拓扑优化结构再设计中的神经网络求解方法

陈高勇，何 彬，赵 刚

（1.武汉科技大学机械自动化学院，湖北 武汉 430081；2.湖北理工学院机电工程学院，湖北 黄石 435000）

1 引言

结构优化可分为尺寸优化、形状优化和拓扑优化，其中拓扑优化是一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标，在给定的区域内对材料分布进行优化的数学方法［1］，由于设计出的结构性能更好，被学者们及工程人员大量研究和使用，以增加结构强度、改变结构固有频率或减少结构重量［2-6］。拓扑优化技术设计出的结构通常较复杂，导致了结构加工困难。为了降低拓扑结构的加工难度，文献［7］将汽车保险杠横截面拓扑结构中的孔洞用长方形孔洞替代；文献［8］将汽车转向垂臂的拓扑结构中孔洞改成长方形和圆形孔洞；文献［9］在设计火箭外壳的挂飞结构时，以长方形为设计基础在结构上添加孔洞。目前学者们普遍依据拓扑结构进行二次设计，将结构中不利于加工的孔洞进行形状及参数的调整，然而在设计时都选择与拓扑结构中孔洞形似的规则图形作为设计基础，当结构中孔洞极不规则时，这种选择方法就不一定是最优解。这里提出一个客观的评价方法，以结构的性能改变最小为优化目标，寻求对拓扑结构中孔洞规则化的最优解。

2 结构拓扑优化

这里提出的是基于拓扑结构的设计方法，需要一结构作为设计的基础。此处选取一案例进行分析，如图1 所示。此结构的长L、宽W、厚T分别为90mm、45mm、1mm；材料弹性模量E=200GPa；泊松比系数v=0.3；材料用量f=40%。结构左端固定，垂直向下的力F1=200N 均匀作用在右侧面上方（4×1）mm，垂直向下的力F2=100N 均匀作用在底面正中间区域（4×1）mm，不考虑材料自重。

图1 材料尺寸及边界条件Fig.1 Material Size and Boundary Conditions

采用O.Sigmund 编写的MATLAB 程序［10］将图1 进行拓扑结构优化处理。将该结构划分为（90×45）个单元，由于程序中的弹性模量E取值过大会影响单元密度值xi的迭代速度，设程序中弹性模量E=1000Pa（程序中弹性模量E的改变不影响最终优化结果），可得出拓扑优化结构，为了使结构清晰，将结构中的少量中间密度单元的xi进行修改：当xi＞0.2时，令xi=1；当xi＜=0.2时，令xi=0.001。得出结果，如图2所示（由于该图形是由（90×45）个单元组成，因此会有锯齿边界现象）。此时拓扑结构体积V=1755mm3。

图2 MATLAB程序拓扑优化结构图形Fig.2 Topology Optimization Structure Graphic in MATLAB Program

3 结构二次设计

3.1 结构二次设计原理

拓扑优化完成后，需对拓扑优化图形进行二次设计。将图形中白色部分看作为孔洞。选取四种形状作为设计基础，用于替换拓扑结构中的孔洞，如图3所示。每个图形都有对应的变量a和b用于描述图形的大小，如表1所示。

表1 变量a，b在图形中的含义Tab.1 The Meaning of a and b in Graphics

图3 基本设计图形Fig.3 Basic Graphics Used to Design

设β为所有图形围绕该图形形心顺时针旋转的角度，将以上四个图形（a），（b），（c），（d）依次编号为1～4。以柔顺度比例系数c作为优化目标，图形编号n、尺寸a，b以及旋转角β为自变量，当需对某一不规则孔洞进行替换时，可以建立优化模型：

式中：C和V1—规则孔洞替代不规则孔洞后的结构柔顺度及体积；V0—初始材料体积；F和U—当前工况下的结构力场及结构位移场；xi—第i号单元的密度值；p—惩罚因子；Ui—第i号单元的位移矢量；Ki—xi=1时单元刚度矩阵；V—初始拓扑结构体积；Vmax—需被替换的不规则孔洞的体积；V2—规则图形产生孔洞的体积；k—等比缩小系数；Vmin—设定规则孔洞体积的最小值。优化过程流程图，如图4所示。

图4 二次设计流程图Fig.4 Secondary Design Flow Chart

3.2 结构二次优化步骤

以图2为例，惩罚因子p=3时，用式（2）可计算出此时结构柔顺度C=4106.2。用MATLAB编程计算出拓扑优化图形孔洞的大小及形心坐标数据，并按照孔洞体积大小进行编号。编号及坐标轴，如图5所示。并得出数据，如表2所示。

表2 拓扑优化图形孔洞参数Tab.2 Hole Parameters in Topology Optimization Graphic

图5 结构图形中孔洞编号Fig.5 Hole Number in Structural Graphic

当被替换的孔洞的体积Vmax、孔洞对应的形心坐标（x，y）、等比缩小系数k、孔洞最小体积Vmin确定后，用公式可确定孔洞参数n，a，b，β的取值范围，为了使n，a，b，β参数产生的图形孔洞对原孔洞有较好的代替效果，需对规则图形孔洞进行限制。令规则图形孔洞满足条件：（1）替换后的规则图形孔洞在原材料范围内（可能在边界处产生尺寸极小的边界材料，后续通过调整孔洞参数及形心坐标消除）；（2）替换后规则图形孔洞不与其他孔洞接触。为了保证n，a，b，β的精度并且n，a，b，β参数取不同值时所对应的c值有较大的变化，从而使后续神经网络有较好的拟合效果，令a，b单次变化最小值为0.5mm，β单次变化最小值为3o。遵循以上规则就能求出所有n，a，b，β参数组合。例如，比例系数k=0.95、Vmin=k7×Vmax时，对3号孔洞进行替换时，共有929组符合条件的参数组合。n，a，b，β取值为［1，8.5，10.5，42］时对应的优化结构图形，如图6所示。孔洞替换的过程为：①将需要替换的孔洞内的全部单元的xi值改为1；②依据n，a，b，β组合的值及原孔洞的形心坐标构建出规则图形；③将中心点在规则图形内的所有单元的xi值改为0.001。因此，程序上进行二次优化的图形依旧会有锯齿边界现象。但在ANSYS上依据n，a，b，β参数组合进行建模时则不会出现此现象。

图6 3号孔洞替换后的结构图形Fig.6 Structure Graphic After Hole 3 is Replaced

当结构图形确定后，可得出结构的整体体积V1以及全部单元的密度值xi（黑色部分xi=1，白色部分xi=0.001），结合初始的材料条件、边界条件，根据式（2）可求出该结构的柔顺度C，再结合式（1）可求出柔顺度比例系数c。经计算图6结构的c=1906.2。

3.3 神经网络求解

计算全部n，a，b，β参数组合对应的c值需要很大的计算量，为了简化计算，采用BP 神经网络算法对c值进行拟合。以n，a，b，β参数组合作为输入，其对应柔顺度比例系数c为输出。取n，a，b，β参数组合及对应c值的总数量的10%为训练样本，如表3所示。另选取10组参数组合为测试样本，设神经网络隐层第一层节点数为20；隐层第二层节点数为40；训练次数为1000；训练精度为1e-5。拟合效果，如图7所示。根据测试样本（表4）可看出预测c值与实际c值十分接近。训练的神经网络可精确模拟出全部n，a，b，β参数组合的c值，并求出当n，a，b，β为［4，14.0，9.5，45］时，c为最小值1871.6，对应的结构图形，如图8所示。

表3 神经网络训练样本Tab.3 Neural Network Training Samples

表4 神经网络测试据Tab.4 Neural Network Test Data

图7 神经网络拟合图Fig.7 Neural Network Simulation Diagram

图8 3号孔洞替换后的最终结构图形Fig.8 Final Structure Graphic After Hole 3 is Replaced

依次对图形中1～7号孔洞依次进行替换，最终优化图形，如图9所示。并得出以下孔洞参数，如表5所示。此时结构体积V=1943mm3，相对初始拓扑结构增加10.71%，结构柔顺度C=3903.3，同比减少5%。

表5 二次设计后孔洞参数Tab.5 Hole Parameters After Secondary Design

图9 最终设计结构图形Fig.9 Final Structure Graphic After Secondary Design

4 结构分析

为了验证了该方法的可行性和有效性，依照表5中数据将结构在ANSYS软件中重建，同时将图2结构重建作为参照物，二者的材料系数及受力条件与初始材料（图1）保持一致，将结构进行应力分析后得出结果，如图10、图11所示。比较得出二次设计后的结构应力图与初始拓扑结构应力图相似，并未出现由结构改变而引起的应力集中现象，验证了结构的实用性。

图10 ANSYS中二次设计结构应力图Fig.10 Stress Graphic of Secondary Design Structure in ANSYS

图11 ANSYS中初始拓扑结构应力图Fig.11 Stress Diagram of Initial Topological Structure in ANSYS

5 结论

以拓扑结构为基础进行二次设计，将规则形状孔洞取代拓扑结构中的不规则孔洞，从而使得优化后的结构便于加工。通过有限元方法计算出规则孔洞的形状及大小与结构性能之间的关系并制作出样本，通过样本用神经网络方法找到最佳性能值及其对应的孔洞参数，从而完成不规则孔洞的替换。实验表明经过二次设计后的拓扑结构性能与初始拓扑结构性能相比，结构性能略微下降但增强了结构的易制造性。