外部激励下行星换向机构的分岔及混沌

马洪涛 薛殿伦

湖南大学汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙，410082

0 引言

在汽车起步工况下，离合器接合压力逐渐上升，变速器输入转速和扭矩随之增大，即外部激励处于动态变化过程中。该工况对传动系统的振动特性存在较大影响，可引起振动、噪声加剧，严重时将造成断齿等故障。

近来，众多学者以齿轮间隙非线性理论［1］为基础，对齿轮传动系统的分岔及混沌特性进行了大量研究。王三民等［2］研究了齿侧间隙及支撑刚度对单级齿轮系统分岔与混沌特性的影响。董海军等［3］研究了转速激励下单级齿轮拍击振动的分岔特性。文献［4-5］以复合行星传动系统为例，分析了激励频率和啮合阻尼等因素对系统分岔特性的影响。根据目前检索结果可知，大量文献多以单级齿轮副为例进行齿轮传动系统的分岔及混沌分析，而对多级行星传动系统在外部激励下的分岔及混沌特性研究较少。

对此，本文以汽车无级变速器(CVT)内的行星换向机构为研究对象，综合考虑时变啮合刚度、啮合误差、齿侧间隙等因素建立了该系统的非线性扭转振动模型，重点分析了转速和扭矩对系统分岔及混沌特性的影响。

1 行星换向机构分析模型

行星换向机构用于汽车倒挡起步及行驶工况，由行星架、太阳轮、内外行星轮和内齿圈组成，各齿轮的基本参数见表1。

表1 双行星换向系统齿轮参数

工作时，内齿圈在湿式离合器的作用下处于锁止状态;发动机扭矩由行星架输入，在双排行星轮的作用下完成动力的反向传递，最后由太阳轮输出。考虑齿轮轴刚度较大，未计入齿轮横向位移。采用的集中质量法建立系统计算模型如图1所示。图1中HOV为系统坐标系，krp为内齿圈 －外行星轮啮合刚度;kpp为内外行星轮啮合刚度;ksp为太阳轮－内行星轮啮合刚度;crp为内齿圈－外行星轮啮合阻尼;cpp为内外行星轮啮合阻尼;csp为太阳轮 －内行星轮啮合阻尼。设rb为齿轮基圆半径;r1、r2分别为外内行星轮分布圆半径;nc为行星架转速;ns、npw、npn为相应齿轮的转速;下标r、p、s分别表示内齿圈、行星轮、太阳轮，下标pn、pw分别表示内外行星轮。

图1 系统计算模型

2 行星换向机构数学模型

2.1 刚度激励和误差激励

齿轮时变啮合刚度k(t)为周期函数，可将其分为平均啮合刚度 ka和变刚度 k(t)，即 k(t)=ka+k(t)，计算时，将变刚度部分以啮合频率为基频，展开成傅里叶级数:

其中，ki为变刚度的第i阶分量，φi为相应的初相位，本文计算时取其前三阶分量，ω为啮合频率。

将啮合误差处理为啮合频率的简谐函数为

式中，ea为啮合误差幅值;φw为啮合误差的初相位。

2.2 啮合力分析

其中，xc为行星架切向微位移，xc=r1θccosα，α 为齿轮端面啮合角;xpwi为外行星轮沿啮合线微位移，xpwi=rbpθpwi;xpni为内行星轮沿啮合线微位移，xpni= rbpθpni;xs为太阳轮沿啮合线微位移，xs=rbsθs;erp、epp、esp为相应的齿轮副啮合误差;θ为齿轮角位移，f(x，b)为间隙非线性函数，b为齿侧间隙半径，具体形式如下:

2.3 运动微分方程

根据Lagrange方程，可推导出系统运动微分方程如下:

式中，mc，eq为行星架与行星轮总成的等效质量;meq为齿轮等效质量;Fin、Fout分别为输入和输出扭矩的等效啮合力。

式(6)为二阶半正定微分方程组，内部含有刚体位移，这将导致不定解。因此，参考前文对啮合力的分析，定义如下相对位移坐标:

以式(7)定义的9个自由度对式(6)进行线性变化，可得微分方程组，写成矩阵形式为

式中，M、C、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;X为位移矩阵;F为激振力矩阵。

3 系统响应求解及分岔、混沌分析

3.1 最大Lyapunov指数

根据相图和庞加莱截面图对混沌状态进行判定存在一定的误差，为此，引入基于混沌时间序列分析方法的最大Lyapunov指数作为判定依据。首先从仿真结果中提取原始时间序列{x(ti)，(i=1，2，…，N)}，采用C － C算法进行相空间重构，通过关联积分计算，同时估计出延迟时间τ'和时间窗口τω，并间接计算嵌入维数m，最终构造出一个等价于原系统的m维吸引子:

式中，Nm为时间序列重构轨道的点数，且满足条件Nm=N － (m － 1)τ'。

随后在重构的相空间中，寻找每个点最近的邻点，并用di(0)表示第 i个点到其最近邻点的距离:

式中，X(i)和X(i')为重构轨道上的最近邻点，n为短暂分离步数。

然后计算每对邻域点在 j个离散步长后的距离:

最后，对于每一个固定的离散步长j，计算最大Lyapunov指数为

3.2 系统随转速的分岔及混沌分析

为分析转速对系统分岔及混沌特性的影响，根据变速器实际工况，在1000～6000r/min的转速范围内对系统响应进行求解。最后，选取输出级齿轮副的状态变量Xsp绘制了系统位移随转速的分岔图(图2)，以此表征系统状态的变化历程。求解时，系统参数设置如下:间隙半径b=25μm，扭矩 Tin=60N·m，啮合误差幅值 esp=epp=erp=20μm。

图2 位移随转速变化的分岔图

首先，从图2中可以看到，系统在1000～2980r/min和3950～5440r/min两处较长范围内维持单周期运动状态，具有较强的线性特点。系统在各转速激励下的响应状态如图3～图10所示。图3为系统在2000r/min转速激励下响应状态，此时庞加莱截面图为单个离散点，表明系统处于稳定的单周期运动状态。另外，在5400r/min转速激励下，如图8所示，虽然此时因共振导致振动幅值较大而引起双边冲击，但结合庞加莱截面图可知，系统仍能保持稳定的周期运动状态。

图3 转速nc=2000r/min时的响应状态

图4 转速nc=3030r/min时的响应状态

图5 转速nc=3240r/min时的响应状态

图6 转速nc=3290r/min时的响应状态

图7 转速nc=3350r/min时的响应状态

图8 转速nc=5400r/min时的响应状态

图9 转速nc=5440r/min时的响应状态

图10 转速nc=5920r/min时的响应状态

其次，在 2980～3370r/min和 3670～3950r/min转速范围内，如图2b和图2c所示，系统出现小幅共振并引起齿面冲击，进而导致了频繁的倍周期分岔行为，结合图4～图7可知，系统对该频域内的转速激励较为敏感，产生了倍周期和拟周期运动状态及状态之间的交替现象。

最后，当转速升至5440r/min时，如图9所示，此时庞加莱截面图为分布稠密的点集，另外求得λ1=0.0694，可判定系统此时突变为混沌状态，且此后系统状态基本保持不变(图2a)。混沌区域内存在短暂的周期窗口，如图10中转速为5920r/min时，系统出现7倍周期运动状态，分析可知，此现象是由混沌吸引子的切分岔造成的。

系统响应在3040，3670，5440r/min时均出现振幅跳跃现象(图 2)。可以看到，系统在3040r/min前后维持单周期运动状态不变，而系统状态在3670r/min和5440r/min前后均产生状态突变，如系统在5440r/min转速下随振幅跳跃由单周期运动状态突变为混沌状态。据分析，振幅跳跃和状态突变是由齿侧间隙及啮合冲击引起的。

另外，系统响应在5440r/min附近出现较大的共振峰值(图2)，并且在转速爬升至共振频率的过程中，齿轮撞击速度和相对位移均大幅增加(图8)，此仿真结果与变速器在该转速附近进行疲劳试验时振动、噪声加剧的事实相符，从而在一定程度上证明了本文所建数学模型的正确性。

整体而言，随着转速的增加，系统在较长范围内维持在稳定的单周期运动状态，表现出较强的线性特征，仅在共振频域附近因啮合冲击的出现，而产生频繁的倍周期分岔行为、振幅跳跃及状态突变等非线性特征。另外，在一定的扭矩作用下，随着转速的增大，以误差激励为代表的交变载荷逐渐增大，引起齿面冲击和双边冲击现象，但在越过共振区后，系统逐渐稳定在双边冲击状态。

3.3 系统随扭矩的分岔及混沌分析

在倒挡起步过程中，扭矩随着离合器压力的上升而逐渐增大。为分析扭矩对系统分岔及混沌特性的影响，本文对系统在10～400N·m范围内扭矩激励下的动态响应进行求解。计算时，将输入转速设置为6000r/min，其他参数与3.2节相同，系统位移随扭矩变化的分岔历程如图11所示。

图11 位移随扭矩变化的分岔图

首先，从图11中可以看到，在 Tin为10～60N·m内，系统主要表现为混沌状态。图12为40N·m扭矩作用下的系统运动状态，结合相图和庞加莱截面图特点及此时系统λ1为0.0357可知，系统此时处于混沌状态，另外通过相图可知，系统此时存在双边冲击现象。

图12 扭矩Tin=40N·m时的运动状态

其次，在60～140N·m扭矩范围内，系统由前期的混沌状态突变为倍周期运动状态，如图13所示，庞加莱截面图为4个离散点，可知系统此时处于4倍周期运动状态。观察可知，系统在此阶段主要处于频繁的倍周期分岔状态，并且此时系统由双边冲击状态转为齿面冲击状态。

图13 扭矩Tin=110N·m时的运动状态

接着，当扭矩进一步升至140～300N·m范围时，系统由倍周期运动状态转为拟周期运动状态。图14为240N·m扭矩作用下的系统运动状态，结合相图和庞加莱截面图特点，可知系统在此工况下处于拟周期运动状态。但是，可以看到，系统在这一区域内存在周期窗口，如扭矩为220N·m时系统为4倍周期运动状态。

图14 扭矩Tin=240N·m时的运动状态

最后，当扭矩增至300N·m后，啮合冲击完全消失，系统进入并稳定在单周期运动状态，这与重载工况下齿轮不易脱啮的工程实际情况相符。如图15所示，扭矩在360N·m时，庞加莱截面图为单个离散点，符合单周期运动状态的特点。

图15 扭矩Tin=360N·m时的运动状态

整体而言，随着扭矩的增大，系统表现出由混沌状态向单周期运动状态转变的趋势，并且随着交变载荷的相对减弱，系统逐渐由双边冲击状态，途经齿面冲击状态，最终转为无冲击状态。可知，扭矩和转速对系统分岔特性的影响是相反的。在汽车起步工况下，行星换向机构在两者的耦合作用下将表现出复杂的动态特性。

4 结论

(1)随着转速的增大，系统在较长范围内维持在稳定的单周期运动状态，但在共振频域附近因振动幅值加剧而引发啮合冲击，进而导致频繁的倍周期分岔行为、振幅跳跃及状态突变，期间出现了倍周期、拟周期等运动状态以及状态之间的交替现象，并最终由周期运动状态突变为混沌状态。

(2)随着扭矩的增大，系统逐渐由混沌状态，途经倍周期和拟周期运动状态，最终转为单周期运动状态。相比之下，扭矩对系统随转速增加而进入混沌状态的趋势有一定的抑制作用，当扭矩达到一定值时可使系统由混沌状态退化为单周期运动状态。

(3)激励参数对啮合冲击的影响，取决于其对齿轮载荷中交变载荷(误差激励等)和平均载荷(扭矩)比例的影响。如转速上升时，交变载荷随之增大并引起啮合冲击，进而导致系统的倍周期分岔、振幅跳跃等典型的非线性表现。

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