考虑合同双方利益最优的复杂设备分阶段维护外包策略

张馨予,刘勤明,叶春明,李佳翔

(上海理工大学 管理学院,上海 200093)

0 引言

针对大型复杂设备的维护与保养,一般包括3种途径,即设备原始生产商维修、设备使用商内部人员维修以及将维修任务承包给独立的第三方机构。近几年将复杂设备维修承包给第三方维护机构逐渐成为一种趋势,这种方式是指设备使用商与专业的运维公司签订合同,让其负责设备对应的维护工作。该方式的优势[1]是成本相对低,维护管理比较专业,有利于复杂设备的运行。通过制定合适的维护策略,并采取一定的激励机制,可以让第三方维护发挥最大的作用。

目前,很多学者从不同的角度对第三方维护外包进行了研究。HASSANAIN等[2]采用了定性研究的方法,提出多准则决策模型以供决策者参考决策是否要进行维护外包。JACKSON等[3]应用合作博弈的方法确定了维护外包时的最佳合同价格和最佳大修、更换策略。许飞雪等[4-5]分别针对单部件和多部件维护外包,采用灰狼算法求出了使供应商利润最大的最优视情维护策略。综合来看,第三方维护外包相关文献的研究大多采用定性分析,定量分析多聚焦于管理博弈方法。采用智能优化算法来确定最优维护外包策略的文献较少,其中确定维护策略时采取的维护方法有等周期预防维护和视情维护等,并未有维护外包方案采用多阶段预防性维护。

分阶段预防性维护是指按照一定的规则将维护周期分成几个阶段,每个阶段的维护时间间隔相同,但是不同阶段对应的维修间隔逐渐缩短的一种预防性维护策略。它是将等周期预防性维护和顺序预防性维护相结合后提出的一种新的预防性维护方式[6]。该种方式既考虑到了故障率在设备使用后期极速递增的情况,也比顺序预防性维护更具有实用性。大部分采用分阶段维护策略的学者都是求解单个目标最优,例如曲玉祥等[7]以设备生命周期内的成本率最低为目标,寻找最优的分阶段预防维护策略,并与等周期预防性维护策略进行比较,以验证分阶段预防性维护策略的优越性。何勇等[8]针对动车组部件,创新性地提出了同时以维护时间和维护成本最低为目标的分阶段维护策略。综合来看,分阶段预防性维护的相关文献多以单个目标最优进行维护建模,仅有少量文献讨论了多目标最优且并未有相关文献将其用于维护外包策略的优化中。

设备使用商对于维护服务的感知可以用满意度来进行衡量。国内外学者对于服务满意度的研究包括定性和定量分析,例如王耀军等[9]通过建立满意度评价指标体系并对其进行模糊综合评价来评估汽车维修企业的服务质量。定量描述维护服务满意度的模型大多用故障次数来衡量,例如SALMASNIA等[10]在2017年提出了同时使制造商维护成本最低和设备使用商满意度最高的多目标维护策略,其满意度函数由产品在使用寿命内的故障次数进行表示,是从0～1的分段函数。JACK等[11]同时考虑了保修期内的故障次数和保修期外的故障次数对满意度的影响,将二者的满意度表达式相乘得到最终的维护服务质量满意度模型。部分学者将生产计划和维护计划相结合,描述设备的维护满意度。例如刘勤明等[12]针对租赁设备采用平均合格品率来表示承租方满意度;汤乐成等[13]针对批量生产型企业将订单签订前的客户排队时间,订单完成中的产品质量,以及订单结束后的交付进行加权来描述维护满意度。

第三方维护服务商与传统的企业人员维护不同,设备使用商会对其故障响应时间有一定要求,这一点也是其核心竞争力之一,对于响应时间满意度的衡量多应用于物流选址和物流配送等问题中,例如马云峰等[14]详细描述了时间满意度函数的类型及在物流选址中的应用方法。胡觉亮等[15]结合服装行业的特点,建立了基于时间满意度的配送模型,以求得配送成本最小,时间满意度最高的配送策略。因此,本文引入了响应时间满意度,这里指在故障发生时,设备使用商对第三方维护服务外包商上门响应时间长短的满意度。

综上所述,本文以分阶段等周期预防性维护为主要的维护策略,同时考虑了维护服务提供商利润和设备使用商满意度两个目标,以使两方利益最大化。其中,满意度模型除了考虑故障次数外,还结合了第三方维护外包服务的特点,创新性地引入物流选址问题中常用的时间满意度函数。在本文的模型构建过程中,引入平均故障响应时间作为决策变量,响应时间满意度函数作为总设备使用商满意度函数的一部分,将其与故障次数满意度函数相乘得到最终的设备使用商满意度模型。最终通过算例分析确定出最优的维护阶段数,并给出维护服务的委托代理双方多个Pareto最优维护方案以供选择。

1 问题描述

本文的研究背景涉及到维护合同制定的双方,即大型复杂设备使用商和维护外包服务的承接商,研究的主体是需要维护外包的大型复杂设备的某个关键系统。维护的基本策略为分阶段等周期预防性维护和小修,即维护的委托—代理双方通过确定每个阶段的最优预防性维护次数ni(i=1,…,s)、最优预防性维修间隔Δi(i=1,…,s)以及发生故障时维护服务商的平均响应时间y,来制定同时使维护服务提供商利润最大、设备使用商满意度最高的维护策略。

2 符号说明及假设

2.1 符号说明

表1 符号说明

2.2 模型假设

(1)维护外包合同签订周期内,设备使用商为维护服务承包商的客户,设备系统产生的所有故障由服务承包商纠正,设备使用商不承担任何费用;

(2)维护外包服务提供商进行维护初期,设备系统为新,即其实际役龄为0;

(3)设备系统的预防性维护费用远低于其换新的费用;

(4)设备系统发生故障时所进行的小修,不会影响其故障率的变动趋势,因此不会对有效役龄产生影响;

(5)对设备系统进行预防性维护和小修时,设备处于停机状态。

3 模型构建

3.1 故障次数模型

在设备的运行周期中,老化是不可避免的过程,本文采用工业设备最常用的Weibull分布来描述设备故障率分布。

(1)

对设备进行预防性维护虽然有利于减少故障的发生,但在现实生活中,大多数设备不可能实现修复如新。因此,本文采用动态役龄递减因子η(i)来描述每次预防性维修后有效役龄的变化情况,即第i次预防性维护后实际役龄的回退量,其表达式如下：

(2)

设备经过每次预防性维护后,故障率会回退到有效役龄对应的故障率值。有效役龄的演化规则如下：

Δ1为第一阶段的单次预防性维护间隔,第一阶段的第一次预防性维护前后的有效役龄表达式依次为：

(3)

(4)

通过类推,可以求得第k个阶段的第i次预防性维护前后的有效役龄表达式依次为：

(5)

(6)

因此,在第k个阶段的第i次预防性维护到第i+1次预防性维护周期内,t时刻的有效役龄可以表示为：

(7)

结合役龄回退的演化规则,可以推导出第k个阶段的第i+1次预防性维护周期的故障率为：

(8)

对设备故障率进行积分求和得出合同总周期内的总故障次数表达式为：

(9)

3.2 可用度模型

设备可用度是指在一定周期内设备的有效运行时间与总周期对应时间的比值。设备的有效运行时间Tu是指s个阶段的预防性维护周期之和减每个维护周期中发生故障导致的总停机时间,停机时间包括维护服务商的故障响应时间、预防性维修时间以及小修需要的时间;总周期时间即外包合同签订的总时间,由每个预防性维护周期的维护间隔与预防性维护时间的加总构成。

在维护外包服务中,可用度是衡量服务提供商服务质量的重要指标,通过对设备可用度分段,可以制定出合适的合同收益策略,其计算公式为：

(10)

3.3 分阶段预防性维护模型

等周期预防性维护的预防性维护间隔是保持不变的,这种维护策略不能有效应对设备后期可能出现的故障率急速递增问题。顺序预防性维护考虑到了故障率的变化情况,采取随着使用时间增加而缩短维护间隔的维护策略,虽然这种模式相较于等周期预防性维护策略而言会有较好的维护效果,但是对于第三方维护外包商而言维护间隔每次都会变动,会增加维护难度与维护成本,不易实现。考虑到第三方维护的特点,既需要考虑设备实际情况提高维护质量,又需要在制定维护策略时使其具有较高的实用性,让维护服务供应更便捷,因此本文在二者基础上采用改进后的分阶段预防性维护策略,将维护外包的周期分为s个阶段,每个阶段的维护间隔固定,以减小维护难度。

整个合同周期内的分阶段预防性维护计划如图1所示。将整个合同周期分为s个阶段,每个阶段的预防性维护次数为nk,预防性维修间隔为Δk,k=1,2,...,s。每个阶段对应的预防性维护间隔满足Δ1≥…≥Δk≥…≥Δs。当服务商完成第k个阶段的维护,进入第k+1个阶段的维护时,预防性维护间隔则由Δk变为Δk+1。

图1 合同周期内的分阶段预防性维护计划

3.4 服务承包商利润模型

本文假定合同周期内产生的所有维护费用均由维护服务承包商承担,因此服务商的总维护成本TC由分阶段预防性维修总成本、故障小修总成本以及响应的延迟惩罚成本3部分组成。即：

(11)

(1)故障小修总成本

当设备在运行过程中发生故障,则需要服务商进行小修。每次小修均会产生一定的维修成本Ccm,在第j个阶段的第i个预防性维护周期中的总故障次数为Fij,则在总合同周期中,服务商需要承担的总故障小修成本表达式如下：

(12)

(2)维护服务商响应延迟的惩罚成本

维护服务提供商作为第三方服务承包机构,若想拥有一定的竞争优势,则必须考虑故障发生时前往设备使用商处进行维修的平均响应时间,一般的维护策略中并未将响应时间考虑其中,因此本文创新性地引入平均故障响应时间y,并根据实际情况设定了客户能够接受的最大平均响应时间t0。

维护服务承包商承诺设备一旦发生故障,将会在y时间内选派维修队伍上门维修,若平均响应时间y超过t0,则认定为上门延误,服务承包商将向客户支付延误赔偿。因此,故障响应延迟的惩罚成本可以表示为：

(13)

(3)维护服务商的收益

当客户将维护服务外包给服务商时,会根据设备的可用度制定服务商的收益。本文采用分段式维护收益函数来描述服务商的收益。客户和维护服务商在签订外包合同前,先设定不可接受的可用度Amin和可接受的最低可用度A1,若设备维护商提供维修后,设备的可用度低于Amin,则客户仅支付其R0的费用,其中R0为合同周期内维护总费用的50%;当维护服务商维修后,设备的可用度在不可接受可用度Amin和可接受可用度A1之间,则客户支付基础合同费用R1;当设备的可用度高于可接受可用度A1时,客户会在基础合同费用的基础上给予奖励。因此,最终的分段式合同收益函数为：

(14)

(4)维护服务商的利润

维护服务提供商的预期利润为总收益与总成本的差值,通过对可用度分段,得出不同的利润函数,具体表达式为：

(15)

3.5 设备使用商满意度模型

假定设备使用商满意度取决于在维护服务合同期限内的故障次数和维护服务商的故障响应速度。在维护服务合同期限内,设备的故障次数越少,客户的满意度越高;当设备故障时,服务商上门维护的响应时间越短,设备使用商满意度越高。

(1)故障次数满意度

维护服务满意度通常由故障次数来进行定量描述,SALMASNIA等[10]提出用故障次数大小来衡量设备使用商满意度。在维护周期中,总故障次数越大,客户的满意度越低;总故障次数越小,客户的满意度越高。则故障次数满意度的表达式为：

(16)

其中：Fmax表示设备使用商可接受的故障次数最大值,与其从另一服务提供商购买服务的可能性有关;Fmin表示设备使用商理想的故障最小值;Fmax和Fmin都是根据客户的主观判断和组织的标准来指定;γ为决定客户故障满意函数形状的参数。

(2)响应时间满意度

时间满意度函数通常用在物流选址研究中。例如马云峰等[16]在其物流选址研究中详细阐述了时间满意度函数。服务提供商对故障的响应快慢一向是其核心竞争力之一,若设备发生故障时,服务提供商能够快速响应,则设备使用商对其服务的满意度也会增加。但是快速响应需要一定的时间成本和机会成本。因此,寻找既能够让客户满意又可以减少维护服务商额外的机会、时间成本的合适的响应时间十分有必要。因此,本文创新性地将时间满意度函数引入设备维护外包领域,构建了响应时间满意度函数,表达式如下：

(17)

其中：ymax为客户可接受的响应时间最大值,ymin为客户理想的响应时间最小值,ymax和ymin均根据设备使用商的意愿来进行设定;ζ为决定客户响应满意函数形状的参数。

(3)最终满意度函数模型

故障次数满意度函数和响应时间满意度函数都是从0～1变动的函数,则最终的满意度函数表达式如下：

S(nk,Δk,y)=S1(Fij)×S2(y)。

(18)

3.6 多目标决策模型

在单目标维护决策中往往将维护成本最低或维护成本率最低作为决策目标,如刘勤明等[17]针对单设备生产系统以生产计划与设备维修计划的集成计划总费用最小为优化目标进行研究;少部分研究维保、租赁、性能合同的文献会将利润最高作为决策目标,如许飞雪等[5]针对多部件维护外包以供应商利润最大为目标进行维护模型构建。而在第三方承包维护服务,需要同时考虑委托—代理双方的意愿来决定最终的维护策略时,则应该将维护服务商利润最高和设备使用商满意度最高同时作为决策目标。综合以上两个目标,可得最终的目标函数表达式为：

(19)

其中nj,Δj,y为决策变量,满足如下约束条件：

L≥Δ1≥…≥Δk≥…≥Δs≥0;

(20)

4 模型求解

本文中,求解多目标最优所用的算法为NSGAII算法。该算法广泛应用于多目标优化问题的求解过程,它是一种保留精英策略的快速非支配排序智能优化算法,具有较好的全局搜索能力和快速收敛能力。

本文的维护外包模型中每个阶段的维护次数nk为整数变量、维护间隔Δk以及平均故障响应时间y为连续变量,因此其属于混合变量带约束的多目标寻优问题。针对上述特点,本文采用实值编码的形式来进行求解,与仅有连续变量的常规求解步骤不同,本文针对不同类型的变量分别采用不同的交叉变异规则进行处理,连续变量采用算数交叉算子进行交叉、随机变异算子进行变异。离散变量的交叉方式是从连续父代个体中以等概率选择变量值[18],以生成新的个体;变异规则是按照一定的变异率让变量在可行范围内重新随机生成,获得新个体。交叉变异结束后,通过精英选择快速非支配排序,获得最终的Pareto最优解集合。具体的算法计算流程如图2所示。

图2 NSGAII算法流程图

步骤1设定基本参数,生成初始种群。先在变量范围内随机生成整数变量nk,再随机生成符合条件的连续变量Δk和y,得到每一个初始化的实值编码个体并合成初始父代种群。

步骤2对父代种群进行交叉变异,得到子代种群。并对生成的子代种群进行约束条件判断,若有不符合约束的个体出现,则以初始化的规则重新生成,直至符合约束。

步骤3合并父代、子代种群,得到新的合并群体,并求解每个个体对应的适应度函数值。因为维护服务商利润和设备使用商满意度最优均为最大化目标,所以对其做取负处理,转换成最小化目标求解。

步骤4对合并群体进行快速非支配排序和拥挤度距离计算。计算得出每个个体的被支配解个数和支配解集合,通过对适应度函数进行分层排序获得不同等级的最优解序号,以及其对应的拥挤度距离集合。

步骤5通过精英选择策略对合并群体进行筛选,获得新的父代种群。

步骤6重复步骤2～步骤5,直至迭代完成,提取出等级为0的Pareto最优解集合,即为所需的最终结果。

5 算例分析

5.1 数据准备

以某数控机床的关键系统为研究对象,依据其实际历史运维数据确定相关参数,对第4章的维护外包决策模型进行验证。其故障率分布、成本相关参数设定如表2所示。

表2 参数设置

参考大型数控机床的维护状况,规定合同的承包总期限为1 825天。在合同期限内, 该系统最小维修平均持续时间Tm=3天,预防性维护时间Tp=1天;合同收益函数的相关参数为R1=50 000;客户不可接受的最低可用度Amin=0.86,可接受的最低可用度A1=0.96,收益递增系数λ=800。

参考文献[10]和文献[12]并结合实际经验,确定满意度函数中的相关参数。故障次数满意度函数中,Fmin=0,Fmax=30,故障率函数的形状参数γ=0.5;在响应满意度函数中,ymin=0,ymax=3,响应满意度函数的形状参数ζ=0.5。

5.2 结果分析

参考其他分阶段预防性维护研究中所得出的最优维护阶段数[6,8,19],结合生产设备维护外包的实际情况,同时考虑最优方案得出的时间成本与实用性,本文着重探讨两阶段和三阶段的情况。

5.2.1 两阶段预防性维护最优结果

首先,讨论阶段数S=2的情况。在用NSGAII算法求解的过程中,种群大小NP设置为100,最大迭代次数max_gen设置为150,应用Python 3.7对模型进行求解。通过迭代,得到的两阶段预防性维护最优解分布示意如图3所示,最优维护方案及其对应的目标函数值汇总如表3所示。

图3 两阶段维护对应的Pareto最优解分布示意图

表3 两阶段预防性维护最优结果汇总表

对所得的两阶段预防性维护最优方案进行分析比较。方案3与方案2相比,在利润仅增加0.03%的情况下,满意度下降了49.8%;方案5与方案6相比,在利润仅增加0.006%的情况下,满意度下降0.33%,二者相差较小,因此若合同双方在选定两阶段预防性维护策略时,对比求解方案,可以选择去掉方案3和方案6。维护服务使用商和提供商可仅比较选择其余最优方案。

5.2.2 三阶段预防性维护最优结果

其次,讨论阶段数S=3的情况。与两阶段维护求解相同,采用NSGAII算法求解,种群大小NP设置为100,最大迭代次数max_gen设置为150。通过迭代得到的三阶段预防性维护最优解分布如图4所示,最优维护方案及其对应的目标函数值汇总如表4所示。

图4 三阶段维护对应的Pareto最优解分布示意图

表4 三阶段预防性维护最优结果汇总表

对所得的三阶段预防性维护最优方案进行分析比较。方案4与方案5相比,在利润仅增加0.885%的情况下,满意度下降了20.24%;因此,若合同双方在选定三阶段预防性维护策略时,对比求解方案,可以选择去掉方案5。维护服务使用商和提供商可仅比较选择其余最优方案。

5.3 结果比较

5.3.1 分阶段维护和等周期维护结果比较

与分阶段预防性维护的求解方法相同,等周期预防性维护同样采用NSGAII算法求解,种群大小NP设置为100,最大迭代次数max_gen设置为150。通过迭代得到的等周期预防性维护最优解分布如图5所示,最优维护方案及其对应的目标函数值汇总如表5所示。与方案3相比,方案4在利润仅增加3.24%的情况下,满意度下降了84.03%;方案5在利润仅增加5.99%的情况下,满意度下降了85.88%。方案4和方案5明显劣于分阶段预防性维护的最优解,因此对两种类型的预防性维护策略进行比较时,可去掉方案4和方案5。

图5 等周期预防性维护对应的Pareto最优解分布示意图

表5 等周期预防性维护最优结果汇总表

将筛选出的分阶段预防性维护策略和等周期预防性维护策略结果进行分析比较,绘制出的折线图如图6所示。两阶段维护所得的最优方案与三阶段相比,满意度相差较小,但利润明显高于三阶段维护最优方案。等周期维护所得最优方案与三阶段相比,利润明显更高,但满意度相差过大;与两阶段维护最优方案中利润比较接近的方案2、方案4和方案5相比,两阶段维护中的方案2和方案5明显优于单阶段维护的方案1和方案3,方案4与单阶段维护中的方案2相差不大。且单阶段维护所得最优方案与分阶段维护相比满意度普遍较低。

图6 分阶段维护与等周期维护最优方案比较图

综合来看,两阶段维护所得最优方案质量更佳,且决策时间适中。因此,维护服务承包商和设备使用商可以根据企业的实际情况制定出让二者都满意的两阶段预防性维护策略。

5.3.2 单目标与多目标最优比较

以两阶段预防性维护策略为例,用粒子群算法分别求解利润最大和满意度最高对应的最优维护方案。其中,最大迭代次数Iter_num设置为100,种群大小Size设置为100,应用Python 3.7对模型进行求解,同时算出另一目标对应的值,所得最优方案如表6所示。

表6 单目标最优结果

将仅考虑单目标和使两个目标同时达到最优的状况下求得的结果进行比较可得,仅使服务承包商利润最大所求出的最大目标函数值与多目标最优解对应的最大服务承包商利润值接近,但是对应的设备使用商满意度值却远低于多目标的平均满意度;仅使设备使用商满意度最高所求出的最大目标函数值与多目标最优解对应的最高满意度值接近,但是对应的服务商利润却远低于多目标中的最低利润。

综合来看,采用多目标求解可以同时兼顾到双方的利益,且相较于单目标而言可以提供更多最优方案供合同双方选择,因此本文的多目标联合优化模型考虑更加全面,且更符合实际情况。

6 结束语

本文针对大型复杂设备的维护服务外包活动,提出了同时满足服务提供商利润最大和设备使用商满意度最高的多目标决策模型。在制定能使双方利益最大化的维护方案时,选择分阶段预防性维护和小修作为主要的维护策略,寻找每个阶段的最优维护次数、最优维护间隔以及最优平均故障响应时间。对具体的数值案例进行分析,得出最优的维护阶段数以及每个阶段的多个Pareto最优方案供维护合同双方选择,最后,通过对比分阶段维护最优方案与等周期维护最优方案、单目标和多目标最优方案,验证了所提模型的优越性与实用性。

当企业决定进行第三方维护外包时,则可以采用相同的方法辅助决策。通过NSGAII算法可以获得多个可供选择的最优方案,合同双方可以根据企业实际情况来选择最终的维护方案。当然,本文仅研究了单设备或者单系统的情况下,如何制定以分阶段预防性维护为主的维护策略,后续也可以考虑多设备或多系统情况下应该如何分配维护行动能够使两者利益最大化。