 rad/s2,132.9 rad/s2),对应时间区间为(0 s,0.05 s),且波动于0.05 s趋于平稳。由图像对比数据可知,球面副润滑间隙模型的引入,改善了区间波动的峰值大小,减少了达到稳态所需要的时间,并且达到稳态时与理想情况基本一致,说明了该润滑模型对含球面副间隙2RPS-SPR空间并联机构的运行具有良好的改善作用。

如图7所示为球面副S1和S2在干摩擦和润滑条件下的球头中心轨迹对比图,由图可知润滑模型作用下的中心轨迹较为平稳,运动范围小,有效改善了干摩擦间隙的运动状况。如图8所示为润滑间隙模型和干摩擦间隙模型下S1和S2球面副间的接触力对比曲线,S1接触力峰值由215.3 N降低为41.21 N,S2接触力峰值由121.1 N降低为12.49 N,且初始波动时间缩短了0.15 s,表明球面副润滑对改善间隙内碰撞,增加运行的平稳性等方面具有一定作用。

a S1球中心轨迹图

a S1接触力对比图

3.2 不同动力粘度对机构动力学响应的影响

分析了不同润滑油的动力粘度所对应的含润滑间隙2RPS-SPR空间并联机构的响应情况。润滑动力粘度分别采用80 cP,150 cP和400 cP,其中1号和2号球面副处被设置了润滑间隙,其间隙值大小均为0.2 mm,并与理想情况(关节处不添加间隙)进行对比分析,得到动平台的动力学响应图像如图9所示。

a X方向位移图 b X方向速度图 c X方向加速度图

如图9所示曲线图可知,不同润滑油的动力粘度对动平台的位移影响较小,而在速度方面,动平台γ方向角速度在初始时刻出现明显波动,在时间t=0.008 s时角速度波动最大,此时刻按照动力粘度从低到高顺序分别对应的角速度值为1.014 rad/s,0.896 rad/s,0.812 rad/s,呈减小趋势。在X方向上加速度波动峰值按照动力粘度的增大,依次为-36.87 m/s2,-9.503 m/s2,-6.128 m/s2,在γ

角方向上加速度波动峰值按照动力粘度的增大,依次为-1 363 rad/s2,-376.3 rad/s2,-264.2 rad/s2,均呈减小趋势。同时如图10所示球面副S1与S2的接触力变化曲线可知,随着动力粘度值的增大,S1接触力对应的最大峰值分别为285.8 N,94.06 N,72.23 N,S2接触力对应的最大峰值分别为85.13 N,49.7 N和29.76 N,均呈减小趋势。说明随着润滑油动力粘度增大,机构间隙关节处的碰撞减弱,并联机构动力学特性得到一定改善。

图10 接触力对比图

3.3 不同间隙值对机构动力学响应的影响

分析了不同间隙值下含润滑间隙2RPS-SPR空间并联机构的响应变化情况。本节的间隙值大小分别被设置为0.2 mm,0.3 mm和0.4 mm,其中1号和2号球面副处间隙值大小一致,润滑油的动力粘度均为400 cP,得到动平台的动力学响应图像如图11所示。

d γ方向位移图 e γ方向角速度图 f γ方向角加速度图图11 动平台动力学响应对比图

由图11可得,不同间隙值情况下,位移图像上动平台位移的波动较小,而在速度方面,动平台γ方向速度在初始时刻出现明显波动,其速度波动峰值分别为0.72 rad/s,0.56 rad/s,0.42 rad/s,对比可得,随着间隙值的增大,初始时刻波动幅度也逐渐增大,且达到平稳的时间也随之延长。在加速度曲线上,X方向加速度峰值随着间隙值增大分别为-2.116 m/s2,-10.36 m/s2,-22.16 m/s2,γ角方向上加速度波动峰值按照间隙值的增大,依次为-95.17 rad/s2,-436.5 rad/s2,-888.6 rad/s2,均呈增大趋势。同时如图12中球面副S1与S2的接触力变化曲线可知,随着间隙值的增大,S1接触力对应的最大峰值分别为29.5 N,34.57 N,41.91 N,S2接触力对应的最大峰值分别为8.98 N,13.9 N和28.47 N,呈增大趋势。说明间隙值增大,运动副内的碰撞加剧,机构的动力响应特性变差。

a S1接触力对比图 b S2接触力对比图图12 接触力对比图

4.结束语

本文对考虑球面副润滑间隙的空间并联机构动力学建模与响应分析进行研究,建立了含球面副润滑间隙2RPS-SPR空间并联机构的动力学模型,分别分析了不考虑间隙的理想情况、含干摩擦间隙和含润滑间隙的动力学特性,以及不同动力粘度和不同间隙值大小对机构动力响应的影响。研究表明,润滑对含球面副间隙空间并联机构的动力响应具有一定的改善作用,且随着润滑油动力粘度增大和球面副间隙值的减小,机构动力学响应特性更好。未来将开展空间并联机构中运动副间隙优化设计,并过对含间隙机构进行参数优化设计,进一步提高并联机构的动力学性能和稳定性。