用于金属切削的粒子有限元方法、ALE方法和SPH方法比较以及求解器开发

信吉平 肖世宏 周 鹏

（1.中国航空制造技术研究院，北京 100024；2.数字化制造技术航空科技重点实验室，北京 100024；3.复杂构件数控加工工艺及装备北京市重点实验室，北京 100024）

金属切削是一个复杂的物理过程[1-3]。工件在刀具的挤压作用下，切削层材料由于塑性变形而发生滑移。这个过程从始滑移线开始到终滑移线结束。材料在经过第一变形区后，沿着前刀面流出形成第二变形区，从而产生切屑，这是一个大变形或者自由边界问题。在切削第一变形区和第二变形区时，塑性变形和摩擦都会产生热量。热量会引起温度场的变化，温度场会引起弹塑性本构关系的变化，这是一个热传导方程和弹塑性方程的耦合问题。在金属切削数值计算中，既要考虑热弹塑性问题，也要考虑自由边界问题，且两个问题还需要进行耦合。这里主要针对自由边界问题进行研究。切屑的形状分为带状、节状、粒状和崩碎。金属切削包括车、铣、刨、磨、钻和镗等种类，因此切屑的自由边界非常复杂，且是计算的关键点和难点。

处理金属切削自由边界问题需要特殊的方法，主要包括任意拉格郎日-欧拉方法（Arbitrary Lagrangian-Eulerian，ALE）、耦合的欧拉-拉格郎日方法（Coupling of Euler-Lagrange，CEL）和光滑粒子流体动力学方法（Smoothed particle Hydrodynamics，SPH）。 在 通 用 商业软件Abaqus、LS-Dyna、MSC Marc和专业切削软件AdvantEdge、Deform中，分别采用了这几种方法。CEL方法的特点在于拉格郎日区域和欧拉区域的耦合。由于CEL方法中欧拉方法的属性，它在精确跟踪自由边界上存在一定的难度，因此本文不作考虑。现深入比较粒子有限元方法、ALE方法和SPH方法的原理和特点，并选择PFEM开发金属切削粒子有限元求解器。PFEM在处理自由边界问题上表现出了良好的效果，特点在于利用了边界重构算法和网格剖分算法的优点，同时兼具有网格方法和无网格方法的优点[1-3]。目前，商业软件和开源软件中都尚未实现该方法。

1 ALE、SPH、PFEM方法原理及比较

1.1 ALE方法原理

有关拉格郎日-欧拉方法的研究可以追溯到20世纪60年代[4-6]。它兼具纯欧拉方法和纯拉格郎日方法的优点，同时规避了它们的缺点。在欧拉方法中，网格点不随着材料点移动，不需要对网格进行特殊处理，但无法跟踪自由边界。在拉格郎日方法中，网格点随着材料点移动，可以很好地跟踪自由边界，但网格会随着材料的大变形发生紊乱而影响计算。在ALE方法中，网格点既可以按照纯拉格郎日方法移动，又可以按照纯欧拉方法移动，还可以根据区域网格重分进行移动。因此，ALE方法介于拉格郎日方法和欧拉方法之间。网格点可以移动但不需要完全跟随材料点移动，既可以跟踪自由边界，也可以利用区域网格重分保持网格质量。区域网格重分方法包括网格规则化和网格自适应。

ALE方法在区域网格重分前后需要保持质量、动量和能量守恒。ALE方法中有3个网格，分别为欧拉网格（x）、材料网格（X）和ALE网格（χ）。材料网格和ALE网格都是由欧拉网格移动得到的，但是ALE网格不完全随着材料网格移动。3个网格之间存在对应关系，在计算过程中迭代更新。方程组（1）是欧拉网格到材料网格的方程组，方程组（2）是欧拉网格到ALE网格的方程组，分别包括质量守恒、动量守恒和能量守恒方程。方程组（1）和方程组（2）定义在欧拉网格构成的几何区域上。vX是材料网格区域点移动速度，vχ是ALE网格区域点移动速度，材料点和ALE点相对移动速度为vX-vχ，相对速度可以用于守恒计算中的边扫略，ρ为密度，σ为应力张量，b为体力向量，E为能量。

方程组（1）和方程组（2）是微分形式，下面考虑积分形式。首先考虑方程组（1）和方程组（2）中的质量守恒方程，在欧拉网格单元K上进行积分，再对时间积分，得到方程组（3）：

方程组（3）中的两个子式相减，得到：

随着tn+1的变化，密度ρ会发生变化，网格单元点会发生位移。根据位移，从K产生材料网格和ALE网格中的新网格单元。式（4）左边是在K上的积分，但是积分得到是K对应的材料网格和ALE网格中的新网格单元上的质量。式（4）右边是新网格单元之间的边扫掠，因此式（4）是材料网格和ALE网格之间的质量守恒。和质量守恒类似，还可以同理推导动量和能量守恒公式。

1.2 SPH方法原理

SPH方法[7-9]避免了网格处理，将材料近似成点集，促使材料点和周围点进行相互作用。质量、动量、能量守恒方程中的物理量可以通过delta函数表示：

该函数可以用核函数近似，积分可以用数值积分近似，于是得到：

类似可以推导散度公式，然后带入质量、动量和能量守恒方程。从式（5）和式（6）的近似可以看出，SPH方法的实现明显比任意拉格朗日-欧拉方法要简单，不需要网格剖分、有限元离散和数值积分。SPH方法需要邻近点搜索算法，而邻近点个数会影响计算精度。SPH不具备有网格算法的边界网格定义，因此需要边界力和影子粒子等方法来定义边界条件。

1.3 PFEM方法原理

PFEM方法[10-13]兼具边界重构算法和网格剖分算法的优点。PFEM是一种拉格朗日方法。PFEM方法中，网格点随着材料点移动，具有无网格方法的优点。它不像ALE方法基于旧网格的调整获取新网格，而是根据新网格点云进行边界重构，再利用边界重构得到边界网格作为约束，剖分带约束的区域网格，从而避免了ALE在旧网格和新网格之间寻找平衡的难点，又具备了有网格方法的优点，避免了SPH方法邻近点和边界条件的缺陷。PFEM方法采用了Alpha Shape边界重构算法，通过调整alpha值可以提高边界重构的精度，如图1所示。图1中第1个图alpha值为0.001，结果是所有点。第2个图alpha值为0.1，结果可以识别出L形状的直角。第3个图alpha值为1，结果是点云的凸包。

1.4 3种方法的比较

用于金属切削的数值计算方法种类很多，包括ALE、SPH、PFEM和CEL。各种方法互有优缺点，需根据具体的应用需求选择合适的计算方法。从原理来说，ALE方法是最理想最复杂的方法，同时具备欧拉方法和拉格朗日方法的优点。它基于网格规则化和自适应获取新网格，可以避免网格重新剖分，有助于减少计算机的运算量。但是，ALE方法需在紊乱网格和规则网格之间寻找平衡，还需要保持质量、动量和能量守恒，导致算法相对复杂，是我国目前没有工业级仿真软件的原因之一。SPH方法在邻近点和边界条件上都存在原理性缺陷，存在计算效率、精度和复杂边界处理上的问题。但是，随着计算机算力的增强，它在很多问题上体现出了越来越强的优势。计算机算力增强对PFEM方法也是机遇。PFEM方法同时兼具有网格方法和无网格方法的优点，且算力增强可以弥补PFEM方法作为无网格方法存在的缺陷。

图1 Alpha Shape

2 金属切削粒子有限元求解器开发（PFEM）和算例介绍

通过比较PFEM、ALE和SPC，选取PFEM开发金属切削粒子有限元求解器。求解器可以求解二维和三维问题，图2为三维垂直切削算例。图2（a）是切削变形第n时间步网格，第n+1时间步网格点位移；图2（b）为发生位移后的点云，根据点云进行边界重构，如图2（c）中边界网格；图2（c）中边界网格作为约束进行体网格剖分，截面如图2（d）所示。PFEM表现出了很好的自由边界处理效果。

图2 金属切削粒子有限元求解器的垂直切削算例

点云密度越高，均匀度越高，边界重构效果越好。为了提高边界重构的效果，需对边界网格进行加密。在边界网格剖分区域网格时，对体网格相对放粗，如图3所示的截面，边界网格密度明显比体网格密度要大，在保证精度的前提下，可以提高计算效率。

图3 PFEM边界网格和体网格密度比较

3 结语

本文基于PFEM方法开发了金属切削粒子有限元求解器，测试了二维和三维垂直切削算例。三维垂直切削虽然简单，但是既具备一定的工程背景，又可以充分调试切削算法，还可以直接用于解决复杂的问题。在求解器开发和算例测试中，PFEM方法表现出了良好的自由边界重构效果，可以直接使用有限元方法的边界条件和接触算法。目前，计算机算力很强，PFEM方法计算速度也很快，还可以利用自适应算法和并行计算进一步提高计算效率，因此在后续工作中会针对非均匀网格边界重构、网格自适应、并行计算和三维复杂切削进行研究。