单相串励电动机换向过程的数值计算

彭亦稰， 陈小元， 沈伟华

(丽水学院 工学院， 浙江 丽水 323000)



单相串励电动机换向过程的数值计算

彭亦稰， 陈小元， 沈伟华

(丽水学院 工学院， 浙江 丽水 323000)

针对换向状况恶劣的单相串励电动机，按照其实际换向结构，推导出换向片与碳刷的接触电导表达式；建立分时间段的元件换向电流的变系数微分方程组和各时间段交接处的边界值关系；就各种改善换向方法，依建立的数学模型进行换向过程数值计算，获得相应的元件换向电流波形和换向片与碳刷的接触电阻功耗曲线；通过对比分析数值计算结果，指出对改善单相串励电动机换向较为有效的措施。

单相串励电动机；换向；数值计算；接触电阻功耗

0 引 言

单相串励电动机是在单相交流电源下运行的串励换向器电动机，主要应用于电动工具、缝纫机、搅拌粉碎机、吸尘器等设备和家用电器。单相串励电动机的换向元件中存在变压器电动势，其换向状况特殊且比直流电动机恶劣，需要寻求有效的改善换向措施。

关于换向器电机的换向及其改善措施，参考文献[1-3]假设碳刷与换向片的接触电导与接触面积成正比，以电磁理论为依据，分析了换向过程和火花成因，阐述了换向火花评定标准；参考文献[4-9]针对具体的换向器电动机种类，从设计和制造两方面阐述了改善换向的方法；但因分析换向过程所建立的数学模型过于简化，分析结果只能用于换向状况的定性说明，不能用于换向状况的定量计算和比较甄别。参考文献[10-11]针对他励直流电机的换向过程建立数学模型，进行了数值计算，但其结果仍不适用于在交流电源下运行的单相串励电动机。

本文按单相串励电动机实际换向结构建立数学模型，对采取各种改善换向方法的换向过程进行数值计算，旨在获得无法实验测取的元件换向电流和换向片与碳刷的接触电阻功耗，用于甄选对改善单相串励电动机换向较为有效的措施。

1 换向过程的数学模型

1.1 换向过程与接触电导表达式

图1所示为典型的有12槽24片换向片的单相串励电动机的电枢绕组，该绕组是两极的实槽跨距为1～6槽的短距单叠绕组。一个元件的换向过程从碳刷接触其下层边所接换向片开始，到碳刷离开其上层边所接换向片结束。

图2为该单相串励电动机换向过程的示意图。换向片2与碳刷的接触过程是同槽元件1、2经历换向的过程。可见，一片换向片与碳刷的接触时间，也是同槽元件经历换向的时间，它涵盖了电动机换向的全过程，用T表示。

图2中，bk为换向器的换向片距，bt为换向片宽度，bf为云母下刻槽宽度，bs为碳刷宽度，n为电枢转速，i0～i3为换向元件0～3的电流，ia为电枢绕组的支路电流，is1、is2和is3分别为碳刷流入换向片1、2和3的电流。

图1 典型单相串励电动机的电枢绕组Fig.1 Typical armature winding of single-phase series-excited motor

图2 单相串励电动机换向过程示意Fig.2 Schematic diagramfor commutation processes of single-phase series-excited motor

换向器移动bk所需时间Tbk为

(1)

式中：转速n的单位为r/min，K为换向片数，Tbk的单位为ms。换向器移动bt、bf、bs所需的时间Tbt、Tbf、Tbs和同槽元件经历换向的时间T分别为

(2)

图3所示为同槽元件1、2换向过程中，换向片0、1、2、3和4与碳刷接触的时序，阴影部分表示相应的换向片与碳刷接触。图中标出的G0、G1、G2、G3和G4分别表示换向片0、1、2、3和4与碳刷的接触电导。

图3 元件1、2换向时换向片与碳刷接触的时序Fig.3 Time Sequence between carbon brush and commutating segment when winding element 1 and 2 are commutating

在0～T期间的t1、t2、t3和t4时刻分别为

(3)

设整片换向片与碳刷接触时接触电导为gm；在换向片即将接触或刚脱离碳刷瞬间，因换向元件中的电动势将换向片与碳刷间的微小气隙击穿，认为此刻的接触电导为g0(不为零)，但g0<

(4)

式中电导的单位为S。换向片0、1、3和4与碳刷的接触电导为

(5)

1.2 换向元件的电流计算方程

图3中，在0～t1、t2～t3和t4～T期间，碳刷与三片换向片接触，有两个元件同时换向；在t1～t2和t3～t4期间，碳刷与两片换向片接触，只有一个元件换向。在0～t1和t4～T期间，同时换向的元件不同槽，相互之间没有槽漏互感；在t2～t3期间，同槽元件1、2同时换向，相互之间存在槽漏互感。

在0～t1期间，换向回路方程为

(6)

在t1～t2期间，换向回路方程为

(7)

在t2～t3期间，换向回路方程为

(8)

在t3～t4期间，换向回路方程为

(9)

在t4～T期间，换向回路方程为

(10)

换向回路方程中，碳刷流入换向片的电流为

(11)

换向回路方程中，L为换向元件的槽漏电感，M为同槽换向元件之间的槽漏互感，r为元件电阻。ec为单相串励电动机的换向元件切割换向区域气隙磁场产生的切割电动势

ec=-kcia。

(12)

其中kc为切割电动势计算系数，在某一转速下kc为常数。et为换向元件铰链脉振主磁通感应产生的变压器电动势

(13)

式中Mt为串励的励磁绕组对换向元件的互感系数。

1.3 各时间段换向电流的边界值

由图2和图3知，在0、t2和t4时刻，碳刷刚接触换向片2、3和4，接触电导有跃变，但由于刚接通的换向回路中存在电感，电流i1、i2和i3不会发生跃变，其边界值为

(14)

在t3时刻，由于元件1、2同槽，碳刷脱离换向片1引起的电流i1跃变会通过槽漏互感耦合到元件2，导致电流i2发生跃变，边界值关系为

(15)

由图2和图3知，若ia不变，t=0时刻的元件0电流i0与t=t4时刻的元件2电流i2相等；若ia变化，则t=0时刻的i0与t=t4时刻的i2之间存在复杂的方程关系。由于通交流电时的ia变化周期较元件1、2经历换向的时间长得多，仍可认为

i0(0)=i2(t4)。

(16)

在t1和T时刻，碳刷脱离换向片0和2，接触电导的跃变使电流i0和i2发生跃变，其边界值为

(17)

电流跃变引起的磁场能量变化通过换向火花的形式释放。

2 串励电动机换向过程的数值计算

一台单相串励电动机的额定电压为220 V、50 Hz，额定输出功率55 W，额定转速n=7 000 r/min，换向片数K=24，分析计算换向元件电流和换向片与碳刷的接触电阻功耗。电动机通直流电时的电枢支路电流ia=0.25 A，通交流电时的电枢支路电流ia的有效值Ia=0.25 A。用于换向过程计算的相关参数如表1所示。

表1 用于换向过程计算的相关参数

表1中，槽漏电感L由单相串励电动机电磁计算程序[4-5]中的换向元件自感电动势计算式求出，励磁绕组对换向元件的互感Mt由电磁计算程序中的换向元件变压器电动势计算式求出。整片换向片与碳刷接触的电导gm由碳刷的接触压降和电动机的额定电流推算出，并设g0=gm×10-3。同槽换向元件间的互感耦合程度高，设槽漏互感M=0.9L。

2.1 换向元件中电流的数值计算

设定数值计算的时间增量Δt=10-4ms <

图4所示为串励电动机通直流电时，计算出的元件1、2换向电流i1和i2波形。在t2～t3期间的波形，反映了同槽元件1、2换向时相互间存在的互感作用。波形①和④、②和⑤、③和⑥分别为切割电动势计算系数kc=-8.2、kc=0、kc=8.2时的i1和i2波形。

图4 通直流电时的换向电流波形Fig.4 Commutating current in DC power

当串励电动机通50 Hz的交流电时，电枢绕组的支路电流ia为

(18)

式中时间t的单位为ms。元件1、2的换向电流与换向开始时ia的初相φ有关。为了综合反映电动机通交流电时的换向电流，针对φ从0～π变化，求元件1、2换向电流i1(φ,t)、i2(φ,t)的方均根值

(19)

当kc=0时，计算出的元件1、2换向电流的方均根值I1(t)、I2(t)，如图5所示。波形①、②和③分别对应接触电导gm为0.31 S、0.4 S和0.52 S。

图5 通交流电时换向元件的方均根电流Fig.5 RMS commutating current of the winding elements in AC power

当kc=0、gm=0.4 S时，对图4中的电流取绝对值与图5中的电流作比较，可知串励电动机通交流电时的元件换向电流比通直流电时大得多。

2.2 换向片与碳刷接触电阻功耗的数值计算

串励电动机在换向过程中，换向片2与碳刷的接触电阻能耗

(20)

串励电动机通直流电时，接触电阻平均功耗为

P=W/T。

(21)

串励电动机通交流电时，接触电阻能耗W随换向开始时ia的初相φ变化，应计算φ从0～π变化的平均能耗，再计算接触电阻的平均功耗P为

(22)

调节切割电动势计算系数kc从-10～30，分别设定元件电阻r=8.83 Ω、10.6 Ω、12.72 Ω和15.26 Ω，由式(20)～式(22)，经数值计算得换向片与碳刷的接触电阻功耗P随kc和r的变化曲线，如图6所示。曲线表明，串励电动机通交流电时的接触电阻功耗比通直流电时大得多。

图6 接触电阻平均功耗P随kc和r变化Fig.6 Variation of the average power consumption P of contact resistance with kc and r

3 改善换向措施的比较甄选

3.1 碳刷逆电动机转向偏移

在串励电动机中，逆转向偏移碳刷位置是常用的改善换向措施。碳刷从几何中心线逆转向偏移β角，换向元件切割电枢反应磁场产生对换向起滞后作用的电枢反应电动势ea，同时也切割主极磁场产生对换向起促进作用的电动势eβ，式(12)表示的切割电动势ec为电动势eβ、ea的代数和

ec= eβ-ea=(-kβia)-(-kaia)=

-(kβ-ka)ia=-kcia。

(23)

式中：kβ和ka分别为电动势eβ和ea的计算系数，ka可从单相串励电动机电磁计算程序中电动势ea的计算式求出，kβ可依据碳刷偏移角β求出[6]。随着偏移角β从零增大，kc=kβ-ka从-ka变正并增大。

由图6知，在偏移角β增大的开始阶段，电动机的接触电阻功耗P随kc增大(β增大)降低，表明电动机换向状况得到改善。进一步增大碳刷偏移，存在一个kc值使接触电阻功耗最小，表明此kc值对应的电动势eβ对换向元件中的各种滞后换向因素进行了最优综合补偿。再增大kc值，过度补偿又使接触电阻功耗增大。

需要指出，碳刷偏移量不能过大，要求换向元件边不进入主极极弧。另外，碳刷的逆转向偏移会产生去磁的直轴电枢反应，需要增多励磁绕组匝数来补偿。串励电动机通交流电时的接触电阻功耗较大，须适当偏移碳刷位置，改善换向。

3.2 减小电枢绕组线径、减少元件匝数

由图6知，串励电动机通交流电时的接触电阻功耗曲线随元件电阻的增大而明显下移，表明在单相串励电动机中，在电枢绕组温升允许的条件下，可采用减小电枢绕组线径增大电枢绕组电阻的方法，削弱变压器电动势对换向的不良影响，改善电动机的换向。

图7所示为元件匝数分别为1.1W2、W2和0.9W2时的接触电阻功耗P随kc变化曲线。曲线表明，串励电动机通交流电时，功耗曲线随匝数减少明显下降，减少元件匝数能有效改善换向。

图7 接触电阻平均功耗P随kc和W2变化Fig.7 Variation of the average power consumption P of contact resistance with kc and W2

3.3 改变碳刷与换向片的接触电导

图8所示，为接触电导gm=0.31S、gm=0.4S和gm=0.52S时的接触电阻功耗。曲线表明，通交流电时接触电阻功耗的相对减小量不明显。

图5表明，串励电机通交流电时，换向电流随gm减小明显减小，应选用接触电导较小(接触压降较大)的碳刷。

3.4 增大碳刷对换向片的相对宽度

图9所示，为碳刷对换向片相对宽度bs/bk=1.3、1.5、1.75和2时的接触电阻功耗曲线。曲线表明，串励电动机通交流电时，增大碳刷对换向片的相对宽度，对改善换向的作用不大。

图8 接触电阻平均功耗P随kc和gm变化Fig.8 Variation of the average power consumption P of contact resistance with kc and gm

图9 接触电阻平均功耗P随kc和bs /bk变化Fig.9 Variation of the average power consumption P ofcontact resistance with kc and bs /bk

4 结 论

按单相串励电动机实际换向结构建立数学模型，就换向器电机的各种改善换向方法，对串励电动机通直流电和交流电时的换向过程进行数值计算和定量比较评价，甄选出了能有效改善单相串励电动机换向的措施，对于指导单相串励电动机设计具有实用价值。

因电机换向状况取决于电磁、机械和化学等诸多因素，故观察换向火花仍为评定单相串励电动机换向状况的最终方法。

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(编辑：刘素菊)

Numerical calculation of commutating processes in the single-phase series-excited motor

PENG Yi-xu， CHEN Xiao-yuan， SHEN Wei-hua

(College of Technology, Lishui University, Lishui 323000, China)

Considering the commutating status of the single-phase series-excited motor,according to the commutating processes of the single-phase series-excited motor, the computational formula of the contact resistance between carbon brush and commutation segment is obtained in this paper. The time-segment commutating currents of the winding elements were expressed with variable coefficient differential equations and the boundary-value relations of the junctions among the time segments were determined.For various improving commutation methods, numerical calculation and analysis of the commutating process was completed based on the mathematics model of commutation, and the commutating currents of the winding elements and the average power consumption of contact resistance were accessed. The calculated results of the single-phase series-excited motor in the DC and AC conditions were compared and analyzed to select the measures for improving commutation in the design of the series-excited motor.

single-phase series-excited motor；commutation；numerical calculation；power consumption of contact resistance

2016-06-30

国家自然科学基金(51207068)；浙江省公益性技术应用研究计划项目(2013C31114)；浙江省博士后科研项目(浙人社发〔2014〕102号)；丽水市高层次人才培养资助项目(2014RC07)

彭亦稰(1961—),男,本科，副教授,研究方向为小功率电机的设计、制造及控制;

陈小元(1980—),男,博士,副教授,研究方向为特种电机的设计与控制;

彭亦稰

10.15938/j.emc.2016.10.005

TM 302

A

1007-449X(2016)10-0031-06

沈伟华(1976—)，男，硕士，讲师，研究方向为计算机应用技术。