一种六自由度机械手动态参数辨识的研究

祁晓玲，张晓华

（1.山西铁道职业技术学院，山西 太原 030013；2.中北大学机械工程学院，山西 太原 030013）

1 引言

随着机器人技术的不断进步，机械手在应用过程中通常需要先进的模型控制算法来实现高精度、高速度的性能特点［1-2］，然而，许多机器人制造商并不完全提供这些动力学参数，一般需要通过实验识别或校准来获取这些参数。

在机器人动态参数辨识方面，国内外研究学者提出了许多机器人动力学模型。文献［3-4］基于非线性逆动力学模型，对3-RRRU刚柔耦合并联机器人轨迹跟踪精度提出了优化方法，通过仿真和实验验证了该模型在轨迹跟踪精度的有效性。文献［5］以爬壁机器人为研究对象，建立了多履带协调运动下的动力学模型，比较了在不同密封方式下机器人的运动阻力，并通过仿真和样机实验表明了所提方法的有效性。文献［6］针对SCARA机器人的运动精度，基于拉格朗日动力学方程建立了机器人动力学模型，得出了关节力矩和待辨识参数的线性表达，通过实验表明所辨识的关节力矩具有理想的效果。文献［7］针对单臂SCARA机械手，提出了等效的运动学模型，并采用拉格朗日法求出了动力学方程的正反解，通过仿真实验验证了所建模型的有效性。文献［8］针对驱动机器人的第（3～6）轴，提出了轨迹的辨识方法，通过设计负载辨识的有限项傅里叶级数，减少了机器人在运动过程中的耦合误差，通过仿真实验验证了所提方法的辨识效率和辨识效果。常用的动态参数估计方法有最小二乘估计方法［9］和最大似然估计方法［10］，关节角度和转矩/电流数据一般可以直接测量，但关节速度和加速度必须估计，常见的估计速度和加速度的方法包括观测器/估计器、零相位带通滤波器、低通滤波器和卡尔曼滤波器［11-12］。

本研究针对六自由度机械手动态参数的辨识，提出了一种用于动态参数识别的激励轨迹优化方法。采用逆动力学模型和最小二乘（LS）估计方法估计机械臂的动态参数，通过改进型的傅里叶级数产生持久的激励轨迹，在保留基本动力学参数的基础上，利用Hadamard不等式对动态参数进行估计，减少求解最优参数的复杂度和计算时间。对六自由度TX-90机器人进行了模型验证，利用扭矩预测精度验证了动力学参数的可靠性，并与现有方法进行了比较，结果表明所提方法具有较好的动态参数辨识效果。

2 机械手动力学参数辨识

2.1 机械手动态识别模型

本研究的机器人具有6 个旋转关节的串联结构，其连杆机构，如图1所示。MDH参数，如表1所示。

表1 MDH参数Tab.1 MDH Parameters

图1 机器人的连杆机构Fig.1 Link Mechanism of Robot

本研究采用逆动力学模型和最小二乘（LS）估计方法来估计机械手的动态参数，通过零相位低通滤波器处理位置数据，并通过中心差分算法计算速度和加速度。加速度通过鲁棒局部多项式回归（RLOSS）平滑器进行处理，整个识别过程，如图2所示。

图2 参数的识别流程图Fig.2 Flow Chart of Parameter Identification

通过欧拉-拉格朗日或牛顿-欧拉公式［13］推导n个连杆刚体机器人的动力学模型，机器人关节空间的数学模型为：

式中：fv—粘性的n×n维常数对角矩阵；fc—库仑摩擦参数；sgn（·）—符号函数。改进的Denavit和Hartenberg（MDH）［14］可以将式（1）改写成线性参数化形式：

基本参数是用于参数化动力学方程中可识别参数的最小集合，它们可以通过线性关系或QR分解法对标准参数重新分组来获取，对具有可识别基本参数的动力学方程进行求解：

2.2 最小二乘参数估计

利用最小二乘估计来求解超定方程组，矩阵的符号是：

估计误差的协方差矩阵为：

σls(j，j)为σls的第j个元素，相对标准偏差（RSD）的第j个参数为：

在本研究中，采用最小二乘法（LS）对动态参数进行计算。

2.3 信号处理

采集的数据（例如，位置和扭矩数据）可能会受到噪声的影响，减小噪声对W和Γ的影响对于提高参数估计结果精确性具有重要作用。本研究中，通过零相位低通滤波器（正向和反向IIR巴特沃思滤波器）计算位置，通过中心差分算法计算速度和加速度，然后利用MATLAB鲁棒局部多项式回归（RLOSS）光滑函数去除异常值和噪声，并消除扭矩数据的噪声和波动。为了去除无效样本，通过滤波器对W和Γ进行采样。

3 实验设计

实验设计包括两个步骤：第一步是轨迹参数选择，第二步是参数优化。本研究提出的改进型傅里叶级数产生持久的激励轨迹，能够大幅减少优化过程的计算时间。

3.1 轨迹参数化

每个关节的轨迹由N个正弦函数和余弦函数组成，第i个关节的轨迹位置qi、速度，加速度为：

式中：ωf—基频；qi0—激励参考轨迹关节位置的偏移量。为保证轨迹的周期性，所有关节具有相同的基频，因此，每个轨迹包含2N+1 个参数。参数al和bl为余弦函数和正弦函数的振幅，可以通过优化或试错来确定。

3.2 轨迹优化

激励轨迹q*(t)可以表述为：

此外，约束式（14）可以写为：

激励轨迹的优化一般可以通过最小化观测矩阵W或log{det(WTW)}来处理［16］。

3.3 基于Hadamard不等式的目标函数

根据Hadamard不等式［17］，正定矩阵的行列式小于等于其对角项的乘积。对于m×n矩阵W，通过Hadamard's 计算行列式上界的复杂度为O（n），计算WTW的行列式复杂度为O（mn2+n3），计算W的条件数复杂度为O（mn2）。为了估计动态参数，通常需要获取上千个样本，在本案例中，观测矩阵W的维数为（11250×52），应用Hadamard不等式可以减少寻优参数的复杂性和计算时间，将在后续讨论中进行比较分析。在应用Hadamard不等式，存在：

实验过程中，持续激励轨迹被设计为al≠0，bl≠0且N=5，优化问题可以通过MATLAB 优化工具箱进行处理，机器人的关节位置，速度和加速度，如表2所示。

表2 机器人关节参数Tab.2 Robot Joint Parameters

每个环节用于优化的初始条件是随机生成的，能够生成具有最优参数的参考激励轨迹，典型的关节位置、速度和加速度轨迹，如图3～图5所示。图4、图5中的参考速度和加速度的起点和终点为零或接近于零，结果满足约束（14e）和约束（14f）。

图3 典型参考轨迹位置Fig.3 Typical Reference Track Position

图4 典型参考速度Fig.4 Typical Reference Speed

图5 典型参考加速度Fig.5 Typical Reference Acceleration

4 实验和验证

为了验证所提出的估计算法和轨迹，对TX-90机器人的动力学参数进行辨识。

4.1 实验测试平台

TX-90机器人具有6个旋转关节的串联结构，其实物图，如图6所示。其MDH参数，如表1所示。

图6 TX-90机器人实物图Fig.6 Physical Map of TX-90 Robot

定义关节i的位置变量为θi。从关节2和3的实测值中得到关节2 和关节3 的变量［18］，θ2=θ2staubli-π/2，θ3=θ3staubli+π/2。TX-90机器人与其他的机器人在最后两个腕关节有所不同，TX-90中的最后两个腕关节之间没有耦合效应。利用软件SYMORO+来计算模型的自定义符号表达式［19］，对于TX-90机器人，可以将第1节中讨论的标准参数的子集重新组合，生成一组简化的基本参数如下：

其余的标准参数不能重新组合，被认为是基本参数，与每个连杆相关的基本参数，如表3所示。

表3 连杆基本参数Tab.3 Basic Parameters of Link

4.2 数据采集与滤波

选择轨迹的基频为0.1Hz，即激励轨迹的周期为10s，机器人控制系统在跟踪参考轨迹的同时采集关节位置和力矩（以62.5Hz的频率同步采样）。起始和结束位置、速度和加速度是相同的，重复持续激励轨迹三次，因此得到625个样本用来估计动态参数。

4.3 参数估计

利用测量的关节位置和估计的速度和加速度样本，构造观测矩阵W。所有样本的观测矩阵条件数均为108，表明系统处于良好的激励状态。采用标准最小二乘（LS）估计方法获得TX-90机器人的动力学参数。由于某些变化不大的动态参数对产生转矩没有显著贡献，因此它们仍然不易识别，可以剔除，以简化动力学模型。并剔除式（9）中得到的RSD较大的动力学参数，得到TX-90机器人动力学模型的29个必要参数，估计的动态参数，如表4所示。

表4 动态参数的估计Tab.4 Estimation of Dynamic Parameters

4.4 仿真验证

在将动力学参数应用于控制前，模型验证是一个必不可少的步骤，通过对实测扭矩Γ和估计扭矩进行比较，生成新的验证轨迹，如图7所示。激励轨迹和验证轨迹的估计和测量扭矩，如图8、图9所示。

图7 轨迹的验证Fig.7 Verification of the Trajectory

图8 给定激励轨迹下的扭矩比较Fig.8 Torque Comparison Under a Given Excitation Trajectory

图9 验证轨迹下的扭矩比较Fig.9 Torque Comparison Under Verification Trajectory

在给定的激励轨迹下，运行持续激励轨迹和验证轨迹的估计和测量力矩分别，如图8、图9所示。图8、图9中的一条点线为预测误差，其中一条实线是测量扭矩，一条虚线是预测扭矩，另一条虚线是扭矩误差，可以看出预测误差非常小。然而由于低速时的摩擦力，在速度过零时预测误差激增。同时根据表5的激励轨迹和验证轨迹数据，比较了预测扭矩和平均测量扭矩之间的RMS误差。这些误差与参考文献［20］中的研究结论类似。因此在多个轨迹下，所识别的动力学参数得到了验证。

表5 激励和验证轨迹下对扭矩预测的RMS误差Tab.5 RMS Error of Torque Prediction Under Excitation and Verification Trajectory

为了验证所提方法的优越性，采用传统的低通可调滤波器估计了测量转矩，利用相同的关节位置、速度和持续激励轨迹的加速度估计了动态参数，转矩预测结果，如图10所示。图中一条实线为测量扭矩，一条虚线为预测扭矩，一条虚线为扭矩误差。RLOSS和可调低通滤波器的预测转矩均方根误差（RMS）比较，如表6所示。可以看出RLOSS在均方根误差方面有更好的表现。

表6 RLOSS和可调低通滤波器的预测转矩均方根误差（RMS）比较Tab.6 RLOSS and Adjustable Low-Pass Filter Predicted Torque Root Mean Square Error（RMS）Comparison

图10 低通滤波器下转矩的比较Fig.10 Comparison of Torque Under Low-Pass Filter

4.5 方法的比较

根据式（23）中所提的目标函数，对计算时间和预测力矩的均方根误差（RMS）进行比较。第一个目标函数是最小二乘（LS）法估计的观测矩阵：

第二个目标函数是基于观测矩阵的：

利用MATLAB中的Fmincon求解器，随机选择J2和J3的优化初始点，求解式（25）中目标函数J2和式（26）中目标函数J3的最小值。使用了625个样本来构建一个观察矩阵W∈R3750×52，使用的计算机配置为英特尔酷睿i7（SMP）、8GB内存和64位操作系统。

计算时间的比较，如表7 所示。表7 给出了计算时间的比较，这表明所提出的目标函数的CPU 计算时间更加迅速，所提目标函数的平均计算时间约为J2的1/16，约为J3的1/19。

表7 计算时间的比较Tab.7 Comparison of Calculation Time

所有三个目标函数的转矩预测RMS 误差的比较，可以看出J1的RMS误差是比较小的，如表8所示。

表8 J1，J2和J3的预测扭矩RMS误差比较Tab.8 Comparison of Predicted Torque RMS Error of J1，J2 and J3

5 结论

以六自由度机器人为研究对象，利用Hadamard不等式提出了一种用于动态参数识别的激励轨迹优化方法。采用逆动力学模型和最小二乘（LS）估计方法估计机械臂的动态参数，通过改进型的傅里叶级数产生持久的激励轨迹，在剔除RSD较大的动力学参数后，保留29个基本动力学参数来描述TX-90机器人的动力学模型。为了验证动力学参数的可靠性，在没有使用参数估计的情况下，使用新轨迹运行机器人来比较扭矩的测量和预测，并将每次优化的计算时间和精度与现有的常用优化方法进行了比较。研究结果表明所提出的目标函数的计算时间得到大幅减少，且能得到准确的估计参数。