含间隙的3K型行星减速器动力学仿真研究

李永聪，袁 森，2，樊战军

（1.贵州大学机械工程学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州理工学院机械工程学院，贵州 贵阳 550003；3.贵州航天天马机电科技有限公司，贵州遵义 563000）

1 引言

行星减速器是导弹发射车转塔的重要组成部件，其传动精度在大惯量、高转速的情况下，对系统控制精度及稳定性有很大影响。

在行星齿轮传动误差影响因素及计算研究上，文献[1]指出了主要影响因素的概率分布规律，基于理论方法对传动误差进行了计算和试验验证；文献[2]对RV减速器传动误差影响因素进行了敏感性分析，得出上级间隙较下级对传动误差影响小，齿槽偏差与轴承间隙对传动误差影响较大；文献[3]利用ADAMS软件对RV减速器进行了动力学仿真，认为外形尺寸误差与偏心误差对传动精度影响最大，且与影响程度传动比直接相关，并进行光栅试验进行了验证。

但以上研究仅讨论了不同间隙误差对传动精度的影响程度，均未从理论上分析不同间隙之间的耦合关系。文献[4-5]提出了行星齿轮各间隙之间存在耦合关系，利用Newmark法进行了数值仿真，得到结果证明转速、间隙和负载对传动精度和稳定性有一定影响，但仅为定性分析，未给出定量区间或数值，且求解方法较为复杂，对实际工程问题的求解将更为困难。

在以上相关研究的基础上，对导弹发射车转塔的减速器进行了动力学建模，并利用ADAMS软件进行了多组动力学仿真，分析了在不同间隙、转速和负载下的减速器动力学响应特性，给出了相关参数取值区间，在工程实践中效果较好。

2 含间隙减速器动力学建模

3k型行星齿轮减速器为研究对象，如图1所示。

图1 3K型行星减速器Fig.1 3K Planetary Reducer

其结构主要包括：太阳轮s、左侧3个大行星齿轮Pi（i=1-3）、大内齿圈R、行星架c、右侧3 个小行星齿轮Pj（j=1-3）小内齿圈R′。其中两级行星轮通过焊接固连为一体，即转速一致。

为建立多间隙耦合的齿轮系统动力学模型提出以下假设：

（1）齿轮系统为平面系统，不考虑轴向运动：

（2）减速器系统为刚性系统：

（3）太阳轮为输入轮，不考虑径向跳动。

在减速器中轴承处存在径向间隙，轮齿间存在齿侧间隙。在啮合过程中，由于振动的存在，轴承处的径向间隙变化会导致实际中心距的变化，进而导致齿侧间隙发生变化。

因此，在考虑行星齿轮内部振动关系前，首先对齿轮的轴承间隙与齿侧间隙耦合关系进行分析。

单对齿轮副的多间隙耦合模型，如图2所示。

图2 多间隙耦合模型Fig.2 Multi-Gap Coupling Model

包括主动齿轮p和从动齿轮g两部分。图中：Obp和Obg—主、从动轮的轴承中心，由于轴承径向间隙的变化，使得主、从动轮的回转中心Orp和Org偏离各自轴承中心。

此时中心距将发生变化，进而影响到齿侧间隙bt的变化，由此体现两种间隙耦合关系。

根据达朗贝尔原理，真实力系与惯性力系构成形式上的平衡力系。参考文献[6]建立的多间隙耦合的单对齿轮动力学模型，即：

式中：I、θ、R、T、m、δ—转动惯量、转角、半径、转矩、质量和位移；F（t）—齿侧啮合力；f（t）—轴承处径向冲击力。

该减速器应用于重载工况，且水平安装，故不考虑齿轮重力的影响。在此基础上建立3K型行星减速器系统动力学模型，如式（2）所示。

式中：角标中s—太阳轮；Pi，j（i，j=1，2，3）—行星轮；r—固定的减速器大齿圈；r′—输出动力的减速器小齿圈；x/y—在两个方向上的分量。

3 虚拟样机模型建立与验证

利用三维建模软件UG建立减速器及与转塔相连的大齿圈（下简称大齿圈）简化三维模型，相关参数，如表1所示。

表1 各齿轮参数表Tab.1 Table of Various Gear Parameters

大齿圈为模拟负载，不对其进行动力学分析。分析模型为简化模型，不考虑外壳、润滑油、减重孔等的影响：各轴承处简化为轴孔配合。导入到ADAMS后，如图3所示。

图3 减速器及负载大齿圈虚拟样机模型Fig.3 Reducer and Load Large Ring Gear Virtual Prototype Model

主要设置为：各齿轮材料均为steel，杨氏模量为（2.07×105）MPa，泊松比为0.29。太阳轮与大齿圈设转动副使其绕各自几何中心定轴转动（无径向跳动），减速器内齿圈r与大地固连，大小行星齿轮分别对应固连，其余各相邻构件均设为力接触，取消重力选项。参考文献[7-9]在前处理中设定轴承径向接触刚度为（1.33×107）N/m，阻尼为50N·s/mm：行星齿轮副啮合刚度为（7.72×107）N/m，阻尼为50N·s/mm，输出端齿轮副啮合刚度为（1.09×106）N/mm，阻尼为50N·s/mm。最大穿透量0.1mm，各齿轮副力指数e=1.3，静摩擦系数0.08，动摩擦系数0.05，静平移速度0.1mm/s，摩擦平移速度10mm/s。理论计算得到传动比为69，设置太阳轮输入转速为50000deg/sec，理论输出转速应为724.64deg/sec。仿真数据，如图4所示。得到输出转速均值为726.61deg/sec，计算得到相对误差为0.27%，证明模型准确可靠，满足仿真要求。

图4 减速器输入/输出转速Fig.4 Reducer Input/Output Speed

4 动力学仿真与结果分析

4.1 间隙对减速器动力学特性的影响

减速器系统内部间隙主要分为轴承处的径向间隙和齿轮副间的齿侧啮合间隙。轴承处间隙可以通过调整轴孔直径进行设置：由于行星齿轮同时存在外啮合和内啮合，无法通过改变中心距进行调整，故而对行星齿轮进行负变位以调整齿侧间隙。分别设置A.无间隙：B.径向间隙0.1mm、齿侧间隙0.1mm：C.径向间隙0.2mm、齿侧间隙0.2mm共3组对照试验。由于大齿圈与发射车转塔通过螺栓连接为整体，故可在上一节模型的基础之上，通过对大齿圈惯性负载进行调整以模拟大负载工况。设置输入转速为30000deg/s，大齿圈质量及转动惯量调整为自身的10倍（下称10倍负载），仿真结果如下。

4.1.1 角速度变化曲线

由图5可知，间隙大小对减速器运转稳定性影响非常明显。随着间隙的增大，输出齿轮转速收敛速度越慢参考图2 及动力学方程（2），可以分析出随着间隙逐渐加大，齿轮活动空间变大，接触力为随位移变化的函数（F=mX¨ +CX˙+KX），所以内部冲击将增大，不规则碰撞次数增加，故而稳定速度随之减慢。

图5 不同间隙下输出齿轮转速变化曲线Fig.5 Output Gear Speed Variation Curve Under Different Clearances

4.1.2 齿侧啮合力变化曲线

不同间隙下输出齿轮齿侧啮合力变化曲线，如图6所示。由图6中可知，间隙对啮合力影响非常明显，3种情况下啮合力平均值分别为2524.91N、44717.36N、97573.40N。无间隙时减速器在0.1s左右进入稳定状态：径向及齿侧间隙为0.1mm时在0.8s左右进入稳定状态：间隙为0.2mm时，减去器在1s内未呈现收敛趋势，显然不能满足实际要求，与（1）结论一致。在10倍惯性负载下，齿侧啮合力始终保持在较高数值，说明减速器内部持续存在高冲击力，这对减速器寿命和精度影响很大，所以轴承径向间隙和齿侧间隙应严格控制在0.2mm以内。

图6 不同间隙下输出齿轮齿侧啮合力变化曲线Fig.6 Output Gear Meshing Force Variation Curve Under Different Clearances

4.2 惯性负载对减速器动力学特性的影响

通过对大齿圈的质量及转动惯量进行调整，分析惯性负载大小对减速器系统动力学响应的影响规律。分别取大齿圈惯性负载为1倍负载（即空载）、5倍负载、10倍负载。其余设置为：轴承处设有0.1mm径向间隙，0.1mm齿侧间隙以模拟工作间隙，驱动为30000°/s恒转速输入、仿真时间1s、仿真步数500步，仿真结果如下。

4.2.1 角速度变化曲线

方向机末端输出齿轮在不同惯性负载下，角速度随时间的变化曲线，反映了其在回转方向上的运动学特性，如图7 所示。由图中可以看出，随着负载变大，启动初始阶段角速度幅值逐渐下降，但收敛速度也随之下降。这说明惯性负载越大，虽然在启动的短时间内会使输出角速度跳动幅度降低，但减速器不平稳运转时间将持续更长。

图7 角速度变化曲线Fig.7 Angular Velocity Curve

4.2.2 齿侧啮合力变化曲线

末端输出齿轮在不同惯性负载下，与大齿圈之间在Y方向上的齿侧啮合力变化曲线，如图8所示。可以看到三种情况下，冲击力均随时间作周期变化，且负载越大周期越长。随着负载加大，起步阶段冲击力明显增加，且持续时间更长。由4.2.1、4.2.2可以得到结论：负载的增加将导致系统稳定性下降，且齿侧啮合力大幅增加。考虑到发射车转塔对精度的要求，在总体设计阶段应尽量减轻转塔部分质量，以提高回转稳定性及回转精度。

图8 齿侧啮合力变化曲线Fig.8 Flank Engagement Force Curve

4.2.3 径向跳动曲线

输出齿轮转动中心相对于轴承中心的运动轨迹，如图9 所示。用于描述齿轮在传动过程中的径向跳动，图中横、纵坐标分别为质心X、Y方向位移。从图中可以看出，齿轮转动中心在启动时刻与轴承中心重合，启动后转子由于离心力的作用向间隙的边缘运动，直到与轴承发生接触碰撞。经过多次碰撞后，转子逐渐稳定在径向间隙的边缘，与轴承处于连续接触状态，同时还会伴有小幅的跳动。随着负载的加大，其转动半径在原有人为设置的间隙基础上逐渐增大，同时逐渐趋近于贴合最大范围运转且更为顺滑。分析原因可知，负载的增加会导致离心力增加，脱齿和齿背冲击减少。变形量增加进而导致输出齿轮振幅变大，但小幅不规则跳动减少，运转趋于平顺。

图9 径向跳动曲线Fig.9 Radial Runout Curve

4.3 转速对减速器动力学特性的影响

发射车转塔根据实际工况，需要在不同的转速下进行方位回转。输入转速分别设置为10000°/s、30000°/s和50000°/s，径向间隙为0.1mm，齿侧间隙为0.1mm、惯性负载为10倍负载，进一步分析转速对减速器的影响。仿真结果如下：

4.3.1 角速度、质心位置变化曲线

不同转速下，输出齿轮转速和质心位置的跳动幅值变化曲线，如图10、图11所示。由图中可以看出，启动阶段角速度跳动幅值没有明显差异，且均在0.1s左右三进入平稳状态：质心位置的跳动幅值也没有明显差异。

图10 输出齿轮角速度曲线Fig.10 Output Gear Angular Velocity with Input Speed Curve

图11 输出齿轮质心径向跳动曲线Fig.11 Output Gear Centroid Radial Runout Curve

4.3.2 齿侧啮合力变化曲线

不同转速下，输出齿轮Y方向齿侧动态啮合力随时间的变化曲线，如图12所示。由图中可以看出，转速越大，启动阶段齿侧动态啮合力越大，但对收敛速度基本没有影响，均在0.1s内进入平稳状态。

图12 输出齿轮齿侧啮合力随输入转速变化曲线Fig.12 Output Gear Side Gear Meshing Force as a Function of Input Speed

对稳定后（0.5～1.0）s内各采样点数值进行对比分析，转速分别为10000°/s、30000°/s、50000°/s时齿侧啮合力均方根值分别对应为2392.0543N、514.3786N、1867.6275N，由图中可以看到稳定后为近似正弦曲线的小幅波动，数值相较于初始阶段均较小，可认为平稳运转阶段转速对齿侧啮合力影响作用很小。

由前文可以得到结论：整体来看，转速变化对减速器系统稳定性及齿侧啮合力影响较小。减速器在高转速时，启动阶段稳定性相对较差且齿侧冲击较大，但在进入平稳运转阶段后稳定性有一定改善，且好于低转速工况。实际工况下减速器输入转速不大于50000°/s，所以在设计控制系统时，可不用着重考虑输入转速。

4.4 减速器工程应用实例

实际减速器内部构造图，经实际测量，各处间隙均不大于0.2mm，如图13所示。实车调试过程中发现，满载工况较空载工况振动冲击明显，但均在可接受范围内：在不同转速工况下运转均较为平稳，未出现明显差别，与仿真结论基本一致。基于以上ADAMS模型与MATLAB进行机电联合仿真调试，所得的控制系统应用到实车上效果良好，说明该含间隙虚拟样机模型能较好地表征减速器动力学特性。

图13 减速器内部构造Fig.13 Reducer Internal Structure

5 结论

（1）从理论上分析了多间隙的耦合关系，建立了考虑多间隙耦合的3K型行星减速器的动力学模型和虚拟样机模型，并证明了准确性：

（2）间隙大小对减速器稳定性及输出齿轮齿侧啮合力影响很大。间隙越大，系统启动阶段稳定性越差、冲击力越大且持续时间越长。当径向间隙和齿侧间隙均达到0.2mm时，输出齿轮的转速及齿侧啮合力将不收敛，不能满足实际要求，应对间隙严格控制：

（3）随着惯性负载的增加，减速器稳定性下降，输出齿轮齿侧冲击明显增加，且对二者影响的时间持续越长。但不规则跳动减少，平顺性有所改善：

（4）转速变化对减速器系统稳定性及齿侧冲击影响较小。在工程运用中，转速可调整范围较大。