一类可对角化的矩阵及其性质研究

曲双红，刘慧娟，孟令显

1.郑州轻工业大学 数学与信息科学学院，河南 郑州 450002；

2.郑州商学院 通识教育中心，河南 巩义451200

0 引言

矩阵是一个非常重要的概念，其理论和方法不仅在数学领域占有举足轻重的地位，在现代科技发展的其他诸多研究领域中也都是不可或缺的.近年来，研究者将矩阵的理论和方法应用于数值模拟、动态仿真、图像识别、信息编码、人工智能等领域，取得了不少突破性进展[1-6].其中，对角矩阵由于其形式简单、计算方便、性质优良、便于应用等优点而备受关注.然而，实际应用中所遇到的矩阵多是非对角矩阵，对角矩阵往往需要通过矩阵的对角化得到，因此研究可对角化矩阵及实现其在不同领域的应用尤为重要[7-11].寻找各类可对角化的矩阵并探究其相关性质仍是目前重要的研究课题之一.文献[12-14]指出，Hermite矩阵属于正规矩阵，并研究了其在插值问题中的应用.文献[15]给出了正规矩阵可以对角化、且对角阵的对角元素为该正规矩阵特征值的结论.矩阵的奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD)是一种重要的矩阵分解形式.借助矩阵的奇异值分解，可以提取矩阵的重要特征，便于对矩阵展开深入研究.文献[16-18]研究结果表明，矩阵的奇异值分解在信号处理、最小二乘问题、广义逆矩阵等诸多领域中都有十分广泛的应用.可见，对一个矩阵来说，求得其奇异值分解形式非常重要.

受文献[7] 及Hermite矩阵的启发，本文拟在前期研究[19]的基础上，利用共轭转置矩阵、正规矩阵、矩阵的特征值等概念和理论[20-22]，寻找一类新的可对角化的正规矩阵，并对其性质进行研究，求得其奇异值分解形式，以期丰富可对角化矩阵的基础理论储备，为其在不同领域中的相关应用提供理论参考.

1 基本结果

1)矩阵A可以对角化；

2)存在n阶酉矩阵T，R,使得

证明：1)依条件A*=kA3(0≠k∈R)，有

A*A=(kA3)A=A(kA3)=AA*

所以A为正规矩阵，从而A酉相似于一个对角矩阵D，即A可以对角化.

2)设λ0=a+bi(a,b∈R)为矩阵A的一个特征值，则存在非零向量x∈Cn，使得

Ax=λ0x

于是

依题意，A*=kA3(0≠k∈R)，所以

但x为非零向量，所以

即

a-bi=k[(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i]

从而

解上述方程组，将适合条件A*=kA3(0≠k∈R)的矩阵A的可能特征值区分k>0和k<0两种情况,分别记为：

①

②

并记λ1,λ2,λ3,λ4,λ5的重数分别为m1,m2,m3,m4,m5；记μ1,μ2,μ3,μ4,μ5的重数分别为l1,l2,l3,l4,l5.

i)当k>0时，由本定理1)的结论，满足条件A*=kA3(0≠k∈R)的正规矩阵A可对角化，故存在n阶酉矩阵P，使得

于是有

③

且由①易知，

④

ii)类似地，当k<0时，可以得到

⑤

根据矩阵的奇异值分解定理，同时综合k>0和k<0两种情况，存在n阶酉矩阵T，R使得

其中，r为矩阵A的正奇异值个数.证毕.

关于本定理的结论有如下两点说明.

1)文献[19]中定理的部分结果仅是定理1中1)的一个特例.

2)在定理1中2)的证明过程中，对于酉矩阵T和R，若令

则满足条件A*=kA3(0≠k∈R)的矩阵A的奇异值分解可以写成如下的紧凑形式：

证明：设δl=In+A+…+Al,l=0,1,…，则

(In-A)δl=In-Al+1

⑥

由于k>1，由①式可知

所以0∉σ(In-A)，从而det(In-A)≠0，即矩阵A的特征矩阵(In-A)非奇异.

用(In-A)-1左乘⑥式两边，可得

δl=(In-A)-1-(In-A)-1Al+1

对上式两边l→+∞时取极限，有

证毕.

另外，对于满足定理2条件的矩阵A，当k>1时，存在特殊的矩阵范数‖·‖*，使得

‖A‖*<1

即u0>u1>u2>…>un>…>0,由极限存在准则，该数列存在极限，设为α，则有

所以α=0,证毕.

证明：当k>0时，根据③式和④式，存在酉矩阵P，使得

⑦

其中，m1,m2,m3,m4,m5分别为矩阵A的相应于特征值λ1,λ2,λ3,λ4,λ5的重数.

对于k<0时的结论，同理可证.证毕.

2 定理应用

证明：由⑦式可知，对满足题目条件的矩阵A，存在酉矩阵P，使得

因而

证毕.

3 结语

本文探究了一类满足条件A*=kA3(0≠k∈R)的矩阵A的性质，证明了该类矩阵可对角化，得到了其奇异值分解形式及一些收敛性质，丰富了可对角化矩阵的类型，增加了可对角化矩阵的基础理论储备.未来有望将该类矩阵及其性质应用于判定相关矩阵的稳定性、大型线性方程组求解、大型矩阵的简约表示、图像压缩、人工智能等不同学科领域中.