工艺数据驱动的加工演变特征快速建模方法

时间：2024-07-28

杜晨晓,刘金锋,2,李纯金,2+,周宏根,2,刘晓军,董磊,康超,2

(1.江苏科技大学机械工程学院,江苏镇江 212028;2.江苏科技大学江苏省船海机械装备先进制造重点实验室,江苏镇江 212028;3.东南大学机械工程学院,江苏南京 211100;4.金航数码科技有限责任公司,北京 100020)

0 引言

近年来,随着智能制造理念在产品设计与制造等环节的不断深入推进,计算机辅助工艺设计技术(Computer Aided Process Planning,CAPP)得到了广泛的应用与研究。传统的基于二维工程图的工艺设计方法已经难以与上游的全三维数字化设计和下游的先进制造工艺及装备相适应[1]。为此,基于模型定义(Model Based Definition,MBD)技术应运而生[2-4]。加工特征作为表达工艺信息的载体,可以帮助工艺人员直观地了解产品生产加工的动态演变过程,清晰地揭示工艺设计意图,是指导产品加工制造过程的唯一依据[5]。因此,如何快速创建产品在加工过程中的动态演变特征模型,是现代制造企业保证产品加工质量,提升工艺规划效率的关键。

机械零件制造通常以减材方式实现,由毛坯加工至零件产品的过程中始终伴随着加工特征的动态演变。因此,目前三维工艺模型的构建主要以三维工序模型和去除特征为研究对象[6-8],刘金锋等[9]将加工特征分为凹陷、凸起和过渡3类,基于特征识别技术与半空间思想,以交互获取特征面组的方式提出了快速创建工序模型的方法;徐同明等[10]基于特征切削体参数化构造方法与型腔特征深度优先模型构建技术,提出了工序模型的自动生成方法;唐健钧等[11]基于MBD技术将三维工序间模型应用于数控加工并创建了数控加工工艺模型;SUBIRON等[12]提出了基于特征的检验工艺规划框架,运用于产品与检验系统中交互组件的建模,促进了产品设计与制造过程的集成开发与协作。除了上述基于特征的三维工艺模型构建方法,基于工艺知识与工艺语义[13-15]的建模方法也得到广泛应用。如LI等[16]构建了多层次多因素的工艺知识图,通过基于规则的推理方法保证工艺知识图的统一性,并基于工艺知识图提出异构CAM模型的结构化建模方法,提高了数控加工工艺规划效率;石云飞等[17]将零件设计信息引入三维建模,提出基于工艺语义的工序模型快速创建方法,实现了毛坯到设计零件加工过程的可视化。

在探究加工过程工艺模型的变迁机制,揭示加工特征的演变规律方面,高晓兵等[18]提出虚拟加工基准概念,利用模型表面基准属性识别工序模型中加工表面的演变序列,并基于特征表面NURBS参数表达式变化识别加工特征的几何演变过程;胡淑慧等[19]基于向量构建工序几何演变模型,通过体素的几何变化构建工序模型之间的几何演变属性邻接图。毛贝等[20]归纳了工艺模型基本属性,以参数化的方式规范定义工艺设计过程中不同环节的关联数据,提出几何元素引用等方法辅助工艺模型的表达与组织。

综上所述,目前的建模方法仅表达加工前过加工后的形态。然而,在机械产品设计制造过程中,随着订单插入及工艺改进等情况发生,难以避免零件工艺需求更改的问题。当工艺需要精确到某个时间节点进行更改时,上述建模方法将无法满足工艺设计更新快速响应的需求。此外,在加工特征演变信息的获取与表达方面,多局限于工序特征,所表达的几何信息相对固化且粒度大,难以满足工艺设计动态决策对几何数据的频繁调用与反馈。因此,有必要将模型创建的思路由静态转向动态,基于时间维度获取相关工艺数据对演变特征进行建模,以提高工艺设计准确性。

1 基本概念与方法概述

1.1 基本概念

在过去的加工特征演变研究中,主要解决了如何表达零件在加工完成前或完成后所产生的几何变化问题。以加工轴类零件为例,如图1a所示(银白色部分为工序模型,淡蓝色部分为去除体模型)。但在时间维度上,工序完成时作为一个时刻,可以认为其是加工过程中某个离散的静态节点,无法动态地描述整个加工特征的演变过程。因此,本文将毛坯与工序模型这类基于静态时间节点构建的模型归类为静态模型,将基于时间维度构建,能够反映任意时刻加工特征几何演变情况的模型归类为动态模型。

图1 零件加工过程特征演变

定义1加工特征演变模型(Machining Feature Evolution Model,MFEM)。用于描述加工特征在时间维度上动态演变的几何特征模型。具体来说,工序以某个特征为加工对象,在这道工序的加工过程中,加工特征随着刀具切削不断被去除材料,其几何形态始终在变化。为具体描述这个加工过程,基于加工时间构建了加工特征的几何演变模型MFEM。

定义2零件演变模型(Evolution Model,EM)。用于描述零件在加工过程中动态演变的几何模型。EM基于工序模型构建,在几何意义上,EM是上一道工序模型与本道工序的MFEM之和。

定义3去除体模型(Removal Model,RM)。用于描述切削去除材料部分的动态演变几何模型。与MFEM不同,MFEM在一道工序中是减材的过程,而RM随加工时间去除的材料不断增多,从无到有,是增材的过程。

基于上述3个定义,可以总结出以下3个几何关系表达式：

(1)

(2)

(3)

为阐述本研究内容的必要性,以加工零件上一孔特征为例进行说明。如图2所示,在原定的工艺设计中需要加工一个半径为3 mm的孔,但由于订单插入,对零件的制造需求发生改变,实际加工的孔半径减小为2.8 mm,比设计时多预留0.2 mm余量。因此,需要对下一道工序模型进行修改,即在原有3 mm半径的孔特征上构建一个增量为0.2 mm的薄壁。面对上述工艺设计与实际加工不一致的情况,必须对原有的静态工序模型进行动态调整,以实现工艺的快速重构与NC代码的实时更新。因此,本文以加工时间、切削参数等工艺数据为驱动,提出能够对工艺更改进行动态响应的加工特征快速建模方法。

图2 研究内容必要性样例

1.2 方法概述

工艺数据驱动的加工特征演变模型快速创建系统框架如图3所示,该框架包括加工特征演变信息模型构建、工艺数据的组织与管理、加工截面参数化构建和数据驱动的特征演变模型快速创建4个部分。

图3 加工特征演变模型快速创建的系统框架

构建加工特征几何演变模型的前提是获取与加工特征相关的演变信息,主要基于特征识别技术、数控程序与工艺树三方面进行提取。特征识别可以从零件的三维模型中提取加工特征的拓扑结构、几何参数和属性等信息[21],通过属性邻接图与特征面组拓扑关系矩阵可以表达加工特征面边的演变关系,是实现加工特征信息模型构建的关键技术之一。此外,STEP-NC的出现使得CNC系统能够与其他系统间进行信息集成与共享[22],通过数控程序可以获取刀具运动轨迹、刀具的轴线方向与坐标,反馈刀具与加工特征之间的相对加工位置信息。三维工艺设计软件中的工艺树则体现了整个零件的加工工艺方案,主要获取加工操作、机床、刀具和切削参数等工艺信息,最后通过XML文件输出。工艺数据的组织与管理主要内容包括去除体与加工截面映射机制、加工截面与驱动数据的关联关系及工艺数据分类。

基于上述框架前两部分对工艺数据的获取与组织管理,将不同加工工艺的加工截面类型分类为矩形、圆形和圆环,构建刀具的等效转化模型,以切削参数及关联特征几何公差驱动加工截面参数化构建。然后依据去除体与加工截面之间的一一映射关系,以加工时间与切削速度为驱动元素对去除体参数化建模,实现对特征演变几何模型的快速创建。

2 演变信息模型构建与数据组织管理

2.1 加工特征演变信息模型构建

一般构建的三维工序模型表达的是零件在某道工序加工完成时的静态形态,忽略加工特征在工序中连续、动态的演变过程。为弥补上述不足,基于时间维度构建加工特征演变信息模型,以加工时间关联并驱动动态的几何信息与工艺信息,为几何特征模型的快速创建提供支撑。加工特征演变信息模型(Dynamic Evolution Information Model,DEIM)如图4所示,表示如下：

图4 加工特征演变信息模型

DEIM=(Geo,Pro)。

(4)

其中：Geo(geometry)表示加工特征演变过程的几何信息,Pro(process)表示加工特征演变过程的工艺信息。

(1)几何信息表示如下：

Geo=(SM,DM)。

(5)

几何信息的描述对象为三维工艺模型,根据第1章的定义划分为静态模型(Static Model,SM)与动态模型(Dynamic Model,DM)。静态模型的几何信息包括特征的拓扑结构(Topological Structure,TS),如共面、垂直、平行、同轴、相切等约束关系,通过构建特征面组拓扑关系矩阵表示;以及特征的尺寸与公差(Dimension and Tolerance,DAT),如长度、半径、直径、角度等尺寸参数,公差信息则可以确保工艺设计时建模的精度。动态模型的几何信息以加工时间(Processing Time,PT)为主要驱动元素而实时变化,包括刀具与加工特征的相对加工位置(Relative Machining Position,RMP),与工艺信息中的刀具轴线坐标、进给方向和加工表面关联;以及去除材料体积(Removal Material Volume,RMV),基于时间维度由切削参数驱动,SM与DM表示如下：

SM=(TS,DAT);

(6)

DM=(PT,RMP,RMV)。

(7)

(2)工艺信息表示如下：

Pro=(MT,CT,TA,FD,Sur,Met,CP)。

(8)

其中：MT(machine tool)表示加工机床;CT(cutting tool)表示加工刀具;TA(tool axis)表示刀具轴线相对于加工表面的运动轨迹;FD(feed direction)表示刀具进给方向;Sur(surface)表示加工表面;Met(method)表示加工方法,如车铣刨磨钻拉等,对其进一步分类,如铣削可以细化到周铣或端铣,车削可以细化到横向进给或纵向进给等;CP(cutting parameters)表示切削参数,

CP=(Vel,Wid,Dep)。

(9)

其中：Vel(velocity)表示切削速度,Wid(width)表示切削宽度,Dep(depth)表示切削深度。

2.2 工艺数据的组织与管理

一般来说,加工特征可以被定义为一组具有几何拓扑关系的表面集合。因此,加工特征面f与去除体RM之间存在映射关系,根据特征的复杂程度可以将映射关系分类为一对一、多对一及多对多三类。如图5a所示,表示特征面与去除体之间一对一的映射关系,即与去除体RM1所关联的特征面f1有且仅有一个;如图5b所示表示特征面与去除体之间多对一的映射关系,即与去除体RM1所关联的特征面有f1、f2、f3、f4和f5;如图5c所示表示特征面与去除体之间多对多的映射关系,即与去除体RM1所关联的特征面为f1和f2,与去除体RM2所关联的特征面为f3和f4。

图5 加工特征面与去除体映射关系

上述的映射关系适用于加工前或加工后的静态模型。然而,对于动态演变特征而言,其几何形态每时每刻都在发生变化,故加工特征面的空间位置与几何参数也会实时发生改变,通过上述的映射关系难以快速且简便地建模。例如图5c中,随着钻孔加工进行,RM1对应的特征面f1圆周面的高度不断增高,特征面f2的空间位置不断沿着刀具轴线向下下沉。因此,演变特征模型构建的关键是创建与去除体存在一一映射关系的加工截面,将对应的切削参数与之动态关联。

加工截面的构建方法将在第3章中详细阐述,对于加工截面类型、加工工艺与工艺数据组织管理之间的关系如图6所示。本文考虑了在这些工艺下形成的加工截面类型,将其分为矩形面,圆面和圆环面。然后进一步将截面几何参数分为矩形长l1,矩形宽l2,内圆半径r及外圆半径R,与不同工艺下的切削参数关联。例如铣削与刨削的加工截面为矩形,驱动截面参数l1与l2的工艺数据分别为切削深度与切削宽度;车削径向进给的加工截面同样为矩形,但由轴向进给量与径向进给量驱动截面参数;车削轴向进给的加工截面为圆或圆环,驱动截面参数r与R的工艺数据分别为切削形成的工件内圆半径与外圆半径;钻孔时加工截面为圆形,由钻刀半径驱动;扩孔时加工截面为圆环,由钻孔半径与扩孔刀具半径驱动圆环截面的内外圆半径r与R。

图6 工艺数据的组织与管理

3 工艺数据驱动的加工演变特征快速建模方法

3.1 加工特征面组拓扑关系演变表达

零件在加工过程中始终伴随着特征的演变,为表述加工特征在拓扑关系上的变化,需要分析特征各面组之间存在的约束关系并构建相应的拓扑关系矩阵。特征面之间的约束关系按几何学中分类为共面、垂直、平行、同轴、相切及不垂直6类,并进一步根据两特征面相交或相离的关系进行赋值,其中由于不存在两特征面相交且平行的情况,故平行时只赋一种值,具体如表1所示。

表1 特征面拓扑关系赋值表

通过特征识别技术可以获取构成加工特征的所有面组,从中筛选出与工艺活动相关的特征面进行标记,两特征面之间的约束关系具体由平面的法向量、圆柱面的轴线与半径确定。如,若两平面法向量垂直,则其约束关系为垂直;若平面法向量与圆柱面轴线重合或平行,则其约束关系为垂直;若平面法向量与圆柱面轴线垂直且间距为圆柱面半径,则其约束关系为相切;若两圆柱面轴线重合,则其约束关系为同轴等。

通常零件在一道工序或工步前后,加工特征面会新增或消失,也可能会在原有特征面基础上变更。以加工平面为例,如图7a所示,其中新增面为f6,消失面为f1,其余特征面f2,f3,f4及f5发生变更,以f2′,f3′,f4′与f5′表示。图例中各面组间存在垂直与平行两种约束关系,然后判断相交或相离并按照表1进行赋值,输出加工前后相应的特征面拓扑关系演变矩阵。由此可以便于表达加工特征的属性信息与几何信息,也进一步确定了加工截面的空间位置。一般而言,加工截面一般与消失面或变更面相关联,例如图7b铣刀沿着特征面f2法线向量加工槽,则加工截面与变更面f2′存在共面关系;如图7c沿着特征面f1法线向量向下钻孔,则加工截面与变更面f2′共面,对于这类一而贯之单次走刀形成的特征,具体而言,其加工截面在几何意义上即为变更面f1′与f1之差;图7d同理。

图7 加工特征面组拓扑关系矩阵

3.2 加工截面参数化构建

加工特征在加工过程中的动态演变可以看作由刀具类型及切削参数驱动形成的加工截面,以与刀具相同的切削速度,在时间维度上改变相对于加工特征位置进行偏移的过程,由截面偏移所经过的部分即为去除体模型,且所构建的加工截面与去除体存在一对一的映射关系。截面的类型基于不同的加工工艺分类为矩形面、圆环面和圆面。

为保证工艺设计准确性,截面的几何尺寸参数由切削基本尺寸及公差两部分构成,以切深、切宽、进给量等加工参数为驱动元素,按照工艺数据的组织与管理方法将模型公差信息同步至关联的截面各边,取上下偏差中值与切削基本尺寸参数之和作为加工截面参数。如图6中,根据“矩形面—端铣—切削深度—l2--矩形截面宽”之间的关联关系,则同步关联的公差值为切削深度方向上即加工特征高度尺寸的公差,若其上偏差为ES,下偏差为EI,切削深度的基本尺寸为l2′,则

(10)

(1)铣削

铣削存在端铣和周铣两种加工方式,端铣由铣刀端面上的切削刃对加工表面进行切削,而周铣以铣刀圆柱面上的切削刃对加工表面进行切削。在铣削过程中,将铣刀等效转化为圆柱体刀具模型,通过信息模型提取铣削刀具参数及特征相关各边公差信息,将与铣刀旋转半径相关联的圆柱半径等效转化,如图8所示。

图8 铣削加工过程加工截面构建

1)端铣

端铣过程中为圆形的端面与加工表面接触,其加工截面的构建过程按以下步骤：首先在接触面上过刀具轴线取一条垂直于进给方向上唯一的直径,作为矩形截面的一边l1;然后于l1两端点处沿刀具底端向刀具顶端的方向延伸,作垂直于加工表面,且长度等同于切削深度的边l2;最后连接两边顶端两点,构成封闭的矩形截面。

2)周铣

周铣的加工过程可以视为圆柱的外圆面对加工表面进行切削。外圆面与加工表面接触的几何是平行于刀具轴线的圆柱体上一条高。其刀具面的构建过程按以下步骤：首先取外圆表面与加工表面上唯一接触的一条高,作为矩形截面的一边l1;然后于l1两端点处分别沿两侧端面圆心的方向延伸,作垂直于加工表面,且长度等同于切削深度的边l2;最后连接两边顶点,构成封闭的矩形截面。

加工截面的构建如图8所示,ti,tj,tk(i

(2)车削

车削主要通过车刀的径向和轴向进给对回转类工件进行加工。因此,该部分以径向进给量、轴向进给量和工件回转半径驱动加工截面参数化构建,分析车削过程中不同时刻刀具进给情况,构建动态径向进给矩形截面、静态轴向进给圆环和圆形截面。

1)径向进给

以径向进给车端面为例,加工截面的构建与不同加工时刻下截面的几何演变如图9a所示,车刀刀头虽然是多角度且不规则的几何,但刀头一端始终保持与工件端面平行,完成一次对工件端面的切削可以认为是刀尖从接触工件外圆面至轴线的径向推进过程。因此,虽然刀头不规则,但去除体是规整的圆柱或圆环柱体,可以将径向进给的截面等价视为由刀尖处向径向和轴向两侧延伸构建而成的规整矩形面。

图9 车削加工过程加工截面构建

其加工截面构建过程步骤如下：首先将车刀刀尖沿轴向延伸至端面并命名此线段为l1,l1长度等同于车刀走刀一次去除的轴向余量;然后于l1两端点处沿进给反方向延伸,作垂直于工件旋转轴线,且长度等同于此时径向进给量的边l2;最后连接两边顶端两点,构成封闭的矩形截面。该截面特殊之处在于边l2由径向进给速度和切削时间两参数驱动而实时变化。

2)轴向进给

区别于径向进给的动态截面,轴向进给是由已确定的径向进给量沿轴线切削加工,径向进给量等同于刀尖至工件外圆的距离,因此是静态截面。实际车削加工中,工件尺寸和精度要求等因素影响着切削余量选择。例如加工大尺寸工件,分多次走刀,此时形成圆环截面,以轴线在工件端面的投影为圆心,轴线至刀尖距离作为加工截面内圆半径r,工件外圆半径作为加工截面半径R;加工小尺寸工件可一次走刀去除端面余量时,形成圆形截面,工件外圆半径作为加工截面半径R,如图9b所示。

(3)刨削

刨削是刨刀对工件作水平直线往复运动的切削加工。其加工截面构建过程按以下步骤：首先取刨刀与加工表面接触的几何,即一条长度与刨刀刀宽相等的线段命为l1;然后于l1两端点处沿刀具底端指向刀具顶端的方向延伸,作垂直于加工表面,且长度等同于切削深度的边l2;最后连接两边顶端两点,构成封闭的矩形截面,如图10a所示。

图10 刨削和钻扩孔加工截面构建与演变过程

(4)钻孔

钻孔加工只存在单一的由加工表面外至加工表面内的进给方向,加工截面为钻刀刀头与加工表面重叠部分。与铣刀类似,将钻刀等效转化为圆柱体刀具模型,圆柱体半径为钻刀切削刃旋转半径,钻孔加工的截面即为圆柱体半径为r的圆形面,钻孔加工演变过程如图10b所示。

(5)扩孔

扩孔是对工件的原有孔径扩大,是在钻孔基础上进一步加工。扩孔时,刀具切削刃旋转半径R较钻孔时半径r增大。因此,扩孔加工的截面可以基于钻孔截面构建,在钻孔圆形面上再作半径为R的同心圆。则扩孔截面是以半径为R的外圆及半径为r的内圆构成的圆环面,扩孔加工演变过程如图10c所示。

3.3 去除体参数化建模

本文主要针对平面、槽和孔类加工特征演变研究,对这三类加工特征适用的工艺划分。基于已构建的加工截面,在不同工艺下的建模方式、生成去除体类型及参数化建模所包含参数的信息如表2所示。

表2 去除体参数化建模

(1)加工平面和槽

1)铣削和刨削

大部分平面和槽类特征可通过铣削和刨削完成,如图11a所示,在一段加工时间内,加工截面与铣刀位置保持同步,随刀具由初始的P1处沿着切削方向加工至P2处,沿途加工的路径长度由切削时间t与切削速度v驱动。去除体中垂直于切削方向的平面即为加工截面,两边l1与l2分别表示切削宽度与切削深度,去除体的长度即为截面平移的路径长度vt。随时间t去除材料的体积RMVt表达为：

图11 去除体参数化建模

RMVt=l1·l2·v·t。

(11)

2)车削(径向进给)

在大部分回转类零件中也包含平面特征与槽特征,通过车削径向和轴向进给完成车外圆端面、车槽。

在径向进给加工过程中,工件旋转,车刀向工件旋转轴线处进给。由于工件旋转是高速,远远高于车刀进给速度,即车刀每进给一段距离,都在瞬间对工件完成了切削。因此,其去除体随时间的变化,可以视为工件静止不动,加工截面向轴线处保持水平平移拉伸的过程。同时,基于此时的截面位置,平面绕轴线作一周旋转运动,工件上经过此刻截面覆盖的部分即为去除体,如图11b所示。在这个过程中,去除体端面由圆环面逐渐形成最后的圆面,且圆环面内圆半径随进给深度逐渐减小。径向进给截面是由一次走刀在轴向去除的余量l1,以及随时间动态变化的径向进给量l2为参数驱动的矩形。设车刀径向进给速度为vr,则在任意时刻t时车刀在径向的进给量l2可以表示为vrt。当径向进给车削一个外圆半径为R的工件时,去除体首先形成内圆半径逐渐减小的圆环柱体,RMVt表达为：

RMVt=π·[R2-(R-vr·t)2]·l1。

(12)

当车刀进给至轴线时,即t=R/vr,工件端面加工完毕,去除体为底面半径与工件半径相等,高度为l1的圆柱体,RMVt表达为：

RMVt=π·R2·l1。

(13)

3)车削(轴向进给)

轴向进给时根据径向进给量存在圆环截面或圆形截面两种。当车刀没有径向进给至轴线时截面为圆环面,进给至轴线时为圆面。与径向进给不同的是,径向进给去除的柱体圆环面内环半径随时间动态变化,柱体高度为定值。轴向进给去除的柱体高度随时间动态变化,而圆环面内环为定值。如图11c所示,去除面沿着轴线拉伸,形成柱体。设车刀轴向进给速度为va,则在任意时间切削形成的柱体高度为vat。当刀具在径向方向进给至轴线距离r处,工件半径为R,则轴向进给时RMVt表达为：

RMVt=π·(R2-r2)·va·t。

(14)

当进给至轴线处时,加工截面为圆面,去除体为圆柱体,RMVt表达为：

RMVt=π·R2·va·t。

(15)

(2)加工孔

1)钻孔

钻孔时,加工截面是以半径等同于钻刀切削刃旋转半径r,圆心在刀具轴线上的圆面。如图11d所示,设钻刀沿轴线向工件内部钻削的速度为v,截面沿轴线拉伸,得到去除体是柱体高度为vt,半径为r的圆柱体,RMVt表达为：

RMVt=π·r2·v·t。

(16)

2)扩孔

扩孔时,加工截面是以扩孔刀具切削刃旋转半径R作为外圆半径,以钻孔半径r为内圆半径构成的圆环面。如图11e所示,与钻孔同理沿轴线拉伸,去除体是柱体高度为vt,外圆半径为R,内圆半径为r的圆环柱体,RMVt表达为：

RMVt=π·(R2-r2)·v·t。

(17)

4 应用验证

基于本团队开发的三维零件工艺设计系统MPD-Processer,运用本文提出的基于工艺数据驱动的加工特征快速建模方法,开发相应的加工演变特征创建模块,实现加工特征在任意加工时刻几何形状的表达。如图12a和图12b所示,以工艺设计人员A在工艺设计模块中对导入零件模型的槽特征进行铣削加工为例,可以在左侧输入相关加工操作的工艺信息,包含工序名称、工序内容、工序类型、切削液、设备类型等工艺信息以及切削深度与切削宽度参数,然后上传工艺信息并以XML格式输出。在后续需要进行工艺更改时,工艺设计人员B首先提取XML文件中的切深与切宽以确定加工截面参数,然后根据调整的生产需求重新选择刀具转速与切削速度。在确定上述参数后输入或调整加工时间t,即实现了在一道工序中任意时刻的去除体模型快速创建。在参数化建模模块中按加工方法分为铣削/刨削、车削与钻扩孔,按照本文提出的建模方法形成立方体、圆柱体和圆环柱体,分别如图12c～图12e所示。

图12 应用验证