《一类可以对角化的矩阵》一文的进一步研究结果

宫玉荣，刘慧娟

郑州商学院 通识教育中心，河南 巩义 451200

0 引言

在不同情形下，人们会用到不同结构的矩阵， 其中，Hermite 矩阵就是一种结构特殊而应用广泛的矩阵.受Hermite矩阵的启发，文献[1-2]分别对适合条件A*=A2和A*=-A3的矩阵进行了研究，证明了这两类矩阵都是正规矩阵，给出了它们的谱及一些性质.伴随着研究的深入，又获得了对这两类矩阵的一些新认识和进一步结果.本文拟在文献[1]的基础上，对适合条件A*=A2的矩阵A的性质进行深入挖掘，对矩阵的奇异值、行列式、张量积、张量和等进行研究，进一步获得它的奇异值分解式、行列式表示，给出适合此条件的两个矩阵A，B的张量积，也适合(A⊗B)*=(A⊗B)2的基本结果和(A⊕B)*=(A⊕B)2的条件，以期丰富正规矩阵的内容.伴随着对适合条件A*=A2矩阵性质的进一步研究及与应用相联系，关于这种矩阵的结果有望像Hermite矩阵一样用于一些理论研究和实际应用之中[3-7].

1 基本结果

定理1 设A∈Cn×n，A*=A2，r(A)=r≤n，则有如下结论成立：

2)A有奇异值分解

其中，Er是r阶单位矩阵；U,V是n阶酉矩阵.

A=λ1G1+λ2G2+λ3G3+λ4G4

这里GiGj=δi,jGi,i,j=1,2,3,4.

其中∑r=Er是一般矩阵奇异值分解所不具备的.

这种矩阵分解的紧凑形式，在线性多变量控制系统中有重要应用[9].

3)由于A是正规矩阵，A的属于不同特征值的特征向量正交[10].现分别将A的属于同一特征值的列特征向量进行正交化和单位化,比如，记λ2单位正交的列特征向量是x21,x22…,x2p2，其他特征值单位正交的列特征向量仿此方法作出和标记，再将所有这些单位正交的特征向量合并在一起，记为x11,…,x1p1,x21,…,x2p2,x31,…,x3p3,x41…,x4p4.

由此得到下面的n阶酉矩阵

U=[x11,…,x1p1,x21,…,x2p2,x31,…,x3p3,x41,…,x4p4]

这时有

A=Udiag[λ1,…,λ1,λ2,…,λ2,λ3,…,λ3,λ4,…,λ4]U*

所以

A=λ1G1+λ2G2+λ3G3+λ4G4

下面验证GiGj=δijGi,i,j=1,2,3,4.这里仅验证i=j=1时,G1G1=δ11G1=G1,其余情况可类似证明.

4)依据矩阵行列式等于其特征值之积的结论便可得此结果.

定理2 设A∈Cn×n，且A*=A2，则

2)设0≠α∈Cn,α是A的特征向量⟺α是A*的特征向量.

定理3 设A，B∈Cn×n且A*=A2,B*=B2，则

1)(A⊗B)*=(A⊗B)2.

2)若AB=BA，则(AB)*=(AB)2.

3)若|A|≠0，则(A-1)*=(A-1)2.

4)若A,B分别相似于A1,B1，即有非退化矩阵P，Q,使得A=PA1P-1,B=QB1Q-1，则有

(A⊗B)*=(P⊗Q)(A1⊗B1)2(P⊗Q)-1.

证明：1)由本定理条件可知，

(A⊗B)*=A*⊗B*=A2⊗B2=(A⊗B)(A⊗B)=(A⊗B)2

2)因为AB=BA，所以

(AB)*=B*A*=B2A2=B(BA)A=BABA=ABAB=(AB)2

3)因为|A|≠0，所以A-1存在，故可得

(AA-1)*=E*=E=(A-1)*A*

所以(A-1)*=(A*)-1=(A2)-1=A-1A-1=(A-1)2.

4)由本定理的结论1)可得

说明：i) 定理3中的结论1)对张量和未必成立.因为，

(A⊕B)*=[(E⊗A)+(B⊗E)]*=(E⊗A)*+(B⊗E)*=(E⊗A*)+(B*⊗E)=(E⊗A2)+(B2⊗E)=A2⊕B2

而(A⊕B)2=(A⊕B)(A⊕B)=A2⊕B2+2B⊗A，只要A≠0，B≠0,便有B⊗A≠0，即(A⊕B)*≠(A⊕B)2.

ii) 定理3表明，当矩阵A,B分别适合条件A*=A2，B*=B2时，若令矩阵C分别等于A⊗B，AB，A-1，则C也适合条件C*=C2.

iii) 当A,B分别相似于A1,B1时，(A⊗B)*相似于(A1⊗B1)2.

定理4 设A,B∈Cn×n，且A*=A2，AB=BA，则有(A*)nB=B(A*)n.

证明：依题意,有

(A*)nB=(A2)nB=A2n-1(AB)=A2n-1(BA)=A2n-2(AB)A=A2n-2(BA)A=…=BA2n=B(A2)n=B(A*)n

2 结语

本文用另一种方法证明了文献[1]中的定理2，给出了适合条件A*=A2的矩阵A的进一步结果：得到了A的奇异值分解式及其紧凑形式和A的行列式，证明了适于这种关系的两个矩阵A,B的张量积仍满足(A⊗B)*=(A⊗B)2，分析了张量和满足(A⊕B)*=(A⊕B)2的条件，以及关于A与A*的特征值、特征向量的一些结果.至此，将适合条件A*=A2的矩阵与一般矩阵和Herrmite矩阵进行比较发现，该矩阵的性质介于一般矩阵与Hermite矩阵的性质之间，即与一般矩阵相比，本文研究的矩阵是正规矩阵，且有一般矩阵所不具备的良好性质；但与Hermite矩阵相比，又稍显逊色，比如：它的特征值并非全是实数，这将限制它的应用范围.本文的矩阵A还具备Hermite矩阵哪些良好性质，在雅普洛夫方程及其稳定性，以及解析函数插值等问题中，Hermite矩阵可否换成本文的矩阵A等问题，还需作进一步研究.