轴向电磁轴承多自由度承载力理论与实验研究

张云鹏， 高术宁， 刘淑琴， 李红伟， 薛博文

(山东大学 电气工程学院，山东 济南 250061)



轴向电磁轴承多自由度承载力理论与实验研究

张云鹏， 高术宁， 刘淑琴， 李红伟， 薛博文

(山东大学 电气工程学院，山东 济南 250061)

为了实现磁悬浮轴承系统的微型化，对轴向电磁轴承的多自由度承载力进行理论与实验研究。基于轴向磁轴承气隙磁通空间分布，利用分割磁场法建立磁路模型，由虚位移法得到轴向和径向承载力的数学表达式。借助有限元仿真软件，得到轴向磁轴承气隙磁感应强度与磁场空间分布。在搭建的磁轴承三维力学测量平台上，实验测量了轴向磁轴承的轴向与径向承载力，分析总结了多自由度承载力随电流、轴向位移和径向位移的变化规律，结合理论与仿真结果，分析了结构参数变化导致气隙磁场分布变化，进而改变轴向与径向承载力的物理机理，为轴向磁轴承实现多自由度悬浮研究提供了参考依据。

磁轴承; 等效磁路;轴向力; 径向力; 有限元法

0 引 言

磁悬浮轴承又简称磁轴承，是利用定转子之间的磁力相互作用，支承转子悬浮于空间设定位置的一种机电装置。因具有无机械磨损、噪音小、寿命长、无需润滑等优点，广泛适用于高速、真空、超洁净和核电等场合[1-3]。近年来，在人工心脏、飞轮储能、航天航空等特殊领域的应用，对其体积、重量和功率损耗都提出了苛刻要求，低功耗和微型化成为磁悬浮轴承研究与发展的重要方向[4-6]。

传统的磁悬浮系统由两组径向磁轴承和一组轴向磁轴承组成，控制除沿轴向转动以外的五个自由度，每组磁轴承通过各个自由度上的位移传感器、控制器和功率放大器等器件，提供各个自由度悬浮所需的磁力，支撑转子的五自由度悬浮，因此结构较为复杂，难以微型化。由某一自由度磁轴承提供多自由度悬浮力，实现对其他自由度悬浮支撑，能够提高磁悬浮系统的集成度，降低系统功耗，成为磁悬浮技术发展的新趋势[7-11]。文献[12]利用轴向一侧主动磁轴承与另一侧永磁轴承实现了转子的五自由度悬浮。文献[13]在心脏泵中利用轴向两端混合磁轴承，实现了转子轴向主动悬浮，径向利用磁轴承径向被动悬浮与液力悬浮相辅助的方法，实现转子五自由度悬浮。这类结构中轴向磁轴承除提供与磁极面垂直的轴向承载力外，同时提供与磁极面平行的径向承载力，实现转子轴向与径向的多自由度悬浮，从而降低功耗和简化系统结构。要保证磁悬浮系统在多个自由度上高精度稳定悬浮，需要对轴向磁轴承的轴向和径向多个自由度承载力随结构参数的变化规律进行深入研究。

目前，轴向磁轴承承载力的研究主要集中在轴向力的研究[2-3]，对径向力研究较少。文献[15-16]利用磁路分析和实验的方法，研究了轴向永磁轴承的径向承载力与结构参数之间的关系。文献[17-18]利用磁路分析、有限元仿真等方法，对轴向混合磁轴承径向磁力进行了研究，得出径向磁力的解析表达式。以上文献侧重于承载力随某一参数变化规律的研究，而轴向磁轴承在工作时其承载力主要由控制电流、轴向气隙和径向位移的三个参数决定，因此需要对多个参数耦合变化时，轴向磁轴轴向力和径向力的变化规律做全面分析。

为了研究轴向磁轴承的轴向力和径向力随各参数的变化规律，本文基于轴向磁轴承的磁路模型，利用虚位移法求解了轴向和径向承载力的数学表达式，借助有限元仿真软件，得到气隙处磁感应强度与磁场空间分布，在搭建的轴向磁轴承三维移动及力学测量平台上，实验测量并总结了轴向磁轴承的径向力和轴向力随径向位移、轴向位移和电流的变化规律，并结合理论和仿真结果，分析轴向和径向承载力变化的物理机理。

1 轴向磁轴承结构与磁路模型

轴向磁轴承主要由定子铁心，转子铁心和定子线圈组成，如图1所示。当定子线圈通电流后，产生磁通，依次通过转子铁心、气隙和定子铁心形成磁通回路。

图1 轴向磁轴承结构与气隙磁导空间分布模型Fig.1 Distribution model of axial magnetic bearing air gap permeance

图2 轴向磁轴承等效磁路Fig.2 Equivalent magnetic circuit of axial magnetic bearing

2 轴向磁轴承多自由度承载力计算

2.1 气隙磁导与磁通计算

由磁路模型及磁导计算公式[19]，得到内外磁极间气隙磁导与结构参数之间的函数关系为

(1)

(2)

式中：Gi，Go分别为内侧与外侧磁极间磁导；R1为内侧磁极半径；R2与R3分别外侧磁极内径和外径；g为轴向气隙长度；Δr为转子径向位移。忽略铁心磁阻，轴向磁轴承磁路总磁导为

(3)

轴向磁轴承工作时磁路磁动势由电磁线圈提供，磁动势为Hm=Ni，其中，N为线圈匝数，i为线圈电流。磁路中的总磁通为

(4)

2.2 轴向与径向承载力解析表达

传统轴向磁轴承承载力计算中，只考虑其轴向承载力，在忽略铁心磁阻和径向位移对轴向力影响时，磁轴承的轴向承载力Fz与电流i的平方成正比，与轴向气隙g的平方成反比，即

Fz∝i2/g2。

(5)

式(5)在工程中被广泛应用于磁轴承的设计与控制[2-3]。在轴向磁轴承支撑转子多自由度悬浮系统中，需要同时考虑转子的轴向力和径向力。因为承载力是电流i和气隙g的函数以外，还是径向位移Δr的函数，因此用Fz(g,Δr,i)和Fr(g,Δr,i)分别表示轴向磁轴承的轴向力和径向力。

(6)

其中:Fmi=fiNI，Fmo=foNI,fi,fo分别为内外侧气隙的磁阻系数。

根据虚位移法[19],对气隙磁场能量求偏导，得到混合磁轴承的轴向力和径向力为

(7)

将式(1)～式(3)、式(6)带入式(7)得到轴向力Fz(g,Δr,i)和径向力Fr(g,Δr,i)的表达式为

(8)

(9)

3 有限元仿真与实验

利用有限元软件构建轴向磁轴承三维模型如图3所示。轴向磁轴承的主要参数如表1所示。在不同电流i、径向位移g和轴向位移Δr下，利用有限元方法对其进行电磁场仿真，得到磁轴承气隙磁感应强度数值与空间分布。

表1 轴向磁轴承结构参数

图3 轴向磁轴承有限元仿真模型Fig.3 Finite element simulation model of axial magnetic bearing

图4为气隙处的磁感应强度随空间位置变化关系，图4(a)和图4(b)分别为发生径向位移方向上的磁感应强度轴向分量Bz和径向分量Br的分布情况。图中横坐标r=0处表示定子轴心位置。由图可知，当转子径向位移Δr=0时，气隙磁场呈轴对称分布，磁感应强度轴向分量Bz与径向分量Br均关于轴心位置(r=0 mm处)对称分布，因此定转子之间只有轴向力Fz，径向力Fr为零。当径向位移Δr不为零时，气隙磁场不再轴对称分布。由图4(a)知，磁极处的Bz值基本保持不变，而最大值区域减小，这是由于径向位移使磁极正对面积减小引起的。由图4(b)知，随着径向位移增大，磁极边缘处径向分量Br增大，气隙磁通中径向分量部分增加，产生径向力。

图4 气隙磁感应强度沿径向空间分布Fig.4 Spatial distribution of magnetic flux density

图5 轴向磁轴承承载力测量装置图Fig.5 Magnetic force measurement system for axial magnetic bearing

4 承载力与磁轴承参数关系

当轴向磁轴承工作时，轴向力Fz(g, Δr,i)和径向力Fr(g, Δr,i)是电流i、轴向气隙g和径向位移Δr的函数，下面通过理论计算与实验结果，分别讨论轴向力和径向力随i，g，Δr的变化关系。

4.1 轴向力Fz和径向力Fr随电流i变化关系

图6为轴向力Fz随电流i的变化关系，其中轴向气隙g=0.5 mm，图7为不同径向位移下径向力Fr随电流i的变化关系，实验与理论值对比表明，在不同轴向气隙和径向位移下，轴向磁轴承的轴向力和径向力均与电流i的平方成正比关系，与磁路理论的计算结果一致。

根据传统磁轴承理论，轴向磁轴承轴向力的表达式为[3]

Fz。

(10)

其中B为气隙磁场磁感应强度，A为磁极面积，μ0为真空磁导率。图8为通过仿真得到的内外侧磁极中心处磁感应强度轴向分量Bz随电流i的变化关系，当电流i增大时，内外侧磁极间磁感应强度增大，两者成线性关系。因此根据式(10)可知，承载力与电流的平方成正比关系。

图6 轴向力Fz随电流i变化关系Fig.6 Axial force Fz dependence on current i

图7 径向力Fr随电流i变化关系Fig.7 Radial force Fr dependence on current i

4.2 轴向力Fz随轴向气隙g变化关系

当径向位移为零时，由式(8)得轴向力表达式为

(11)

图8 气隙磁感应强度随电流变化关系Fig.8 Magnetic flux density B dependence on current i

图9 无径向位移时轴向力随轴向气隙变化关系Fig.9 Axial force dependence on axial air gap without radial displacement

当存在径向位移时，由式(8)可知，其中第一项与1/g2成正比，第二项与1/(Δr+2g)2成正比。当径向位移Δr=1 mm时，轴向力随轴向气隙的变化关系如图10，根据式(8)与Fz1/g2分别进行拟合，由图可知，当存在径向位移时，轴向力随轴向气隙的增加而迅速单调减小，相比Fz1/g2曲线，式(9)结果更加接近实验测量值。

图11为通过仿真得到的内外磁极气隙中心处磁感应强度轴向分量Bz随轴向气隙倒数1/g的变化关系，由图可知磁感应强度轴向分量Bz正比于轴向气隙倒数1/g，即Bz1/g，根据式(10)，轴向力与轴向气隙g的平方成反比。而随着径向位移增大，磁轴承磁极正对面积减小，漏磁和边缘磁通在总磁通中所占比例增加，导致轴向力Fz与轴向气隙g的变化规律略偏离Fz1/g2。

4.3 径向力Fr随轴向气隙g变化关系

图12为电流i=1.4 A，径向位移Δr=1 mm时，径向力Fr随轴向气隙g的变化关系。根据式(9)，径向力随着轴向气隙g的增大而减小，图中Fr1/g2曲线作为对比，由图可知，实验测量值与式(9)曲线基本一致，与Fr1/g2曲线偏离较大。

图10 存在径向位移时轴向力随轴向气隙变化关系Fig.10 Axial force dependence on axial air gap with radial displacement

通过归一化后，在相同条件(i=1.4 A，Δr=1 mm)下，轴向力与径向力随轴向气隙的变化关系如图13所示。由图可知，随轴向气隙增大，轴向力和径向力均减小，轴向力较径向力减小得更快。

4.4 轴向力Fz随径向位移Δr变化关系

轴向力与径向位移的关系如图13所示，实验测量之与式(8)曲线一致，说明式(8)能够描述轴向承载力与径向位移之间的关系，但表达式较为复杂。式(8)忽略高阶项后得

(12)

图12 径向力Fr随轴向气隙g的变化关系Fig.12 Radial force factor Fr dependence on axial air-gap g

图13 归一化的轴向力与径向力随轴向气隙g的变化关系Fig.13 Normalized axial forceand radial force dependence on axial air-gapg

根据图4(a)中磁场有限元仿真结果可知，随径向位移增加，在内侧磁极与外侧磁极处气隙磁感应强度轴向分量Bz基本不变。而随着径向位移增加，磁极正对面积减小。因此根据式(10)，轴向力随径向位移增加而减小，主要是由于径向位移增大使磁极正对面积A减小引起的。

图14 轴向力Fz随径向位移r的变化关系图Fig.14 Axial force Fz dependence on radial displacement Δr

4.5 径向力Fr随径向位移Δr变化关系

根据式(9)可知，轴向磁轴承的径向力具有正刚度，可以在有主动控制的情况下实现径向的被动悬浮，同时径向力是电流i的函数，也可以通过控制两侧轴向磁轴承中的电流i，控制两侧磁轴承中的径向力实现径向主动控制。以上两种径向悬浮方式，都需要以轴承径向力Fr随径向位移Δr的变化规律为基础。图15为径向力随径向位移关系，通过实验测量值与理论值对比，差别主要有：

1)在根据式(9)，随径向位移增加，径向力先增加然后趋于饱和，其饱和值为

2)在整个范围内，理论值均高于实验值，这主要是由于磁路模型中没有考虑内外磁极之间的漏磁，定转子磁极间磁感应强度与理论值相比要小。

图15 径向力Fr随径向位移Δr的变化关系Fig.15 Radial force Fr dependence on radial displacement factor Δr

图16 径向刚度随径向位移r的变化关系Fig.16 Radial stiffness dependence on radial displacement Δr

5 结 论

基于轴向磁轴承磁极间磁场的空间分布，通过磁路模型和虚位移法，得到轴向磁轴承轴向和径向承载力与电流、轴向气隙和径向位移关系的数学解析表达式，为分析轴向磁轴承多自由度悬浮特性提供了理论基础。

通过有限元仿真得到气隙处磁感应强度与磁场空间分布，验证了磁路模型的正确性。设计实验，改变轴向磁轴承中电流、轴向气隙和径向位移参数，测量磁轴承的轴向力与径向力，实验结果与理论结果基本一致。

通过理论和实验，总结轴向磁轴承轴向力和径向力随电流、轴向气隙和径向位移的变化规律：轴向力和径向力均与电流的平方成正比关系；轴向力随轴向位移增大而减小，在没有径向位移时，与轴向气隙的平方成反比，当存在径向位移时偏离平方反比关系；轴向力随径向位移增大而减小，近似成线性关系；径向力随轴向气隙增大而减小，随径向位移的增大而先增大，然后趋近饱和值，最大值的位置与磁极厚度相近；径向刚度随径向位移的增大而先减小。

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(编辑：刘素菊)

The oretical and experimental research on axial and radial magnetic force of axial magnetic bearing

ZHANG Yun-peng， GAO Shu-ning， LIU Shu-qin， LI Hong-wei， XUE Bo-wen

(School of Electrical Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)

In order to simplify magnetic levitation system supported by axial magnetic bearings, axial and radial magnetic force of axial magnetic bearing is studied in this paper. Based on spatial distribution of magnetic flux in the gap, equivalent circuit model was created and the mathematic formula of axial and radial magnetic force in axial magnetic bearing was deduced by virtual work method. Magnetic flux density and field distribution in the gap of axial magnetic bearing were obtained by finite element method. On three-dimensional force measuring experimental platform, axial and radial magnetic force of axial magnetic bearing was measured. The change law of magnetic force in terms of exciting current i, axial gap g and radial displacement Δr was analyzed and physical mechanism was discussed based on theoretical and simulation results. These results provide reference for research of magnetic suspension system in multi-degree-of-freedom supported by axial magnetic bearings.

magnetic bearing; magnetic equivalent circuit;axial magnetic force; radial magnetic force;finiteelement method

2015-07-29

国家自然科学基金(51105231,11302120)；山东省优秀中青年科学家科研奖励基金(BS2012DX013)；山东大学基本科研业务费专项资金(2015JC042)

张云鹏(1981—)，男，博士，讲师，研究方向为磁轴承理论及应用、磁路设计、电磁场分析;

高术宁(1992—)，男，硕士研究生，研究方向为混合磁轴承及应用、磁路分析；

刘淑琴，张云鹏

10.15938/j.emc.2016.10.008

TM 153

A

1007-449X(2016)10-0055-09

刘淑琴(1958—)，女，教授，博士生导师，研究方向为磁轴承理论及应用、风力发电；

李红伟(1979—)，男,博士，讲师，研究方向为磁轴承理论及应用、转子动力学；

薛博文(1991—)，男，硕士研究生，研究方向为磁轴承理论与应用、电机理论与设计。