差速驱动AGV建模和轨迹跟踪控制研究

郭虎虎，任 芳，庞新宇，金 泽

（1.太原理工大学机械与运载工程学院，山西 太原 030024；2.煤矿综采装备山西省重点实验室，山西 太原 030024）

1 引言

自动导引车辆（Automated Guided Vehicle，AGV）是一种新型的装载运输物料的工业车辆，采用自动或人工方式装装卸货物，并按设定的路径自动行驶至指定地点。AGV 具有自动化、柔性化和准时性等优点，被广泛应用于汽车制造、医药、仓储、化工等领域［1］。轨迹跟踪是AGV 实现运动精确控制和执行任务成败的决定性因素，是AGV研究的核心问题。AGV是一种非线性、强耦合的多输入多输出的复杂系统，在实际应用中AGV 轨迹跟踪会受到轮胎摩擦、路面情况、负载变化等多种外界因素的影响［2］，导致AGV 的行驶路径偏离预先设计的参考轨迹。目前，一些科研工作者针对AGV 轨迹跟踪控制难问题，提出了各种控制算法，如Backstepping 方法［3-4］、自适应控制［4］、滑模控制［5-6］、模糊控制［7］和神经网络控制［8］等。文献［3］针对机器人动力学模型，应用了Lyapunov直接法构造了全局稳定轨迹跟踪控制器，实现了轨迹跟踪，但为未考虑未知干扰对机器人轨迹跟踪的影响。文献［6］针对质心和几何中心存在偏差的移动机器人，基于动力学模型设计了具有全局稳定的自适应滑模控制器，该控制器满足轨迹跟踪要求并消除滑模输入抖振。文献［7］针对差速轮式移动机器人轨迹跟踪存在的问题，提出一种与PD控制相结合的模糊滑模变结构控制，保证了对不确定性和干扰的鲁棒性，并可以有效地跟踪参考轨迹。文献［9］针对移动机器人轨迹跟踪，提出一种基于Backstepping 运动学控制器与双自适应神经滑模动力学控制器，不但可以解决系统不确定性问题，还消除了滑模控制中的抖振现象。考虑到设计的差速驱动AGV将应用于工厂物料运输，在实际工作中会存在多种不确定因素的影响。为了使AGV能够在未知环境中能够具有较高精度的轨迹跟踪控制，参考文献中有关算法，提出并设计了一种与Backstepping控制相结合的自适应模糊滑模控制，用自适应模糊逻辑控制器取代滑模控制器中控制信号不连续的部分，避免了滑模控制输入抖振，滑模控制器保证了系统对参数摄动和外界干扰的鲁棒性。基于Lyapunov稳定性理论，分析证明了差速驱动AGV系统的鲁棒性和跟踪误差收敛性和自适应规律。直线和圆弧轨迹仿真试验结果表明了所设计控制策略可以有效地跟踪参考轨迹，并且可以消除由滑模控制引起的输入抖振。

2 AGV的数学模型

2.1 AGV的运动学模型

只考虑AGV在二维水平面上运动情形，其运动学模型，如图1所示。坐标系XOY为广义坐标系，G是AGV车体的质心点，P是AGV左右驱动轮的中心点，也是AGV车体的几何中心点。取几何中心点P作为AGV 小车在广义坐标系中的参考点，用q=[xP，yP，θ]T表示AGV在广义坐标系中位姿状态矢量。l为质心点与几何中心点之间的距离；b为AGV几何中心点P到驱动轮中心线的距离；2r为AGV小车驱动轮的直径。[v，ω]为AGV车体的线速度和角速度。

图1 AGV结构简图Fig.1 The Structure of AGV

AGV驱动轮在满足纯滚动、无侧向滑动的条件下，AGV小车受到非完整约束，约束方程的形式如下：

由图1 可知，AGV 车体的质心点G和几何中心点P并不重合，由点G和点P的位置关系，求得点P的速度为：

AGV小车以点P作为参考点，将AGV小车的线速度和角速度[v，ω]转化为AGV在广义坐标系下的广义速度则AGV小车的运动学模型可描述为：

2.2 AGV的动力学模型

采用Euler-Lagrange 方法构造差速驱动AGV 的动力学模型，分析其动力学特性对系统稳定性及轨迹跟踪控制性和鲁棒性的影响。根据Euler-Lagrange建模方法，AGV小车的动力学模型可由如下Lagrange方程描述：

式中：AT(q)—AGV以点P为参考点时的约束矢量；λ—附加约束力条件即Lagrange乘子；E(q)—以P为参考点时的输入力矩转换矩阵；τ=[τL，τR]T—AGV左右驱动轮电机控制输入力矩矢量。

将点P的广义坐标和式（3）代入式（4），通过计算并整理，则AGV动力学模型可以描述为：

式中：M(q)—系统以P为参考点时的惯性矩阵，是正定对称矩阵；B(q，)—系统以P为参考点时的向心力和哥氏力矩阵；F(q，)—系统表面摩擦力；G(q)—系统重力项；τd—系统有界干扰。

对AGV运动学模型式（3）两边求微分得：

3 AGV自适应模糊滑模控制器设计

3.1 AGV运动学控制器设计

设AGV的期望位姿矢量为qr=[xr，yr，θr]T，期望速度矢量为Vr=[vr，ωr]T；实际位姿矢量为q=[x，y，θ]T，速度矢量为V=[v，ω]T。则AGV在广义坐标系的轨迹跟踪位姿误差和位姿误差微分方程分别为：

采用Backstepping技术设计AGV系统运动学控制器[6]，选取的Lyapunov候选函数为：

式中：kɑ、kb—正常数。将式（13）代入式（12），得：

当kɑ＞0，kb＞0，且vr＞0 时，由式（11）和式（14）可知L1≥0，≤0。由此根据AGV轨迹跟踪位姿误差模型选取的AGV虚拟控制速度满足Lyapunov稳定性条件，能使AGV的轨迹跟踪位姿误差qe=[xe，ye，θe]T在有限时间内趋向于零。

3.2 AGV动力学控制器设计

选取AGV虚拟控制速度矢量为VC=[vC，ωC]T，定义AGV的速度误差为：

当AGV系统不存在外部干扰并且模型参数确定时，则等效控制律（18）可使系统稳定在滑模面上[7]。考虑到在现实使用环境中，AGV系统模型存在参数摄动和外部干扰的影响，必须考虑引入切换控制律τsw来进行补偿，则等效控制律和切换控制律的联合控制律为：

3.3 自适应模糊滑模控制器设计与稳定性分析

AGV系统的滑模控制律（19）中存在不连续切换特性，将会引起系统抖振。利用模糊系统的万能逼近特性，用模糊控制增益G^(S)来逼近滑模控制中的Ksgn(S)项，来消除抖振现象[8]，这样新的控制律可描述为：

自适应模糊控制器拟采用单值模糊器、中心平均解模糊器、Sugeno型模糊逻辑推理系统和乘积推理机，模糊系统的输入为系统的滑模面S，模糊系统的输出为替换模糊增益G^(S)。根据自适应模糊控制器的设计思想，模糊规则设计为：

模糊系统的输入隶属度函数选择高斯函数，并且其参数是预先确定的[10]，则输入隶属度函数图，如图2所示。其隶属函数可表示为：

图2 输入隶属度函数图Fig.2 Input Membership Function

模糊系统的输出隶属度函数为单值型，模糊系统的输出(si)可表示为：

自适应模糊滑模控制器稳定性可通过Lyapunov函数证明，选取总的Lyapunov 函数为：L=L1+L2。AGV 运动学控制器设计中Lyapunov函数L1已得到证明，现在只需要分析Lyapunov函数L2：

4 仿真分析

仿真试验以图1 所示的差速驱动AGV 为研究对象，利用MATLAB/Simulink 建立AGV 轨迹跟踪控制器的仿真模型，验证所设计的控制算法的有效性。AGV 轨迹跟踪控制器的结构框架，如图3 所示。AGV 系统参数为：m=60kg，JG=24kg·m2，r=0.12m，b=0.25m，l=0.25m；控制器参数为：kɑ=kb=1，γ1=γ2=0.05，c=[-1.5，-1.0，-0.5，0，0.5，1.0，1.5 ]，λ1=λ2=1。仿真过程中，在仿真时间为15s时，AGV系统受到外力冲击（一个矩形脉冲信号，幅值为5，时间宽度为0.5s）。

图3 AGV轨迹跟踪控制器结构框图Fig.3 Block Diagram of AGV Trajectory Tracking Controller

4.1 直线轨迹

选取直线轨迹为参考轨迹，其轨迹方程为：xr(t)=t，yr(t)=t，θr(t)=π/4；参考速度为选取参考轨迹的初始位姿为：xr(0)=0，yr(0)=0，θr(0)=π/4；受控AGV的实际初始位姿为：x(0)=3，y(0)=-1，θ(0)=π。试验仿真结果，如图4所示；在未加入外力冲击前，AGV在初始位姿稳定调节过程中向前移动了约5.6m；当AGV进入稳定状态后，初始位姿误差逐渐收敛到零，实际速度收敛到参考速度，电机控制输入力矩平滑地收敛到稳定状态。当AGV受到外力冲击时，AGV系统实际运行轨迹会在参考轨迹附近波动，大约4.8s后再次实现对参考轨迹的跟踪；其位姿跟踪误差、实际运行速度和电机输出力矩均能够较快的恢复到原来的稳定状态。

图4 直线轨迹仿真曲线Fig.4 Linear Trajectory Simulation Curve

4.2 圆弧轨迹

选取圆弧轨迹为参考轨迹，其轨迹方程为：xr(t)=-sin(t)，yr(t)=cos(t)，θr(t)=t；参考速度为：vr=1m/s，ωr=1rad/s。选取参考轨迹的初始位姿为：xr(0)=0，yr(0)=1，θr(0)=π；受控AGV的实际初始位姿为：x(0)=0，y(0)=0，θ(0)=π/4。

试验仿真结果，如图5所示。在未加入外力冲击前，AGV系统大约在5.4s后进入稳定状态，沿着期望轨迹运行，位姿误差收敛到零，电机控制输入力矩平滑地收敛到稳定状态；当AGV受到外力冲击时，AGV会偏离参考轨迹行驶，位姿误差瞬间增大，大约4.5s后系统达到稳定状态；其位姿跟踪误差、实际运行速度和电机输出力矩均能够较快的恢复到原来的稳定状态。

图5 圆弧轨迹仿真曲线Fig.5 Arc Trajectory Simulation Curve

5 结论

针对四轮式差速驱动AGV 的轨迹跟踪问题，首先建立了AGV 的运动学和动力学模型；其次考虑到其动力学模型中存在系统参数摄动和外部干扰等情况，建立了基于Backstepping技术的运动学控制律和基于滑模控制技术的动力学控制律；虽然滑模控制器能有效的克服系统参数摄动和外部干扰，但会出现抖振现象；利用模糊系统的万能逼近特性，用模糊控制增益来逼近滑模控制中的不连续切换部分，实现自适应调节；最后用Lyapunov稳定性理论证明了所设计的轨迹跟踪控制律的稳定性和跟踪误差的渐进收敛性。仿真试验结果表明，AGV系统的Backstepping运动学控制器和自适应模糊滑模动力学控制器的混合控制器能够有效的跟踪给定的参考轨迹，并且对系统中存在的参数摄动和外部干扰具有较强鲁棒性，同时可以消除滑模控制的输入抖振。