基于不确定性准则的薄壁管耐撞可靠性设计

张 勇 徐西鹏 杨永柏 张 成

华侨大学，厦门，361021

0 引言

薄壁结构的耐撞性是现代汽车安全性设计研究的热点。碰撞事故发生时，薄壁构件受到剧烈冲击产生塑性变形，吸收大量的碰撞能量，从而提高车内乘员的安全指数［1-2］。薄壁管的变形吸能模式对车体碰撞时的加速度与碰撞力具有重要影响，与车内乘员的安全性息息相关。但是，传统薄壁结构的耐撞性设计仍局限于确定性优化设计的研究，忽略了产品设计、制造过程中的诸多不确定因素，如几何尺寸、材料属性、载荷和边界条件等［3-5］。同时，车身的运行工况常具有一定的不确定性，这些不确定因素将导致设计区间的波动，使得设计响应超出设计约束，导致设计在全生命周期管理过程中的可靠性大大降低。

同时，影响薄壁圆管耐撞性能的因素也较多，一些研究人员已针对薄壁圆管的截面半径及厚度开展了确定性耐撞性设计。但是，薄壁圆管的长度对其耐撞性也有重要影响，长度过大，碰撞过程中易出现弯曲变形而丧失吸能性，长度过小则碰撞吸能性大大降低。因此，本文以薄壁圆形件的厚度、半径及长度为设计变量，更加全面地评价其在多种影响因素下的耐撞性。国内外关于薄壁构件抗撞性的研究仍主要集中于薄壁构件的实验与仿真对比、薄壁构件的截面形状的敏感性确定性［6-10］，而对薄壁构件在不确定性因素下的可靠性却研究较少。因此，笔者以显示有限元技术为基础，将响应面近似技术与可靠性优化方法相结合，将可靠性评价准则应用于薄壁圆管的耐撞性优化设计。优化结果不仅较好地达到了对薄壁管吸能性的目的，而且使其具有较高的使用可靠性。

1 响应面近似模型方法

响应面方法是处理多变量问题建模与分析的一套统计方法［11］。它主要通过对设计空间的数据采样，探测设计变量与设计响应之间的敏感度，拟合设计变量和设计响应之间的函数关系，从而把工程优化问题转变为数值优化设计问题，以此提高优化设计效率。

响应面模型表征了一组独立设计变量与设计响应之间的近似函数关系［12-13］:

其中，xi为设计变量;M为设计变量的个数;β0、βi、βii、βij为多项式的待定系数，采用最小二乘方法可确定多项式系数的具体数值［12-13］。

试验设计是探测设计空间的主要方法之一，它直接影响到设计空间样本点选取的均匀性与合理性，以及后续响应面近似模型的精度。因此，文中采用最优拉丁方试验设计方法并编写了其采样程序［11］。相比传统的拉丁方实验设计，它能更能均匀地分布设计采样点，从而最大程度地获取了设计空间的设计信息。

2 可靠性优化设计方法

确定性优化设计过程中，材料参数、几何参数的不确定性常被忽略，使得确定性最优解只存在于一个狭窄的设计空间，导致确定性优化解的可靠度降低。此外，传统的安全系数可靠性评价方法常具有一定的经验性。因此，概率可靠性优化设计理论在工程结构的设计中得到了广泛的应用，可靠性优化设计问题的数学模型为［15］

式中，y(μ(x))、gj(x)分别为目标函数与约束函数;μ(x)为随机设计变量x的均值;k为概率约束的数目;Φ(·)为标准正态分布函数的累积分布函数;βt为期望的可靠度目标。

失效概率分布函数P(gj(x)≤0)能定义累积分布函数Fgj(0)，即为

式中，fx(x)为随机变量的联合概率密度分布函数。

由式(6)可知，可靠性分析过程需要求解一系列的多重积分，因此，难于获取可靠性分析的解析解，因此，文中采用一阶可靠性分析方法来近似求解式(6)。

综上可知，可靠性优化是一个双循环优化迭代过程，外循环为优化过程，内循环为可靠性分析过程。由于可靠性分析处于内循环中，如果直接基于有限元模型来进行可靠性分析，那么，为了求解概率约束，每次优化过程都需要多次进行有限元计算，导致可靠性优化过程耗费大量的计算成本，从而陷入由计算复杂性引起的优化设计瓶颈。因此，基于多项式响应面近似技术与概率可靠性理论，文中提出一种新颖的薄壁管耐撞性优化设计方法，加快可靠性分析速度，降低耐撞性分析问题的计算复杂度。图1为可靠性优化设计的简单示意图。

图1 可靠性优化示意图

3 薄壁管耐撞性与可靠性设计

3.1 薄壁管耐撞确定性优化模型的建立

碰撞事故发生时，车辆的一部分结构件主要用于承担各种不规则载荷的作用，以保持整个车体的结构完整性。此外，作为车体另一重要组成部分的薄壁圆管在汽车碰撞过程中发生折叠变形而吸能，从而有效控制车体的碰撞减速度，提高车辆的安全性。因此，文中以薄壁圆管的最大吸能量与碰撞力为耐撞性设计指标，建立了薄壁圆管的耐撞性有限元优化模型。整个模型由4409个节点与4184个单元构成，其截面形状及设计参数(圆管直径R与长度L)如图2所示。

图2 薄壁圆管耐撞性模型

优化设计过程中，图2所示的薄壁圆管以13.8m/s的速度撞击刚性墙，整个有限元碰撞仿真过程是在非线性有限元软件LS－DYNA中进行的。优化设计以圆管半径R(mm)、圆管厚度T(mm)、薄壁圆管的长度L(mm)为设计变量。考虑车体安全性设计为主要目标，故以薄壁圆管的吸能量E(J)为设计目标，为了减小碰撞过程中的加速度，以薄壁圆管的最大碰撞力Fmax(kN)为设计约束。此外，由于不可再生能源的日益枯竭，研究数据显示，若汽车整车质量减小10%，燃油效率可提高6% ～8%，油耗将减少10%，排放量降低5% ～6%［16］，汽车轻量化设计也是当前车体设计主要考虑的因素之一。因此，本文也把薄壁吸能圆管的质量m(kg)作为设计约束，从而使薄壁圆管的设计满足轻量化设计的要求。最后，薄壁圆管的耐撞性确定性优化问题的数学模型可以表示为

3.2 薄壁圆管耐撞性确定性优化过程

薄壁圆管的碰撞过程是一个高度非线性的动态过程，导致整个碰撞分析过程非常复杂。此外，由于整个优化过程与后续的可靠性分析过程相关，如果基于有限元模型直接进行优化设计，它调用正问题(薄壁管有限元分析)的次数将非常巨大，导致优化过程具有高昂的计算成本。因此，构建薄壁圆管耐撞性优化研究的设计约束、设计目标与设计变量之间的响应面近似模型成为解决该问题的关键。

本文结合试验设计、近似模型与小种群遗传算法对薄壁圆管的确定性优化问题进行寻优。优化设计流程如图3所示。

图3 薄壁管耐撞性与可靠性优化流程图

确定性优化中，初始设计变量R=50mm，L=300mm，T=2mm，Fmax=547kN，m=1.46kg，都不满足式(7)的设计约束条件，因而需要进行优化计算。采用最优均匀拉丁方实验设计技术，通过20个采样点构建了薄壁圆管吸能量、最大碰撞力及薄壁圆管质量的二次响应面近似模型，并在优化过程不断增加试验设计点来更新近似模型，直到达到优化的收敛准则为止。设计变量的取值、目标和约束的初始值与最优值如表1所示。

表1 设计变量和响应的初始值和优化值

由表1分析可知，确定性优化过程中，由于强加了薄壁吸能圆管的质量与最大碰撞力为设计约束，导致圆管的吸能量增加不明显，但是，优化结果却使薄壁管的最大碰撞力和质量都有了较大幅度的减小，其中最大碰撞力降低幅度达到27%，质量也减轻了约23%。但是，在确定性优化设计中，最大碰撞力的确定性最优值与设计上限之间已相当接近，如果薄壁圆管的设计变量值因不确定性因素的影响产生波动，那么确定性优化得到的最大碰撞力极有可能超出约束上限，导致确定性优化结果失效。由此可知，确定性最优解不是可靠性最优解。然而，在工程实际中，我们最关心的却是可靠性最优解。因此，针对薄壁管的耐撞性优化设计，还需要在确定性优化设计的基础上开展可靠性分析与优化。

3.3 薄壁圆管可靠性优化设计

针对薄壁圆管的可靠性优化问题实质上是一个不确定性优化设计的问题，文中运用概率不确定性建模方法。薄壁圆管可靠性优化的数值模型为

由表1可知，确定性优化结果使得薄壁圆管的最大碰撞力处于临界状态，且由可靠性分析可知，确定性优化结果仅有50%的可靠度，这完全不满足产品的使用可靠性要求，而经过式(8)的可靠性优化设计后，最大碰撞力的可靠性最优值远离设计约束上限，并具有95%的可靠度，较好满足了可靠性设计要求，最大碰撞力较初始设计减小了约38%，较确定性最优点也降低了约15%，另外，薄壁圆管的质量约束较初始设计减小了约35%，较确定性最优点也降低了约14%，但是，可靠性最优吸能值E(J)相对于初始设计而言，牺牲了约1%的吸能量，对其碰撞吸能性几乎没有影响，由此可知，可靠性优化设计不仅较好地达到提高薄壁圆管耐撞性的目的，而且使薄壁圆管的使用可靠性得到了大幅度的提高，符合车辆安全性、轻量化与可靠性设计要求。图4显示了初始设计与可靠性优化设计后圆管的最大碰撞力曲线。

图4 初始设计与可靠性优化设计碰撞力曲线对比图

4 结语

本文将试验设计、响应面近似模型与基于概率的可靠性评价方法相结合，构建了基于薄壁圆管质量工程的优化设计方法。在薄壁圆管设计之初就考虑了它的使用可靠性要求，避免了安全系数法设计余量过大的缺陷。同时，在确定性与不确定性优化过程中引入了响应面方法，用多项式数学模型替代薄壁圆管的物理有限元模型，提高了整个优化过程的计算效率。优化结果相对于初始设计而言，不仅较大幅度地提高了薄壁圆管的可靠度，而且使得它的设计更加安全与轻量化。研究结果表明:本文提出的可靠性优化设计方法具有较高的精度和较强的工程实用性。同时，可将该方法推广应用到汽车其他薄壁构件及其整车的耐撞性分析中，为整车其他零部件的安全性设计提供一种新的解决方案。

［1］钟志华，张维刚，曹立波，等.汽车碰撞安全技术［M］.北京:机械工业出版社，2003.

［2］McNay G H.Numerical Modeling of Tube Crush with Experimental Comparison［C］//SAE Passenger Car Meeting and Exposition，1988:880898.

［3］Choi K K，Youn B D，Yang R J.Moving Least Square Method for Reliability－based Design Optimization［C］//Proceedings of 4th World Congress of Structural and Multidisciplinary Optimization.Dalian，2001:1-6.

［4］Youn B D，Choi K K.A New Response Surface Methodology for Reliability Based Design Optimization［J］.Computers and Structures，2004，82(2/3):241-256.

［5］张义民，贺向东，刘巧伶，等。汽车零部件的可靠性稳健优化设计—理论部分［J］.中国工程科学，2004，6(3):75-79.

［6］Song H W，Fan Z J，Yu G，et al.Partition Energy Absorption of Axially Crushed Aluminum Foam－filled Hat Sections［J］.International Journal of Solids and Structures，2005，42(9/10):2575-2600.

［7］Chiandussi G，Avalle M.Maximization of the Crushing Performance of a Tubular Device by Shape Optimization［J］.Computers ＆ Structures，2002，80(27/30):2425-2432.

［8］White M D，Jones N.Experimental Quasi－static Axial Crushing of Top－hat and Double－hat Thin－walled Sections［J］.International Journal of Mechanical Sciences，1999，41(2):179-208.

［9］Abedrabbo N，Mayer R，Thompson A，et al.Crash Response of Advanced High－strength Steel Tubes Experiment and Model［J］.International Journal of Impact Engineering，2009，36(8):1044-1057.

［10］Zarei H R，Kroger M.Multi－ objective Crashworthiness Optimization of Circular Aluminum Tubes［J］.Thin － walled Structures，2006，44(3):301-308.

［11］张勇，李光耀.基于可靠性的多学科设计优化在薄壁梁轻量化设计中的应用研究［J］.中国机械工程，2009，20(15):1885-1889.

［12］Myers R H，Mongomery D C.Response Surface:Process and Product Optimization Using Designed Experiments［M］.New York:Wiley Publishers，1995.

［13］王海亮，林忠钦，金先龙.基于响应面模型的薄壁构件抗撞性优化设计［J］.应用力学学报，2003，20(3):61-66.

［14］张立新，隋允康，高学仕.基于响应面方法的结构碰撞优化［J］.力学与实践，2005，27(3):35-39.

［15］Gu L，Yang R J.Recent Applications on Reliability －based Optimization of Automotive Structures［C］//SAE 2003 World Congress ＆ Exhibition.Detroit，MI，USA，2003:2003-01-0152.

［16］燕占秋，华润兰.论汽车轻量化［J］.汽车工程，1994，16(6):375-383.