带气膜阻尼悬臂平板振动特性的统计能量分析

时间：2024-07-28

王小峰，崔东泽，张鸿，唐云冰

（1.中国民航大学中欧航空工程师学院，天津 300300；2.Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes，École Centrale de Lyon，Écully，69134，France；3.Groupe d'Acoustique de l'Université de Sherbrooke，Université de Sherbrooke，Québec，63865，Canada；4.常州环能涡轮动力有限公司，江苏常州 213125）

1 引言

航空发动机风扇叶片通常在高频率下运行，因此将气膜阻尼系统应用于航空发动机风扇叶片中，必须考虑高频振动中气膜阻尼系统对风扇叶片的阻尼效果。因此，国外学术界较早且系统地开展了关于抑制航空发动机叶片疲劳损伤技术的研究［1］，当时普遍认为气膜阻尼技术能够应用于燃气涡轮发动机，并具有极为广阔的应用前景［2-9］。文献［2-5］设计了带有气膜阻尼的涡轮风扇叶片，并通过有限元分析软件进行了模拟计算。对带气膜阻尼结构的叶片的振动响应进行了分析，证明了气膜阻尼结构的阻尼特性与吸振薄板的固有频率密切相关。文献［6］基于牛顿剪切流理论建立了气膜阻尼运动特性的理论模型，研究了气膜压力和气膜厚度的对阻尼特性的影响，并对该模型进行了验证。文献［7］基于平板振动理论建立了封闭式气膜阻尼系统的简化模型，分析了气膜阻尼的振动特性，并研究了气膜阻尼系统的能量耗散方式。文献［8］应用接触式传感器得到了不同大气压下带气膜阻尼的幅频曲线，从而验证了气膜阻尼振动的抑制性能。文献［9］将气膜阻尼系统简化为刚体与流体的组合模型，将气膜内部流体假设为粘性气体并推导得出了气体阻抗；并在试验中通过改变环境压强，得到了不同压强下气膜阻尼系统的阻尼比。结果表明：吸振薄板与平板间的结构摩擦力并不是振动板能量耗散的主要来源，气膜内部流体通过挤压发生运动才是振动能量损耗的主要原因。

国内对气膜阻尼的研究尚处于起步阶段。文献［10］提出了薄膜阻尼处理位置的最优化选取方法，并通过试验验证该方法的有效性。文献［11］基于能量方程和挤压间隙流理论建立了封闭式气膜阻尼的简化模型，并通过该模型获得了气膜阻尼结构的等效阻尼系数以及等效刚度系数，研究了不同气膜阻尼结构参数对振动抑制效果的影响。

国内外针对气膜阻尼的阻尼特性已经开展了大量研究，但对气膜阻尼的机理研究不够充分，尤其是对气膜阻尼高频段内的阻尼特性研究较少。并且，当前通用的边界元方法和有限元方法在中高频段内有着明显弊端：计算模型中的大量的单元需要进行大量的计算，并占用极大的计算机内存资源，才能得出可接受的预测精度［12］。因此，国际上已经开展了替代或者改进有限元分析方法的相关研究，其中统计能量分析方法（Statistical Energy Analysis，简称SEA）的研究较为成熟［13］。

因此在多物理场机理研究的基础上，以气膜阻尼系统内流体压强与流体运动速度的分析为基础［17］，基于国内外现阶段研究成果，将气膜内气体的流动分别等效为可压缩流体和不可压缩流体，通过各组件的材料密度参数、阻尼比和气膜阻尼结构的几何参数来更加深入地描述气膜阻尼系统的振动特性，最终根据统计能量分析法推导出气膜阻尼系统的阻尼比方程，进一步分析气膜阻尼系统在高频振动过程中的阻尼机理。通过气膜阻尼在中高频段内的阻尼比，研究气膜阻尼结构参数对平板振动特性的影响，为航空发动机风扇叶片气膜阻尼结构设计提供理论依据和技术支撑。

2 阻抗传递模型

统计能量分析方法对低自由度及高自由度系统都能够进行有效的分析：“统计”强调所研究的系统中各部件具有已知的动态变量分布，从而可以用统计的形式进行分析，如压强分布，速度分布等；“能量”表示该方法中所关注的是和能量相关的动态变量，如振动位移、压力等；“分析”用于强调该方法是一个研究框架，具有多种分析形式，而并不是一种特定的技术［13］，因此，统计能量分析方法并无固定的分析形式。因此以气膜内部的流固耦合分析为基础，以气膜内部流体的压强分布和振动速度为主要变量进行分析。统计能量分析方法需要对气膜阻尼系统中动态能量对流动和存储过程进行深入分析：吸振薄板和平板的振动能量来源于外部激振力，整体系统的振动能量在吸振薄板和平板之间传输，并通过气膜阻尼进行耗散。统计能量分析方法的分析灵感来源于线性并联电路理论，吸振薄板和平板之间能量的传输作用类似于电流在电路中的传输，气膜阻尼对能量的耗散类似于电阻，并研究各部件的阻抗的传递［16］。

带气膜阻尼平板的真实结构示意图，如图1所示。根据吸振薄板的振动速度方程V（kp，ω）=Vcoskpeiωt能推导得出气膜内部流体的压强分布方程P（kP，ω）=PcoskPeiωt。因此，振动速度和压强分布间的阻抗可定义为：

为了简化后续的机理分析，只考虑气膜内部流体在y方向上的速度变化。在统计能量分析方法的机理模型中，假设吸振薄板与平板间距离为h，同时先假设气膜内部流体是粘性的，流体的运动特性符合不可压缩的泊肃叶流动特性，进行初步的分析，如图2所示。

图2 统计能量分析方法的坐标图Fig.2 Coordinate Diagram of Statistical Energy Analysis Method

图3 统计能量分析方法的阻抗传递图Fig.3 Impedance Transfer Diagram of Statistical Energy Analysis Method

考虑气膜内部流体的流动连续性方程［17］，可得气膜单位面积的阻抗方程，如式（2）所示。

式中：μ、ρ—气膜内部流体的动态粘度、流体的密度；k—气膜内部流体受吸振薄板振动影响所产生的波数。

图中：Za—气膜内部流体的单位阻抗；Zt—吸振薄板的单位面积阻抗；Zf—气膜阻尼系统的单位面积阻抗。

将吸振薄板视为附加在平板上的质量块，吸振薄板的单位面积阻抗Zt等于iωm2，其中m2是吸振薄板的单位面积质量。由于气膜内部流体的压强分布在厚度方向上是恒定的，单位面积的阻抗Zf方程式（3）为：

3 气膜阻尼的统计能量分析

由方程式（2）可知：当气膜内部流体的粘性力主导流体的运动时，气膜内部流体的惯性影响较小（即ωρ＜12μ/d2的假设），气膜中的流体速度呈抛物线分布。然而，增加气膜厚度h或振动频率ω将使得该假设前提不再成立，并进一步导致流体的速度剖面变平缓［13］。因此，在统计能量分析方法中，暂时不定义流体运动的速度剖面形状。统计能量分析包括确定不可压缩运动流体中产生的与时间相关的压力和速度场，该流体在靠近平板和吸振薄板的两个壁面间流动，对于小振幅的不可压缩运动，二维坐标下的Navier-Stokes方程和连续性方程可写作如下形式：

式中：ν（ν=μ/ρ）—流体的运动粘度；p—压力；Ux、Uy—气膜内部y、z方向上的流体速度。

为确定气膜内部流体的运动速度与压强分布，统计能量分析方法中需要考虑吸振薄板的振动速度：

假设气膜内部流体受平板与吸振薄板的挤压以波的形式进行流动［13］，气膜内部流体的运动速度方程与压强分布方程为：

式（8）～式（9）可用于计算y=d处从边界反射的波，即得式（2）中的波数k：

式中：δ=—气膜内部流体的附面层厚度方程。

气膜内部流体受吸振薄板振动影响所产生的波数方程（11）与流体受振动壁面挤压所产生的流动速度和压强之间的传递阻抗有关，也影响气膜内部流体受到的泵吸效应。波数方程（11）中的波数与流体的粘度有关，但与流体的密度或压强分布无关。当气膜厚度较小时，平板壁面的附面层与吸振薄板的附面层重叠时，气膜内部流体的运动速度分布呈抛物线型分布剖面，这种粘性波仅限于气膜厚度小于等于边界层厚度δ的2倍范围内的分析。

通过将波数方程代入式（8）～式（10）并引入无滑移边界条件方程组式（12）、式（13）：

结合无滑移边界条件方程组，即可求解得到气膜内部流体在x、y方向的压力分布方程和流体速度分布方程。因此，在不可压缩流体中，气膜内部流体的单位面积阻抗为：

在低频振动过程中，气膜内部流体的运动特性接近不可压缩流体。然而振动频率增加到临界振动频域以上时，不可压缩流体模型无法分析空气的弹性力与惯性力，不可压缩流体模型不再适用［7］。因此，考虑可压缩流体的Navier-Stokes方程和连续性方程如下：

式中：c—流体中的声波传递速度。

假设气膜内部流体的压强分布方程和流体速度分布符合式（8）～式（10），可以表明：气膜内部流体中产生了两种类型的振动波。波数方程k分别为：

式（18）中的波数与气膜内部流体的粘性相关，而式（19）中的波数与气膜的泵吸效应有关。如果式（19）中的v=0，则波数k的表达式与式（11）相同。

气膜内部流体的单位阻抗方程为［16］：

不可压缩流模型计算得出气膜内部流体的单位面积Za'的实部、虚部，以及可压缩流体模型计算得出的变化曲线，如图4所示。

图4 可压缩流体模型中的传递阻抗实部和虚部Fig.4 Real Part and Imaginary Parts of Transfer Impedance in the Compressible Fluid Model

分析曲线可知：各个传递阻抗均存在一个相同的临界频率，约1800Hz。在临界频率以下，阻抗Za的虚部为正值，这是与流体的可压缩性相关的；在临界频率以上，Za的虚部为负值，这是由泵吸效应所引起的流体惯性运动。因此，在低频振动过程中，k≈±ikp与不可压缩流体的性质吻合，即空气受挤压产生泵吸效应，流固耦合分析的结论一致［7］。在平板的临界频率以下，流体受吸振薄板与平板的挤压，气膜内部流体能量耗散较小；在临界频率以上，平板与吸振薄板的相互运动将能量辐射到流体层中，流体快速地循环流动［16］。

式（2）解释了不可压缩流动在低频段的振动特性和阻尼特性，而式（20）解释了高频段流体的可压缩特性。根据式（3）计算所需气膜阻尼系统的传递阻抗和附加质量的传递阻抗，对于可压缩流体模型，气膜阻尼系统的阻抗方程为Zf=iωm2Za/（iωm2+Za）；对于不可压缩流模型，气膜阻尼系统的阻抗方程为Zf'=iωm2Za'/（iωm2+Za'），m1是平板的单位面积质量。

不可压缩流体模型中的阻抗zf'和可压缩流模型中的阻抗zf的绝对值曲线，如图5所示。在低频段内，两个阻抗的值相同；在临界频率以上，可压缩流模型的阻抗急剧增加，因此可知：在临界频率以上，气膜内部可压缩流体的往复运动导致了泵送效应，耗散了更多的振动能量。

图5 两种流体模型总阻尼比的绝对值对比Fig.5 Absolute Comparison of the Total Damping Ratio of the Two Fluid Models

4 气膜阻尼系统的阻尼比

4.1 不同流体模型的影响

气膜阻尼耦合系统耗散的能量可以由平板的振动速度计算得出［19］：即耗散能量=0.5（|Vp|2/ω）Re（Zt）。然而，如图6所示。气膜阻尼系统阻尼比的计算需要考虑整个系统存储的峰值能量，包括吸振薄板、平板和气膜内流体的内能。气膜内部流体的能量在临界频率以下是不可忽略的，系统中的能量通过气膜在气膜阻尼系统内部流体进行传递。

图6 阻尼比的计算模型Fig.6 Computational Models of the Damping Ratio

图6考虑到气膜阻尼系统由弹簧-质量块构成，给出了气膜阻尼系统阻尼比的计算模型，其传递阻抗Za［19］，如图4所示。因此，通过计算可得气膜阻尼系统的阻尼比方程：

其中，分子部分表示振动耗散能量，分母部分为系统动能。

对于不可压缩流体模型，式（22）中分母的右项可化简为ωm2，该简化过程不会对总阻尼比的计算产生较大影响。然而，对于可压缩流体模型，吸振薄板的单位面积阻抗Zt在临界频率以上的频域内开始增大，因此式（22）中分母中的右项表面在该频域内气膜内部流体中存储的能量传递更加快速。因此，气膜阻尼系统的阻尼比曲线，如图7所示。在与阻抗Zt的实数部分相对应的临界频率（约1500Hz）处没有显示出较大的峰值［19］。

图7 平板与吸振薄板间阻尼比的传递Fig.7 Transfer of the Damping Ratio Between Plate and Thin Skin

求解式（22）需要对Navier-Stokes方程组进行求解。当粘性力占主导，且气膜厚度小于等于整体附面层厚度时，基于气膜内部流体速度呈抛物线型分布假设，可建立阻尼比的近似求解模型。然而，在临界频率以上，因为气膜内部压强分布的影响因素更为复杂，虽然气膜内部流体速度分布的抛物线流假设并非唯一的速度分布方式，但在气膜厚度方向上仍须有一个恒定的压力，同时气膜内部流体速度的抛物线流型分布假设的结果具有正确的数量级，因此在第三章的基础上进行后续计算是可行的。

4.2 基于统计能量分析法的阻尼比计算

假设气膜运动波数与平板的模态相近，仅在一个振动模态下计算能量的存储和耗散，因此可以求得平板在任意振动频率下的阻尼比。然而，在临界频率以上，吸振薄板的振动模态难以确定，平板和吸振薄板间的挤压效果难以计算。

气膜阻尼引起的吸振薄板阻尼比η2的计算方法与平板的阻尼比η1的计算方法相同（式（22））［21］。在吸振薄板的自由波数下，平板的刚度比较大，因此视其为刚性边界或封闭边界。阻尼比η2为：

式中：Za—平板的自由波数下计算得出的。

平板与吸振薄板耦合系统的阻尼比可参考图7中所示的统计能量分析计算模型，并采用单位面积的阻抗方程式（3）的并联计算方法进行计算，气膜阻尼系统的总阻尼比为：

式中：ε1、ε2—分别平板和吸振薄板的时均内能；η1—气膜阻尼系统的阻尼比（见式（22））。

在统计能量分析方法中，需要考虑到吸振薄板和平板通过气膜产生的耦合作用，平板与吸振薄板之间持续地进行能量的快速交换，平板与吸振薄板各自存在一个阻尼比［2］。

因此，对式（24）进行进一步的计算，使其表示为整体系统的阻尼比的耦合形式：

对于平板与吸振薄板之间的耦合作用，吸振薄板和平板之间的耦合阻尼比方程为［22］：

式中：a、h、m、C1—吸振薄板的面积、厚度、单位面积质量和大气声速。如果某系统可以等效分解为N个子系统间的耦合，则该系统的耦合阻尼比为η12'=Nη12。该假设的成立前提是气膜的最大振幅不超过波长的一半。因此气膜阻尼系统的耦合阻尼比为：

式中：l—气膜长度。阻尼比η21，定义为：

式中：n1、n2—平板和吸振薄板的模态密度。

平板的模态密度方程，如式（29）所示。

考虑到平板与吸振薄板间存在耦合，可以预先对气膜阻尼系统的总阻尼比进行简单估算。因此，在式（24）中：假设εl=ε2，可得气膜阻尼系统的阻尼比方程为：

5 气膜阻尼的统计能量分析

针对不可压缩流体模型与可压缩流体模型，可以通过统计能量分析法得出两种方式，用于计算气膜阻尼系统阻尼比。为了验证两种模型的预测精确度，首先，通过有限元方法可以获得低频段和高频段中气膜阻尼系统的阻尼比结果［6］，再通过不可压缩流体模型计算得到气膜阻尼系统阻尼比和有限元分析中的结果对比，如图8所示（气膜厚度0.25mm）。可知：气膜阻尼系统的阻尼比随着频率的增大，先增大随后减小，最后达到稳定。

图8 气膜阻尼系统的阻尼比（0.25mm）Fig.8 Damping Ratio of the AFD System（0.25mm）

可压缩流体模型计算所得气膜阻尼系统阻尼比的结果和图8中有限元分析结果的对比［6］，如图9所示。

图9 气膜阻尼系统的阻尼比（0.25mm）Fig.9 Damping Ratio of the AFD System（0.25mm）

可知：可压缩流体模型与不可压缩流体模型计算所得阻尼比在整个频域段内的整体变化趋势相同，随着频率的增大，气膜阻尼系统的阻尼比逐渐增大，在虚线后逐渐降低的变化趋势。因此，可确定气膜阻尼系统存在临界频率。

综合对比图8、图9，可知：通过统计能量分析方法，不可压缩流体模型与可压缩流体模型都能够较好地预测气膜阻尼系统的阻尼比，但在中高频段，尤其是（2000～4000）Hz频域内，不可压缩流体模型的结果与有限元结果出现了偏离，可压缩流体模型能够更好地预测气膜阻尼系统的阻尼比。

增大气膜厚度到0.67mm，通过可压缩流体模型计算气膜阻尼系统的阻尼比并与有限元分析结果进行对比［6］，如图10所示。结果表明：随着气膜厚度的增大，气膜阻尼系统的阻尼比减小，这是由于气膜厚度增大时，流体流经粘性附面层的速度减小，振动能量的粘性损失变小。

图10 气膜阻尼系统的阻尼比（0.67mm）Fig.10 Damping Ratio of the AFD System（0.67mm）

增大气膜厚度到0.8mm时的阻尼比，如图11所示。综合分析图10、图11可知：当气膜厚度较大时，在较低频率范围（0～500）Hz，基于统计能量分析法的阻尼比计算结果不准确。深入分析可知：在临界频率以上，吸振薄板可能由于其自身的独立振动产生额外的能量耗散形式，吸振薄板与气膜在振动过程中可能存在更多的耗能机制，如：材料阻尼、声辐射、吸振薄板和平板连接处摩擦产生的能量损失等。

图11 气膜阻尼系统的阻尼比（0.8mm）Fig.11 Damping Ratio of the AFD System（0.8mm）

结合图4中的泵吸效应，通过对统计能量分析方法结果的深入分析可知：由于气膜阻尼系统的阻尼比与平板和吸振薄板的临界频率都有关联，因此在平板振动的临界频率以下，流体泵吸效应所引起的能量耗散快速下降；高于临界频率时，泵吸效应对整体系统能量耗散的贡献仍然很高，因此平板振动临界频率前后的阻尼比水平都相当高。为使气膜阻尼系统具有更好的抑振效果，需要确保泵吸效应能耗散更多的振动能量，可进行设计使平板具有更高的临界频率。