新型高阶非圆锥齿轮的设计及其节面修形方法研究

吕　刚　范守文　李光辉　童水光　肖人源

1.电子科技大学，成都，611731　　2.浙江大学自贡创新中心，自贡，6430003.浙江大学，杭州，310058

新型高阶非圆锥齿轮的设计及其节面修形方法研究

吕刚1，2范守文1李光辉2,3童水光2,3肖人源2

1.电子科技大学，成都，6117312.浙江大学自贡创新中心，自贡，6430003.浙江大学，杭州，310058

将帕斯卡曲线和阿基米德螺线应用到非圆锥齿轮的设计中，推导了该新型非圆锥齿轮节面的数学模型。针对非圆锥齿轮设计过程中可能存在的节面尖点问题，将产形刀具的部分节面作为非圆锥齿轮节面尖点处的节面，依据产形刀具节面与高阶非圆锥齿轮节面之间的运动关系，建立了新型非圆锥齿轮的节面修形模型，开发了非圆锥齿轮的齿廓产形算法。并采用该方法对实例中的高阶阿基米德螺线锥齿轮和二次曲线锥齿轮的节面尖点进行了修正。

非圆锥齿轮；帕斯卡曲线；节曲线；尖点；节面修形

0　引言

由于非圆直齿轮具有优异的传动性能、可变的传动比、较大扭矩和高可靠性等诸多优点，因此被广泛应用于油泵、冲压机床、包装和打印机床等机械产品的设计中[1-2]。然而非圆直齿轮仅能用于传递具有平行轴的变速运动，为了能够传递具有交错轴的变速运动，一些学者对高阶椭圆锥齿轮进行了研究。Giorgio等[3]分析了刀具沿主从轮节面滚动的运动轨迹，并建立了刀具、主动轮和从动轮三者之间的精确数学模型。林超等[4-5]提出了高阶变性椭圆锥齿轮和高阶偏心椭圆锥齿轮的设计方法。此外，文献[6-10]分别对高阶椭圆锥齿轮齿廓的产形、加工、传动模型和干涉检测等进行了研究。由于高阶非圆锥齿轮的设计和制造过程较为复杂，在很大程度上影响了其在机械产品中的应用，故目前仅有其在航空工业方面的相关研究报道[11]。

非圆齿轮的节曲线有多种类型，如：余弦曲线、帕斯卡曲线、多段圆弧和阿基米德螺线等，并且它们已成功应用于非圆直齿轮的设计中[12-14]。然而，目前对于高阶非圆锥齿轮的研究还仅限于高阶椭圆锥齿轮。本文采用一种新的设计方法来设计高阶非圆锥齿轮的节面，并将其应用到其他类型的高阶非圆锥齿轮的设计过程中，如帕斯卡曲线和阿基米德螺线锥齿轮的设计过程中。类似于高阶非圆直齿轮节曲线设计，该设计方法也可能引起高阶非圆锥齿轮的节面出现间断点或尖点，为了满足工程需求和齿轮副传动的稳定性，需要对该非圆锥齿轮的节面进行修形，但该修形过程不应对所设计齿轮副的传动比造成较大影响，针对该问题，本文提出了一种节面修形方法。依据刀具节面与非圆锥齿轮节面之间的运动关系，用部分刀具节面曲线替换了高阶非圆锥齿轮节面凸尖点和凹尖点处的部分节面，并建立了修形后节面的精确数学模型。通过对高阶阿基米德螺线锥齿轮与二次曲线锥齿轮设计实例的分析，验证了该非圆锥齿轮节面设计和修正方法的实用性和有效性。

1　新型高阶非圆锥齿轮的节面设计

(1)

图1　3阶阿基米德锥齿轮的几何模型

图2　点Oa、O、Oi、P、Pi之间的几何关系

依据阿基米德螺线方程，极半径lOP可表示为

lOP=h(1+kaθ1)0≤θ1≤π/N1

(2)

式中，h、ka为可调系数，并用于调节阿基米德螺线的形状；θ1为极径的回转角；N1为阿基米德螺线的阶数。

式(2)仅表示了阿基米德螺线的半个周期，另外半周期的节曲线可通过节曲线的对称性获得。

将式(2)代入式(1)可得

(3)

球面上任意一点Pi在坐标系Sa中可表示为

(4)

μ1=μ1(θ1)

式中，xs、ys、zs为节曲线上的点在坐标系Sa中的坐标。

可通过主从轮之间的传动关系求解出从动轮的节面方程。如图3所示，Sa(xa,ya, za)和Sb(xb,yb,zb)分别为主从动齿轮的回转坐标系，OaI为瞬时回转轴，μ1为回转轴za与瞬时回转轴OaI之间的夹角，μ为回转轴za与zb之间的夹角。假定f12(θ)为主从动齿轮间的传动比函数，则f12(θ)可表示为

(5)

图3　3阶阿基米德螺线锥齿轮副主从轮之间之间的啮合关系

依据文献[9]的方法并联立式(4)与式(5),可得到从动轮的节曲线方程:

(6)

A=h(1+kaθ1)

同理：如果高阶非圆锥齿轮的节面为二次曲线并且该二次曲线方程[14]可表示为

(7)

式中，a1、b2、c1均为系数。

依据式(1)～式(4)的设计方法，可得

(8)

(9)

μc=μc(θ1)

式中，xc、yc、zc为节曲线自身回转坐标系中节面上点的坐标。

可采用类似的方法来设计其他类型节曲线的高阶非圆锥齿轮的节面，图4～图6所示分别为二次曲线、帕斯卡曲线和阿基米德螺线锥齿轮大端节面的图形。如果高阶非圆齿轮的节面由多种类型的曲线组合而成，那么这种设计可能会引起节面出现不连续点或尖点，这些尖点会对齿轮齿廓的加工产生负面影响，因此修正节面产生的尖点非常必要。

图4　3阶二次曲线锥齿轮节面大端的节曲线

图5　4阶帕斯卡曲线锥齿轮节面大端的节曲线

图6　3阶阿基米德螺线锥齿轮节面大端的节曲线

2　高阶非圆锥齿轮节面的修形模型

图7　阿基米德螺线锥齿轮与产形刀具之间的几何关系

为了计算切点a和b在坐标系Sa中的坐标值，切平面εt的法向量可表示为

na=(xa,ya,za)

(10)

其中，(xa,ya,za)对应于式(4)中的(xs,ys,zs)或式(9)中的(xc,yc,zc)，θ对应于式(4)与式(9)中的θ1。

整理式(10)可得表达式

(11)

其中，μ对应于式(4)中的μ1或式(9)中的μc。

由于大圆弧εt的法向量nt为(0,1,0)，法向量na与nt之间的夹角为π-α1，即

(12)

联立式(11)与式(12)，角α1可表示为

(13)

在球面三角形Oqea中，依据球面三角定理可得

(14)

(15)

(16)

β1=π/N1-α2α2=θ

轴za与zc之间的夹角γ3为

(17)

∠OqaOd=3π/2-α3

其中，γ1为参数θ的函数，由式(3)或式(8)计算得到，γ2为刀具节面大端的节锥角，α3依据式(15)计算得到。

(18)

θs≤θt≤θs+β3

式中，θs为刀具从起始位置回转到切点a所转过的角度；θt为刀具的回转角。

(xst,yst,zst)=Mst(xt,yt,zt)

(19)

其中，Mst为旋转矩阵，其表达式为

(20)

图8所示为凸尖点修形过程中刀具与齿轮节面的几何关系，其推导过程与凹尖点类似(篇幅所限，从略)。由以上分析可知，通过对节面尖点的修形得到的高阶非圆锥齿轮的节面为多段空间曲线的组合，即：刀具节面与非圆锥齿轮的节面组合。此外，非圆锥齿轮的齿廓可通过刀具节面绕非圆锥齿轮节面回转运动来产生。

图8　高阶非圆锥齿轮的凸尖点与刀具节面之间的几何关系

3　高阶非圆锥齿轮齿廓的产形算法

由于采用以上方法设计的非圆锥齿轮节面由多段空间曲线组合而成，因此位于凸尖点与凹尖点之间的齿廓仍采用非圆锥齿轮与锥齿轮刀具的啮合算法来产形，而尖点处被刀具曲线替换的节面采用锥齿轮副的啮合算法来进行产形。此外，如果该节面为凹尖点处被替换的节面，则采用内啮合锥齿轮齿廓产形算法，反之，则采用外啮合的锥齿轮齿廓产形算法。本文开发了该非圆锥齿轮齿廓的产形算法用于仿真齿廓的包络过程，其算法流程如图9所示。其执行步骤如下：

图9　高阶非圆锥齿轮齿廓产形算法流程图

(1)依据非圆锥齿轮的传动比函数确定齿轮的设计参数，如：弧长、模数、齿数和大端半径等。

(2)选择加工的锥齿轮刀具，确定刀具的齿廓类型(本文的齿廓类型为球面渐开线)，依据刀具的设计参数建立一个虚拟的刀具模型。

(3)计算刀具节面与高阶非圆锥齿轮节面的切点坐标，确定出高阶非圆锥齿轮节面未被替换部分所对应的回转角。

(4)依据节面类型来调用相应的产形算法，如果该节面为被替换的节面，则调用锥齿轮产形算法进行产形。否则，调用非圆锥齿轮产形算法进行产形。

(5)输出齿廓的仿真模型，停止。

4　算例

4.1实例1

以3阶阿基米德螺线锥齿轮的设计为例来说明节面尖点的修正过程。当节曲线的回转角度θ∈[0,π/3]时，锥齿轮刀具与非圆锥齿轮节面凸尖点处的切点坐标为(71.66,3.59,69.66)mm，与非圆锥齿轮节面凹尖点处的切点坐标为(44.47，72.41,52.72)mm。3阶阿基米德螺线锥齿轮大端节面如图10所示，图11为修形后的大端节面的图像，对比图10与图11的仿真结果可知，修正前的节面弧长大于修正后的节面弧长，通过计算可知修正前的弧长为516.15 mm，修正后的弧长为513.07 mm。由于节面在修正前后齿轮的模数为定值，因此可确定修正前的齿轮齿数为164，修正后的齿数为163(表1)。此外，运用所开发的齿廓产形算法可生成该非圆锥齿轮齿廓的仿真图(图12)。

图10　3阶阿基米德螺线锥齿轮修形前的大端节曲线

图11　3阶阿基米德螺线锥齿轮修形后的大端节曲线

参数名修形前修形后可调系数h100100可调系数ka0.600.60球面半径R(mm)100100凸尖点处切点坐标(mm)(71.66,3.59,69.66)(71.66,3.59,69.66)凹尖点处切点坐标(mm)(44.47,72.41,52.72)(44.47,72.41,52.72)模数m(mm)1.001.00齿数Z164163弧长(mm)516.15513.07

(a)齿廓的仿真图

(b)齿廓的局部放大图图12　3阶阿基米德螺线锥齿轮的齿廓图像

4.2实例2

图13　3阶二次曲线锥齿轮修形前的大端节曲线

如图13所示，非圆锥齿轮的节曲线也可采用二次曲线来设计。同理当θ∈[0,π/3]时，锥齿轮刀具与非圆锥齿轮节面位于凸尖点与凹尖点处的切点坐标分别为(71.66,3.59,69.66)mm，(44.47,72.41,52.72)mm。对比图13～图15的仿真结果可知，该非圆锥齿轮修形后的弧长与齿数要小于修形前的弧长与齿数，该节面修形方法对尖点处齿轮副的传动性能有较小影响，但不会对该非圆锥齿轮的整个传动性能产生较大影响。其弧长与齿数的计算结果如表2所示，其齿廓的仿真图见图16。

图14　3阶二次曲线锥齿轮修形前后大端节曲线的对比图

图15　3阶二次曲线锥齿轮修形后的大端节曲线

参数名修形前修形后二次项系数a1100100一次项系数b11010常数项c16060球面半径R(mm)100100凸尖点处切点坐标(mm)(51.91,3.12,85.41)(51.91,3.12,85.41)凹尖点处切点坐标(mm)(47.52,66.46,57.66)(47.52,66.46,57.66)模数m(mm)0.80.8齿数Z213197弧长(mm)535.59495.65

(a)齿廓的仿真图

(b)齿廓的局部放大图图16　3阶2次曲线锥齿轮的齿廓仿真图像

4.3实例3

该实例选取帕斯卡曲线作为高阶非圆锥齿轮的节面曲线，节面上任意点的锥角可依据式(3)或式(8)的形式表示为

(28)

式中各个参数的设计值见表3。

球面半径的设计值R仍为100mm，锥齿轮的阶数为4，计算得到的弧长为452.29mm，齿轮模数m=1.25mm，由此可计算出该锥齿轮的齿数为115。由图17的节面大端曲线仿真结果可知，该节曲线连续且不存在尖点。调用所开发的非圆齿轮齿廓产形算法可得到该非圆齿轮的齿廓图像(图18)。

表3　4阶帕斯卡曲线锥齿轮的设计参数

图17　4阶帕斯卡曲线锥齿轮节面大端的节曲线

图18　4阶帕斯卡曲线锥齿轮齿廓图像

5　结论

(1)提出了一种设计高阶非圆锥齿轮副节面的新方法，并将该方法应用于高阶阿基米德螺线锥齿轮与高阶二次曲线锥齿轮的设计过程中，从而建立了两种新型非圆锥齿轮的模型。

(2)通过对高阶非圆锥齿轮节面尖点的修形，有效地改善了节面尖点处的传动性能。修形后所形成的节面有利于刀具的加工。

(3)基于该齿廓产形算法可有效地模拟出齿廓的生成过程，并且该算法为高阶非圆锥齿轮的设计提供了一种有力的验证工具。

[1]刘大伟, 任廷志. 由补偿法构建封闭非圆齿轮节曲线[J].机械工程学报,2011,47(17):147-152.

Liu Dawei, Ren Tingzhi. Creating Pitch Curve of Closed Noncircular Gear by Compensation Method[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 43(17):147-152.

[2]Giorgio F, Jorge A. The Synthesis of Elliptical Gears Generated by Shaper-cutters[J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2003,125(4):793- 801.

[3]Giorgio F, Jorge A. Synthesis of the Pitch Cones of N-lobed Elliptical Bevel Gears[J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2011,133(3):031002.1-031002.8.

[4]林超,侯玉杰,龚海,等.高阶变性椭圆锥齿轮传动模式设计与分析[J].机械工程学报, 2011, 47(13):131-139.

Lin Chao, Hou Yujie, Gong Hai, et al. Design and Analysis of Transmission Mode for High-order Deformed Elliptic Bevel Gears[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2011, 47(13): 131-139.

[5]林超, 龚海, 侯玉杰,等.偏心高阶椭圆锥齿轮副设计与传动特性分析[J].农业机械学报, 2011,42(11):214-221.

Lin Chao, Gong Hai, Hou Yujie, et al. Design Method of Eccentric-high Order Elliptical Bevel Gear Pair and Analysis of Its Transmission Characteristics[J]. Journal of Agricultural Machinery, 2011,42(11):214-221.

[6]林超, 龚海, 侯玉杰,等. 高阶椭圆锥齿轮齿形设计与加工[J].中国机械工程, 2012, 23(3):253-258.

Lin Chao, Gong Hai, Hou Yujie, et al. Tooth Profile Design and Manufacture of High-order Elliptical Bevel Gear[J]. China Mechanical Engineering, 2012, 23(3):253-258.

[7]林超, 侯玉杰, 冉小虎,等.高阶椭圆锥齿轮的传动模型与干涉检查的运动仿真[J]. 重庆大学学报, 2010,33(10):1-6.

Lin Chao, Hou Yujie, Ran Xiaohu, et al.Transmission Model of Higher-order Elliptical Bevel Gearing and Motion Simulation for Interference Checking[J]. Journal of Chongqing University, 2010,33(10):1-6.

[8]Xia Jiqiang, Liu Yuanyuan, Geng Chunming, et al. Noncircular Bevel Gear Transmission With Intersecting Axes[J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2003, 2008,130(5):054502.1- 054502.7.

[9]Shi Kan, Xia Jiqiang, Wang Chunjie, et al. Design of Noncircular Bevel Gears with Concave Pitch Curve[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part C-Journal of Mechanical Engineering Science, 2012,227(3): 542-553.

[10]Lin Jing. Tooth Surface Generation and Geometric Properties of Straight Noncircular Bevel Gears[J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2012,134(8):084503.1-084503.6.

[11]Stefano Z, Christian M F, Marco F. A Method for the Design of Ring Dampers for Gears in Aeronautical Applications[J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2012, 134(9):091003.1-091003.10.

[12]任廷志,程爱明,景奉儒. 蜗线齿轮及其共轭齿轮的几何分析与仿真[J].机械工程学报,2006,42(9): 71-76.

Ren Tingzhi, Cheng Aiming, Jing Fengru. Limacon Gear and Conjugated Gear’s Geometry Analyse and Simulation[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2006,42(9): 71- 76.

[13]Yan Jia, Yang D C, Tong S H. On the Generation of Analytical Noncircular Multilobe Internal Pitch Curves[J]. ASME Journal of Mechanical Design, 2008, 130(8):092601.1- 092601.8.

[14]王亚洲, 胡赤兵, 刘永平. Pascal蜗线型齿轮滚切插补算法对比[J].上海交通大学学报[J], 2014,48(1): 45-49.

Wang Yazhou, Hu Chibing, Liu Yongping. Comparison of Hobbing Interpolation Algorithms of Pascal Curve Gear[J]. Journal of Shanghai Jiao Tong University,2014,48(1): 45-49.

(编辑王艳丽)

Research on Design and Pitch Surface Shaping of New Type High-order Non-circular Gear

Lü Gang1,2Fan Shouwen1Li Guanghui2,3Tong Shuiguang2,3Xiao Renyuan2

1.University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu,611731 2.Zigong Innovation Center of Zhejiang University,Zigong,Sichuan,643000 3.Zhejiang University,Hangzhou,310058

Archimedes spiral and Pascal curve were firstly used to design NBGs, the pitch surface mathematical model of NBGs was deduced. Aiming at cusp problems of pitch surface of high-order NBG pairs, a section pitch surface curve of generation cutter was considered as pitch surface lied in high-order NBGs cusp. According to motion relationship between pitch surface of cutter and that of the high-order NBGs, pitch surface shaping model of the high-order NBGs was established and generation algorithm of NBGs teeth profile was developed. High-order Archimedes spiral bevel gear and quadratic curve bevel gear were selected as cases to verify design practicability and pitch curve shaping method of high-order NBG.

non-circular bevel gear(NBG); Pascal curve; pitch curve; cusp; pitch surface shaping

2014-08-27

国家自然科学基金资助项目(51175067)

TH122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.22.002

吕刚，男，1980年生。电子科技大学机电学院博士研究生。研究方向为机械产品设计缺陷辨识、特种齿轮传动。发表论文11篇。范守文(通信作者)，男，1968年生。电子科技大学机电学院教授、博士研究生导师。李光辉，男，1982年生。浙江大学机械工程学院博士后研究人员。童水光，男，1960年生。浙江大学机械工程学院教授、博士研究生导师。肖人源，男，1988年生。浙江大学自贡创新中心硕士。