汽车悬架系统混沌运动的自适应反演滑模控制

高 远 范健文 谭光兴 罗文广

1.武汉理工大学，武汉，430070 2.广西工学院，柳州，545006

3.广西汽车零部件与整车技术重点实验室，柳州，545006

0 引言

电流变阻尼、磁流变阻尼和干摩擦阻尼等都具有明显的滞后非线性性质，且路面对汽车激励具有随机特性，因此，采用这些阻尼的汽车悬架是随机激励的滞后非线性系统［1］。汽车悬架系统具有强时变性、强非线性、强非平稳性的动力学特性，且其非线性因素作用在一定的载荷、激励和频域内尤为突出［2-3］。近年来，人们研究发现，滞后非线性汽车悬架在路面正弦激励、多频拟周期激励或随机激励情况下均可表现出复杂的非线性动力学行为，例如分岔和混沌等［4-5］。实证研究也表明，汽车在颠簸的路面行驶时，汽车悬架系统的混沌运动有可能发生［6］。

迄今，人们对非线性悬架提出了诸如模糊逻辑控制、神经网络控制、鲁棒控制和基于微分几何的解耦控制等方法［7-10］，然而这些研究并没有涉及悬架系统中混沌振动的控制问题。近几年来，有学者针对悬架系统中混沌振动这一复杂的非线性现象，从混沌控制的策略出发，提出了跟踪控制、速度反馈控制以及脉冲反馈控制等理论方法［11-13］。这些混沌控制方法以确定性数学模型作为研究对象，没有考虑实际悬架系统强非线性导致的系统建模及其参数辨识困难，以及模型参数时变性和随机路面干扰等因素。

本文以双频激励的、具有混沌振动特性的1／4车辆悬架系统模型作为研究对象。考虑系统参数时变、模型的非线性项不确定以及随机路面激励等干扰因素，并假设这些不确定性因素所带来的影响有界。研究采用主动控制策略，结合反演设计理论，同时引入自适应算法对干扰因素进行估计，提出控制不确定性汽车悬架系统混沌运动的自适应反演滑模控制器，并采用Lyapunov函数理论证明其控制的稳定性。仿真结果验证了控制方法的有效性和鲁棒性。

1 悬架系统的运动方程及其混沌特性

图1是单自由度1／4汽车悬架在无控制时的模型图。通过该图可得到系统的微分运动方程［4］如下：

式中，m为1／4车体质量；k1为车身刚度；Fzhi为滞后非线性阻尼；x为车体垂直位移；x0为路面位移激励。

图1 1／4汽车悬架简化模型

假设路面为双频正弦激励，有

其中，频率Ω1和Ω2不可有理通约，a为激励分量的幅度。滞后非线性阻尼为

式中，k2为非线性刚度系数；c1、c2分别为线性阻尼系数和非线性阻尼系数。

令y＝x-x0，则式（1）可整理为

令y1＝y，y2＝，可将式（2）写成一阶状态方程形式：

表1 1／4汽车悬架系统模型参数

图2 混沌吸引子图

2 自适应反演滑模控制器设计

为研究抑制悬架系统振动中的混沌运动，采用主动控制策略，并在模型中引入控制作用信号函数u（t），则悬架系统方程（式（3））可变为

实际悬架系统的强非线性会导致系统模型及其参数辨识困难，使得模型的非线性项具有不确定性，线性项系统参数与理想参数之间存在偏差，路面对车辆的激励频率和幅度也往往是随机的。因此将式（4）修正为

式中，Δω2、ΔB2分 别 为 对 应 参 数 ω2、B2的 时 变 部 分；f（y1，y2，t）为系统模型中未知非线性项部分；d（t）为随机路面激励。

将系统内部的不确定性用i（t）表示，即

可将式（5）进一步整理为

其中，N（t）为各不确定性因素之和，其表达式为

本文假定N（t）有界，且满足｜N（t）｜≤N0。

假设汽车悬架系统方程（式（4））跟踪控制的目标信号为yd，定义跟踪误差为

则误差的变化速度为

引入虚拟控制项：

其中，常数r∈R＋。引入变量z：

则根据式（7）有

定义滑模切换函数S：

其中，常数λ∈R＋。

未知的N（t）会对控制效果产生不良影响，因此引入自适应算法求出 N（t）的估计值 ＾N（t）。＾N（t）的自适应律取为

式中，ε为比例参数。

定义估计误差：

定理1 在不确定性因素N（t）有界情况下，当控制器为

证明 定义系统的Lyapunov函数：

那么结合式（7）～ 式（17），有

则Q是正定矩阵。又由于

那么

所以系统（式（7））在控制器（式（17））作用下渐进稳定。

3 计算结果与比较

为验证控制方法的有效性，本文采用控制器（式（17））对式（4）进行控制仿真。选择悬架系统的跟踪参考信号为yd＝0，并假定不确定性影响的初始估计值＾N（0）＝0，选取相关参数r＝20，λ＝30，γ＝5，β＝0.1，ε＝1500。为降低控制器（式（17））中切换控制所导致的抖振效应，提高控制性能，本文采用双曲函数tanh（·）代替控制器中的开关函数sgn（·）［15］。仿真中的系统参数、路面的双频激励设置以及初始条件同上述。为验证控制方法的鲁棒性，仿真中引入慢变信号i（t）＝10sint来刻画系统参数时变性和模型非线性项的不确定性，并考虑汽车以不同车速在不同等级公路路面行驶时的控制情况。

3.1 i（t）＝10sint，d（t）＝0情形

该情形仅考虑系统内部参数的时变性和非线性项的不确定性，汽车只受使其产生混沌振动的确定性双频路面激励作用，所以N（t）＝10sint。在正弦干扰情况下，系统的Lmax＝0.025，因此悬架系统仍处于混沌运动状态。图3、图4分别为yd＝0时，受控悬架系统垂直振动的位移、速度时域演化图。由图3和图4可见，有控制时振动位移几乎为零，速度在零附近小范围稳定振动变化。同时，受控悬架系统Lmax＝-0.002，这表明悬架系统即使在正弦规律时变干扰影响情况下，混沌振动仍能得到有效控制，可获得预期的稳定状态。

图5是有无控制时，悬架系统垂直振动加速度时域变化图。比较图5a～图5c可知，无控制时，系统处于混沌振动状态，垂向加速度变化极不规则，变化幅度较大，反映出汽车行驶平顺性不佳；有控制时，加速度趋于单周期性稳定变化，且变化幅度大大减小，车辆行驶的舒适性得到明显改善。相比ε＝0时的无干扰估计的控制情形，具有自适应干扰估计的反演滑模控制效果更好（图5c）。

图3 振动位移演化图

图4 振动速度演化图

图5 振动加速度演化图

图6为N（t）＝10sint时的估计曲线图。由图6可以看出，通过自适应律（式（17））所获得的估计值＾N（t），其大小变化与 N（t）基本符合。通过对总的影响因素进行较为精确的估计，可使得控制器（式（17））能充分抵消时变干扰对系统的影响，从而提高控制的自适应性和鲁棒性。

3.2 i（t）＝10sint，d（t）≠0情形

图6 干扰的估计曲线

该情形综合考虑了悬架系统参数时变性、模型非线性项的不确定性以及随机路面干扰等因素。鉴于轿车振动系统的固有频率分布在0.7～15Hz，人体对4～8Hz频率范围的振动较为敏感，因此选取地面作用于轮胎的激励时间频率范围为0.1～30Hz，在此激励频率范围内研究轿车的振动控制可以满足要求［16］。假设汽车分别以车速v＝30km／h、v＝50km／h和v＝70km／h行驶在B等级和C等级公路路面上，可按照给定路面不平度功率谱变换为路面不平度的方法，通过仿真计算获得不同车速和不同等级道路情况下的路面不平度数据（路面位移激励x0）。

表2给出了汽车在6种不同行驶工况下，悬架系统的最大Lyapunov指数。由表2比较可见，被动悬架系统的Lmax均在0.02附近，因此在上述的系统参数、路面激励和干扰作用情况下，悬架系统仍处于混沌振动状态。对于受控主动悬架，Lmax的数值衰减到零附近，表明悬架系统无规则的混沌运动得到明显抑制，无序振动将向有序的周期状态转变。

表2 悬架系统的最大Lyapunov指数Lmax

在B等级公路路面、汽车以50km／h匀速行驶的状况下，汽车悬架系统有无控制时，振动位移y1、速度y2和加速度y3的时域响应演化曲线如图7～图9所示。由图7和图8可见，即使在系统参数时变、模型的非线性项不确定以及随机路面干扰等不确定性因素影响情况下，实施自适应反演滑模控制后，悬架系统不稳定的混沌振动能得到有效抑制，位移和速度均在零附近周期性稳定振动，且数值也大大降低。由图9a、图9b比较可见，有控制后的悬架垂直加速度减小了50%左右。

图7 位移演化图

图8 振动速度演化图

图9 振动加速度演化图

图10a、图10b分别是汽车在B、C等级路面以70km／h速度行驶时，悬架垂直振动加速度在对数坐标下的功率谱图。由图10可以看出，无控制时，因为汽车始终受到双频路面激励和内部正弦干扰作用，所以加速度功率谱在频率f1＝1.257Hz、f2＝3.734Hz和f3＝0.1592Hz附近有明显波峰，对应频率处的加速度功率谱值最大，且在10～30Hz的激励频率范围内，C级路面加速度功率谱值大于B级路面加速度功率谱值。有控制后，在0.1～25Hz频率内的加速度功率谱密度明显减小，谱线峰值也大幅降低，且受控后的功率谱线变得相对光滑。这表明具有干扰估计的自适应反演滑模控制不仅能有效抑制双频激励产生混沌振动，抵消系统内部时变干扰和随机路面对车辆的作用影响，而且能很好地降低人体敏感频率区域的振动加速度，从而较好地提高汽车的行驶平顺性和舒适性。

图10 加速度功率谱

表3给出了悬架系统垂直振动加速度的均方根值。由表3比较可知，对于无控制的被动悬架，随着路面不平度的增大、行驶速度的加快，悬架振动加速度的均方根值将变大，且数值也较大，这意味着汽车行驶的舒适性和稳定性较差；施加基于自适应反演滑模的主动控制策略后，加速度均方根值明显减小，其中速度越小、路况越好，控制效果越佳，且相比无干扰估计的控制情形，均方根数值下降得更多。如B级路面情况下，30km／h和50km／h的车速下，加速度均方值减小了一半多，而70km／s的高速行驶状态，加速度均方值也减小了1／3左右。

表3 垂直振动加速度y3的均方根值

4 结论

（1）汽车悬架系统在参数时变、外界路面干扰激励以及系统强非线性作用不确定等因素并存的复杂情况下，针对悬架系统的混沌运动控制问题，研究了基于反演设计理论的自适应滑模控制方法，并采用Lyapunov函数理论证明了控制器的渐进稳定性。仿真结果验证了所设计控制器的有效性。

（2）控制器（式（17））不依赖汽车悬架系统模型中的非线性项，且控制器中的自适应干扰估计作用能有效抵消干扰因素所带来的影响。为降低控制器所存在的抖振效应，通常选取控制参数β不宜过大。

（3）相比已有的汽车悬架系统混沌运动控制方法，该方法以yd＝0作为预设参考目标，并实现了悬架无规则振动状态在目标位置附近的稳定控制，且具有良好的控制鲁棒性。

（4）汽车在不同等级随机路面激励和不同车速状态的工况下，该方法仍能对悬架系统垂向振动的无规则混沌运动状态有着很好的镇定抑制作用，且使得人体敏感振动频率范围的垂直振动加速度明显减小，利于车辆获得良好的行驶平顺性。

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