一种五轴并联机床的机构参数分步辨识方法

党鹏飞　房立金

东北大学,沈阳,110819

一种五轴并联机床的机构参数分步辨识方法

党鹏飞房立金

东北大学,沈阳,110819

以五轴并联机床为研究对象，基于量子粒子群优化算法，对少自由度并联机床的机构参数辨识问题进行了研究。根据五轴并联机床的结构特点，对运动末端的测量位姿进行优化选取。将并联机构参数辨识问题转化为非线性系统的最优化问题，利用量子粒子群优化算法的全局搜索能力设计一种分步辨识方法对机构参数进行优化、辨识。仿真结果显示，基于量子粒子群优化算法的分步辨识方法能够比较准确地辨识机构参数的真实值。该分步辨识方法同样适用于其他少自由度并联机器人的机构参数辨识。

并联机器人; 位姿误差; 参数辨识; 量子粒子群优化

0　引言

混联机床同时具有串联机器人与并联机器人的优点，已经成功地应用于航空航天制造领域。但是，混联机床少自由度并联机构部分依然包含数量较多的杆件与关节部件。在这些部件的制造与装配过程中不可避免地存在机构误差，使得机构参数的实际值与理想值之间出现偏差，最终导致运动末端的位姿精度下降。受结构特征、部件安装位姿等因素的影响，现场直接测量所获得的机构参数往往不能满足运动控制的精度要求。对机构参数进行辨识是解决这一问题的有效方法。一个可行的辨识方法是根据外部传感器获取的测量信息，利用智能优化算法寻找一组与实际末端位姿相匹配的机构参数。因此，并联机构的机构参数辨识问题一直是机器人学研究领域的一项重要内容。

近年来，国内外学者针对机器人运动学标定问题做了大量的研究工作。Huang等[1]利用正则化方法对混联机床运动学标定过程中的误差建模、测量方案以及误差辨识方法这三个关键问题进行了研究。Joubair等[2]利用三坐标测量机和磁性工具球提出了一种低成本的标定方法，实验证明该方法能够提高平面SCARA机器人的位置精度。Varziri等[3]利用关节处安装的冗余传感器，对一款缆绳驱动的并联机器人进行了运动学标定。Pashkevich等[4]认为关节位置误差对末端位姿影响较大，提出了对此类误差源的外标定方法。智能优化算法已经被广泛地应用于求解机器人运动学标定问题，并且取得了一系列进展。Wang等[5]提出了一种基于马尔可夫链蒙特卡罗算法的机器人标定方法，可以对运动学模型内各误差参数进行统计估计。Zhang等[6]提出一种基于共存演化神经网络算法与虚拟误差理论的综合补偿方法，较好地实现了几何误差、热误差等误差源的补偿。

粒子群优化(PSO)算法是一种新兴的群体智能算法，已经被成功地应用于路径规划[7]、运动控制[8]等领域的相关研究中。Alici等[9]利用PSO算法优化误差模型中的多项式因子，提出了一种能够预测机器人位置误差的方法。杜义浩等[10]将机构误差转化为驱动杆误差，利用改进的PSO算法优化驱动杆参数，对并联机器人的位姿误差进行补偿。周炜等[11]综合考虑环境温度的变化，提出一种基于粒子群优化神经网络的精度补偿方法，有效地提高了工业机器人的绝对定位精度。作为一种改进的粒子群优化算法，量子粒子群优化(QPSO)算法的全局搜索能力比PSO算法有了明显的改进[12]，其收敛速度与优化性能也都有比较明显的提高。

现今，在利用QPSO算法进行非线性系统的优化时，通常都是直接对系统内的所有参数同时进行迭代优化。在每一次迭代过程中，某些参数在更新以后会更加接近最优解，但是某些本来接近最优解的参数却又远离了最优解[13]。对于并联机床的机构参数辨识问题，由于机构参数的数量较多，QPSO算法的更新模式可能使得部分机构参数误差不能得到准确的辨识，从而影响到机构参数的辨识效果。针对这个问题，本文提出了基于QPSO算法的分步辨识方法。首先，利用QPSO算法较强的全局搜索能力，根据收敛速度对机构参数逐个进行粗辨识；然后，根据粗辨识的结果对所有机构参数进行第二次精确辨识。最后，通过对五轴并联机床机构参数的分步辨识验证了该分步辨识方法的有效性。

1　五轴并联机床误差建模

1.1结构简介

五轴并联机床结构如图1所示，该机构由并联机构部分、平面约束机构部分与工作平台组成。其中，并联机构部分由固定平台、动平台以及4个驱动分支构成。五轴并联机床采用高刚度的龙门结构，固定在两侧立柱顶端的4个伺服电动机分别驱动4组滚珠丝杠副， 滚珠螺母(滑块)通过4根支杆与动平台相连， 通过调整滑块的位移来实现动平台的运动。在固定平台、动平台之间，由4块板件组成了平面约束机构，约束机构部分内各转动轴线与工作台运动方向平行。

图1　五轴并联机床结构图

1.2机构误差模型

将五轴并联机床的并联机构部分作为研究对象进行少自由度并联机器人机构参数辨识问题的研究。并联机构的几何误差源主要包括铰链中心的位置误差与支杆的杆件长度误差，由于杆件长度误差可以通过直接测量得到，因此，本节将建立关于铰链中心位置误差的误差模型。

首先，在并联机构内建立各坐标系，如图2所示。在固定平台建立基坐标系OXYZ，在动平台建立动坐标系O′X′Y′Z′，在刀具末端建立末端坐标系Pxyz。动平台中心在基坐标系下的位置坐标为O′=(x0,y0,z0)T，动平台上铰链Tv(v=1,2,3,4)在动坐标系下的位置坐标为tv=(xv,yv,zv)T，滑板处铰链Sv在基坐标系下的位置坐标为sv=(xSv,ySv,zSv)T。刀尖点与动平台中心距离为zt，刀具绕X′轴与Y′轴的旋转角度分别为A、B。动平台绕X′轴的旋转矩阵RX′以及动平台的姿态矩阵R分别为

图2　并联机构部分原理简图

动平台通过滑块位移Hv驱动末端刀具运动，其与支杆L1、L2相连的铰链可以绕X轴与Y轴旋转，与支杆L3、L4相连的铰链只能绕X轴旋转。由此可以得到动平台上铰链Tv在基坐标系下的位置矢量：

(xTv,yTv,zTv)T=(x0,y0,z0)T+T(xv,yv,zt)T

(1)

其中，T为姿态变换矩阵。对于支杆L1、L2，T=R；对于支杆L3、L4，T=RX′。

另外，考虑到由动平台姿态引起的刀具派生运动，刀具末端位置为

P=(px,py,pz)T=(x0,y0,z0)T+R(0,0,zt)T

(2)

根据式(1)与式(2)，建立刀具末端位置与动平台铰链Tv中心位置之间的关系，得

(xTv,yTv,zTv)T=P-R(0,0,zt)T+

T(xv,yv,zt)T

(3)

根据机构的几何关系可得

(4)

式中，Lv为支杆的杆件长度。

将式(3)代入式(4)并微分，建立起刀具末端位姿误差与铰链Tv、Sv中心位置误差、支杆杆长误差之间的关系，利用矩阵的形式可以表示为

JPδ P+JCδ C=JLδ L

(5)

δ P=(δpy,δpz,δA,δB)T

δ C=(δxv,δyv,δzv,δxSv,δySv,δzSv)T

δ L=(δL1,δL2,δL3,δL4)T

式中，δ P为末端位姿误差矢量；δ C为铰链中心位置误差矢量；δ L为支杆杆长误差矢量；JP为与末端位姿误差对应的雅可比矩阵；JC为与铰链位置误差对应的雅可比矩阵；JL为与支杆杆长误差对应的雅可比矩阵。

由于本文研究重点在于机器人机构参数的辨识，对支杆的杆件长度误差δ L可以通过直接测量得到，因此，只考虑误差模型内的铰链中心位置误差δ C。整理式(5)，得到五轴并联机床的位姿误差模型：

(6)

式中，W为并联机构误差模型的辨识矩阵。

2　机构参数辨识问题的转化与求解

2.1机构参数辨识问题转化为最优化问题

在QPSO算法中，每个粒子用一个完整的位置向量表示优化问题的一个潜在解，其位置向量Xi(t)就是优化变量。对于五轴并联机床的机构参数辨识问题，将机构参数修正量(铰链中心位置误差δ C)作为最优化问题的优化变量，利用优化算法寻找一组与实际测量位姿误差相对应的修正量，作为优化问题的最优解引入运动学模型，就可以实现五轴并联机床机构参数的辨识。

根据最少参数线性组合的4个定理[14]，对式(6)中的辨识矩阵W进行辨识性分析，发现支杆3、4两端铰链X轴方向上的位置误差不可辨识，可辨识的参数修正量为

Δq=(δx1,δy1,δz1,δxS1,δyS1,δzS1,δx2,

δy2,δz2,δxS2,δyS2,δzS2,δy3,δz3,

δyS3,δzS3,δy4,δz4,δyS4,δzS4)T

因此，针对五轴并联机床的机构参数辨识问题，将以上可辨识的参数修正量作为优化变量，即Xi(t)=Δq。

然后，根据五轴并联机床的位姿误差模型与末端位姿精度要求，设计最优化问题的目标函数:

(7)

式中，k为与位姿精度要求有关的放大系数；e为实际测量得到的位姿误差。

2.2基于QPSO算法的最优化问题求解

本文提出的基于QPSO算法的分步辨识方法分为两个步骤，如图3所示。

图3　基于QPSO算法的分步辨识流程图

2.2.1利用QPSO算法逐个标定参数

(1)建立误差模型，以机构参数修正量产生的位姿误差与实际位姿误差之间的差距最小化为优化目标，建立关于机构参数修正量的最优化模型。

(2)在五轴并联机床工作空间内选取μ组不同的位姿构型进行测量，通过计算得到各组测量构型下的实际末端位姿误差eh，h=1,2,…,μ。

(3)迭代次数用t表示，最大迭代次数为tmax。置t=0，随机初始化N个m维的粒子的初始位置向量Xi(0)，向量维数m等于机构参数修正量Δq的维数。令各粒子局部最优位置Pi(0)=Xi(0)。

(4)根据目标函数式(7)与适应度函数，计算第i个粒子的适应度F(Xi(t))：

(8)

(5)以粒子适应度最小化为目标，分别更新每个粒子的局部最优位置Pi(t)以及粒子群的全局最优位置Pg(t)，更新公式分别为

(9)

Pg(t)=(Pg1(t),Pg2(t),…,PgM(t))T=

min(P1(t),P2(t),…,PN(t))

(10)

(6)根据收敛判定条件，依次对全局最优位置向量Pg(t)内的元素Pgj(t)是否收敛进行判定。如果Pgj(t)收敛，终止计算，将Pgj(t)作为相应的机构参数修正量的最优解引入运动学模型，置m←m-1，返回步骤(3)，重新随机初始化粒子初始位置继续计算；否则，继续计算。另外，当m=0时，说明机构参数修正量Δq已经全部求出，进入步骤(2)。

(7)根据QPSO算法，利用式(11)、式(12)分别计算粒子群的平均最优位置C(t)以及每个粒子的随机点位置pi，并利用式(13)更新粒子位置Xi(t+1)：

(11)

pij(t)=φij(t)Pij(t)+[1-φij(t)]Pgj(t)

(12)

j=1,2,…,M

(13)

式中，φij(t)、uij(t)为区间[0,1]上服从均匀分布的随机数；α(t)为收缩-扩张系数。

(8)判断是否满足迭代算法的终止条件t=tmax。如果满足，计算结束；若未满足终止条件，置t←t+1，返回步骤(4)继续计算。

2.2.2利用QPSO算法对所有参数整体标定

将上述的计算结果作为优化模型的全局最优解，利用QPSO算法对粒子位置向量的m维元素同时进行优化计算，具体流程与2.2.1节相似，在此不再赘述。

3　五轴并联机床机构仿真分析

通过对五轴并联机床运动末端的位姿误差分析发现，铰链中心位置误差在动平台绕X轴、Y轴旋转时对末端位姿误差的影响比较明显。根据五轴并联机床工作空间的特点，保持工作台静止，在OYZ平面内选取了9个动平台中心位置，通过转动动平台获得了18个刀具末端位姿的测量数据采集区域，如图4所示。

图4　测量区域示意图

测量区1、2为动平台中心运动至点(0,0,1050)mm处，刀具分别绕X轴、Y轴旋转[-20°,20°]所产生的运动轨迹；测量区3、4、5、6为动平台中心运动至点(0,0,1150)mm、(0,0,950)mm处，刀具分别绕X轴、Y轴旋转[-15°,15°]所产生的运动轨迹；测量区8、10、12、14、16、18为动平台中心运动至点(0,100,1150)mm、(0,100,1050)mm、(0,100,950)mm、(0,-100,1150)mm、(0,-100,1050)mm、(0,-100,950)mm处，刀具绕Y轴旋转[-15°,15°]所产生的运动轨迹；测量区7、9、11为动平台中心运动至点(0,-100,1150)mm、(0,-100,1050)mm、(0,-100,950)mm处，刀具绕X轴旋转[-10°,0°]所产生的运动轨迹；测量区13、15、17为动平台中心运动至点(0,100,1150)mm、(0,100,1050)mm、(0,100,950)mm处，刀具绕X轴旋转[0°,10°]所产生的运动轨迹。

设定铰链中心位置误差δ C的取值范围为[-0.03,0.03]mm，在范围内选取20个铰链中心位置误差。由图4中选取的测量构型得到理想的驱动控制变量，将给定的误差δ C引入运动学模型，根据理想的驱动控制变量计算得到给定的末端位姿集合Q。将给定末端位姿Q作为优化目标函数式(7)的输入数据，对机构参数修正量Δq进行优化，最终得到一组与给定的末端位姿Q相匹配的最优机构参数修正量，从而实现机构参数的辨识。

设置粒子的数量N=80；粒子位置向量的搜索范围是[-0.05,0.05]mm；最大迭代次数tmax=300。收缩-扩张系数α(t)采用线性减小的取值方式，随着迭代过程的进行从1递减到0.5。根据基于QPSO算法的分步辨识方法以及利用QPSO算法直接进行参数辨识的方法， 分别进行优化计算。标定结果如表1所示，分步辨识得到的结果表明大部分误差源的辨识值与给定值之间的差距在误差源理论值的4%以内，最大的差距在10%以内，可以比较准确地反映机构参数修正量的给定值。而采用QPSO算法直接辨识的方法，只有三个参数δx1、δzS1、δx2的辨识值与给定值之间的差距在10%以内，其余结果与给定值的差距较大，有些参数辨识结果甚至严重失真。

表1　五轴并联机床辨识结果　mm

分别利用表1中的两组辨识结果更新五轴并联机床的运动学模型。根据理想的驱动控制变量以及更新后的运动学模型，计算理想末端位姿与给定的末端位姿Q之间的偏差以评价基于QPSO算法的分步辨识方法与直接辨识方法对运动学模型的辨识效果。由于姿态角的偏差较小，故主要依靠末端位置的偏差分析辨识效果，结果如表2所示。

表2　末端位置偏差的计算结果　mm

利用分步辨识结果更新的运动学模型，计算得到的理想末端位置与给定的末端位置之间的最大偏差为3.4369×10-4mm，最小偏差为2.6513×10-6mm。说明通过机构参数分步辨识，五轴并联机床的运动学模型能比较准确地匹配实际的末端位姿。而利用直接辨识结果更新的运动学模型，计算得到的理想末端位置与给定的末端位置之间的偏差，最大值为0.0058 mm，最小值为2.4082×10-5mm，对运动学模型的辨识效果并不明显。

图5　标定前后末端位置误差

最后，选取测量区域7、8，进一步分析在动平台绕X轴、Y轴转动时，基于QPSO算法的分步辨识方法与直接辨识方法对运动学模型的辨识效果。在测量区域7、8分别均匀选取16个测量位姿，计算理想末端位置与给定的末端位置之间的偏差。如图5所示，在所有的测量位姿上，由分步辨识结果建立的运动学模型计算的理想末端位置与给定的末端位置更加接近，证明分步辨识方法得到的五轴并联机床机构参数能够更好地匹配给定的末端位姿。

4　结论

(1)针对五轴并联机床的机构参数辨识问题，提出一种基于量子粒子群优化算法的分步辨识方法。仿真计算得到的机构参数辨识值与给定值之间的偏差不超过10%，能够比较准确地反映机构参数的给定值。

(2)分别利用基于量子粒子群优化算法的分步辨识方法与直接辨识方法，对五轴并联机床进行机构参数辨识、比较分析。仿真结果表明由分步辨识方法辨识得到的机构参数更能准确地反映给定的末端位姿，辨识效果更好。

(3)针对五轴并联机床的结构特征，对参数辨识所需的测量构型进行优化选取，可以有效提高辨识效率，对于其他少自由度并联机床也有一定借鉴意义。

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(编辑袁兴玲)

A Step Identification Method of Mechanisim Parameters of 5-DOF Parallel Machine Tool

Dang PengfeiFang Lijin

Northeastern University,Shenyang,110819

A step identification method of mechanisim parameters was proposed based on QPSO algorithm to improve the accuracy of 5-DOF parallel machine tool. Firstly, according to structural characteristics of 5-DOF parallel machine tool, the measurement configurations were selected optimally. Then, the identification problem of mechanisim parameters was regarded as a nonlinear optimization problem, and solved through the two-step identification. The simulation results illustrate that the actual values of geometric errors of parallel robot can be identified accurately through the step identification method based on QPSO. Furthermore, the step identification method of mechanisim parameters is feasible for other limited-DOF parallel robots.

parallel robot; pose error; parameter identification; quantum-behaved particle swarm optimization(QPSO)

2014-08-04

TP242DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.016

党鹏飞，男，1986年生。东北大学机械工程与自动化学院博士研究生。主要研究方向为并联机器人精度。房立金，男，1965年生。东北大学机械工程与自动化学院教授、博士研究生导师。