大长细比伸缩臂的非线性位移相似关系研究

时间：2024-07-28

曹旭阳，董想，顾振华

(大连理工大学机械工程学院，辽宁大连 116024)

1 引言

伸缩臂是一种被广泛使用的起重机臂架形式，具有较为显著的优点，主要体现在当作业幅度相对较小时能够获得更高的起重能力，而在相同的起重性能的条件下又能实现更大的作业范围和高度。随着整体起重能力的不断升级，伸缩臂为满足高承载、大作业高度和轻量化等要求，逐渐朝着大长细比结构发展。

伸缩臂变形的位移，或称屈曲，是其力学性能的重要考量因素。大长细比的结构使得其位移分析呈现显著的非线性特征[1]，这极大地增加了伸缩臂分析和设计工作的难度。有限单元法是一种有效的力学问题的数值计算方法，应用有限单元法进行伸缩臂的位移分析[2-6]有助于解决复杂的臂架受力问题。近年来，众多学者的相关研究使得伸缩臂的屈曲位移分析方法日益成熟。文献[7]以非线性屈曲分析的弧长法来研究伸缩起重臂在实际工况下的非线性局部屈曲问题，并对ANSYS软件进行重新开发，得到了悬臂非线性局部屈曲的临界应力解。文献[8]使用Riks方法进行非线性屈曲分析，采用扰动有限元模型来研究由复合制造过程产生的实腹结构稳定性行为的影响。文献[9]引入边界条件和变形协调方程，通过建立不稳定临界状态下悬臂和支柱的弯扭变形微分方程，得到平面外屈曲特征方程的解析表达式。文献[10]建立了横力作业下伸缩起重臂模型的挠度微分方程，在适当的边界条件下，给出了屈曲特征方程的递推公式。文献[11]考虑到与弦连接的腹板构件的约束效应，在分析中将十字型桁架结构合理地简化以获得单个弦的屈曲载荷，通过梁柱理论建立了相应的简化力学模型。文献[12]基于纵横弯曲理论，建立了弹性支撑条件下变截面阶梯柱挠曲微分平衡方程，结合边界条件，得到了任意阶变截面阶梯柱端部挠度及结构失稳特征方程的精确递推表达式。文献[13]为研究影响伸缩臂起重能力的不同因素的作用机理和水平，基于非线性有限元方法建立了多组伸缩臂模型，采用弧长法分析整体过程中的结构非线性变形。文献[14]提出了一种应用临时约束的方法来防止由于大臂倾斜而引起的非收敛问题，应用增量载荷法、增量位移法和牛顿拉夫逊法来评估完整的载荷与挠度响应和准确的临界载荷。文献[15]基于同向旋转方法，定义嵌入坐标系，并给出了子结构单元的节点力平衡方程和切向刚度矩阵。文献[16]运用相似理论对液压机机身结构进行分析，简历相似关系，准确预测了液压机原型的变形量及应力值。文献[17]对伸缩臂进行有限元分析和优化，对原有结构进行了改进，在减轻重量的同时，使伸缩臂各构件的受力更加均匀。

伸缩臂的位移分析是大型臂架类起重机设计工作的重要指标，直接影响到起重机的工作性能及工作安全性。针对大型起重机设计周期长且缺乏系统的产品型谱规划及系列化设计方法和理论基础的现状，应用相似理论，分析起重机伸缩臂的屈曲位移，通过研究伸缩臂位移的相似关系，实现大长细比伸缩臂的非线性位移的快速求解，并以此指导伸缩臂的设计，提高伸缩臂的位移分析和设计工作的效率。

2 伸缩臂屈曲计算的力学基础

2.1 伸缩臂的受力模型

伸缩起重臂的结构形式为嵌套式连接的箱形臂结构。以一个包含3个节臂的伸缩起重臂为例，其结构简图，如图1所示。从基本臂(底节臂)到顶节臂层层嵌套，各节臂的截面形状基本保持不变，随着越靠近顶节截面尺寸逐渐减小，臂节的长度也相应缩短，因而基本臂截面最大，长度也最大。

图1 伸缩起重臂结构简图Fig.1 Structure of the Telescopic Toom

伸缩起重臂主要的受力来源有四个，分别是底节臂上两个铰支点处的力，顶部吊点位置的力和臂架自身所受的重力。在做受力分析计算时，将臂架分别落到变幅平面和回转平面内研究是一种可行而有效的做法。在变幅平面内分析时，可将伸缩臂简化成一个变截面外伸梁模型，底节臂上的支点简化成铰支点；在回转平面内分析时，可将伸缩臂简化成一个变截面悬臂梁模型。

伸缩臂在变幅平面内的受力简图，如图2所示。在变幅平面内，定义臂架底部的铰点为坐标原点，臂架轴线方向向上为x轴正方向，垂直于x轴并向下的方向为y轴正方向。伸缩起重臂受到臂端的轴向力T，横向力P和弯矩Mf，除此之外还受到整体臂架自身重力的影响。

图2 伸缩臂变幅平面受力简图Fig.2 Schematic Diagram of the Deflection Plane of the Telescopic Arm

伸缩臂在回转平面内的受力简图，如图3所示。在回转平面内，定义臂架底部的铰点为坐标原点，臂架轴线方向从臂架底部到臂架顶部的方向为x轴正方向，垂直于x轴并向下的方向为z轴正方向。伸缩起重臂仅受到臂端的侧向力P，轴向力T和弯矩Mh。由于重力方向并不在回转平面内，因而臂架自重的影响只在变幅平面内考虑。

图3 伸缩臂回转平面受力简图Fig.3 Force Diagram of the Rotating Plane of the Telescopic Arm

2.2 伸缩臂在大位移理论下的描述

传统的线性梁的模型属于小变形小位移情况，即一阶理论的应用范畴。一阶理论相较于二阶理论主要的区别是没有考虑轴向力的影响。对于一般的梁模型，若其只受到轴向力作用而不受到任何的横向力的影响的话，则是一个典型的压杆稳定的问题；若其只受到横向力的影响而没有轴向力存在的话，则是纯弯曲问题，不涉及二阶理论。若梁模型同时受到横向力和轴向力的作用，二者均不能忽略，则会产生二阶效应，其计算需要依据二阶理论进行。二阶梁模型受力简图，如图4所示。

图4 二阶梁模型受力简图Fig.4 Force Diagram of the Second-Order Beam Model

一阶理论下弯矩和挠度的计算公式：

二阶理论下弯矩和挠度的计算公式：

式中：M0—一阶理论下梁内部弯矩；Δ0—一阶理论下梁端点挠度；l—梁的总长；E—弹性模量；I—梁身截面的惯性矩；M—二阶理论下梁内部弯矩；Δ—二阶理论下梁端点挠度；K——中间变量，；Tcr——临界轴向力，也称为临界压力，基于压杆稳定理论，Tcr=

对比式(1)和式(2)可知，二阶理论相比于一阶理论最大的不同在于考虑了轴向力产生的弯矩，而这一弯矩的产生与变形有关，变形的增加会加剧二阶效应的影响。相比较而言，显然二阶理论提供的计算方法所能实现的计算精度比一阶理论要高出很多，但是在大位移的情况下，二阶理论也会出现不适用的情况，而此时就需要涉及大位移理论。大位移梁模型受力简图，如图5所示。

图5 大位移梁模型受力简图Fig.5 Stress Diagram of Large Displacement Beam Model

大位移理论下弯矩的计算：

对比图4和图5可知，大位移理论考虑了臂端在x轴方向的位移，而二阶理论没有考虑，这就是这两者最大的区别，这一点也同样体现在两种理论下弯矩的计算公式上。

3 伸缩臂的相似关系建立

3.1 方程分析法推导相似约束关系

应用方程分析法推导相似准则是一种比较有效的方法，此方法使用的前提是列出一个或一组能够用来有效描述物理现象的方程(通常是微分方程)。现有的研究手段仅能就线性的微分方程应用方程分析法推导出相似准则，研究范畴内仅能将方程分析法作为一种辅助手段，推导出一些相似约束关系。

纯弯曲理论的精确的挠度微分方程：

基于大位移理论的臂架内部弯矩的计算：

结合式(4)和式(5)，得：

原型的挠度微分方程形，如式(6)所示。对于模型的各项物理量以上标“＇”表出，得模型的挠度微分方程：

通过相似比将模型中的物理量转换成原型中相应的物理量，则式(7)可改写成：

式中：C1—惯性矩相似比，其数值等于原型产品的惯性矩与模型产品的惯性矩相除之商。其他相似比类似。

假定在臂架设计的过程中选用相同的材料，则关于材料属性的相似比均为1，即：

结合式(6)、式(8)和式(9)，得：

从式(10)还无法总结具体的相似关系，而对于此式，若不补充具体的相似比条件，则已经是最简形式，因此有必要在此处补充新的相似比条件。假定挠度与水平轴位置的相似比是相等的，其实际含义为挠度的大小变化倍数与水平轴变化的倍数相同，其数学描述式如下：

水平轴位置的变化包含了初始状态下臂长的数值，因而有：

将式(12)代入到式(10)，得：

对上式进行一些变化，可得：

对于伸缩臂臂端受到的横向力和轴向力，有：

根据载荷相似的单值条件，模型与原型臂架的仰角被假定成是不变的。结合式(14)和式(15)，得：

值得注意的是，式(16)中非相似比的各变量都是原型系统中的物理量，这也符合以分析原型为基础的相似关系研究思路。

3.2 量纲分析法推导相似准则

量纲分析法是基于量纲齐次原则发展而成的，作为一种推导相似准则的方法操作最为方便，也比较有效，只需选择好能够表征相应现象的合适的物理量就能快速获得其相似准则，并不需要列举任何物理方程，对于那些内部机理尚不清晰，运动规律并未掌握的现象尤为有效。

研究选取在力系统的基本量纲下进行。尽管牵涉到运动分析，但由于臂架系统的各项特性不受时间参数影响，不涉及时间量纲S。完整的反映系统的各物理量及其量纲形式，如表1所示。

表1 伸缩臂模型各物理量及其量纲Tab.1 Physical Quantities of the Telescopic Arm Model and Their Dimensions

对于10个完整构成物理系统的物理量，每个物理量有各自的量纲组成。给这些量纲各自一个指数再以乘积的形式组合到一起：

将上式进行变换，得：

相似准则的推导实际上就是对式(18)求解，由于式(18)的解不唯一，任何一组能满足其关系式的解都可以构成一组相似准则。但实际操作中，选取合适的相似准则形式可以极大地简化后续推导和试验的难度。

将式(18)转换成矩阵形式：

求上式通解，得：

上式中的每个特解各对应一个相似准则，由此可得8个相似准则：

由式(15)，可得：

由于相似准则为不变量，则上式中的角度量θ在相似关系中需保持恒定，即在相似关系研究范围内，原型臂架与模型臂架工作状况下的仰角恒定。这就是载荷相似单值条件中给出仰角相似比等于1的原因。

由式(12)，可知形如∏5和∏6的单项式在原型和模型之间保持不变，这也符合相似准则为不变量的原则。

量纲分析法推导相似准则，简单易操作，以相似准则为不变量的原则可进而推导的一套完整的相似关系。但是量纲分析法所得的相似关系是线性的，是一种近似关系，因相似准则都是单项式的形式，与之对应的相似比关系是线性的。这种线性的相似关系并不是本课题研究所希望得到的结果。

式(21)所列出的8个相似准则中，∏4已由载荷相似单值条件定义其不变量特性成立，此外∏5和∏6已由补充条件式(12)说明其不变量特性。

3.3 相似关系的建立

方程分析法和量纲分析法都是相似准则的推导方法。若提供的方程为一线性方程，则应用方程分析法可以得到和量纲分析法同等的结果。若提供的方程为非线性方程，则无法推导出相似准则，但能得到一组相似比之间的关系式，这是一种非线性的关系。

简单来说，量纲分析法能够推导出相似准则，但所得的相似关系是线性的；方程分析法不能推导出相似准则，但能得到非线性的相似关系，但是不能构成完整的相似关系。以方程分析法推导所得的相似比关系式为核心，从量纲分析法所得的相似准则中选择部分具有明显线性关系的作为相似关系的补充，以此构成完整的同时具有非线性特性的相似关系。

形如式(4)的二阶非线性微分方程的解是三次函数形式，因而δ和l的相似比间存在的函数关系式最多是三阶的，即：

式中：ξ1,ξ2,ξ3,ξ4——待定系数。

将原型的δ和l参数的数值作归零化处理，则：

结合式(23)和式(24)，可得：

将式(23)等式两边对C1求导，得：

将原型的δ和l参数的数值作归零化处理，由式(23)可知Cδ是Cl的高阶无穷小值，可推得：

同上理，进而可得：

至此式(23)可改写为：

将式(29)代入式(16)，得：

假定Cw=Cl=CF=CI=1，即模型与原型完全相同的情况，代入式(30)，可得：

则式(30)可改写成：

上式即为变幅平面内伸缩起重臂单元的位移相似关系表达式，也是其相似设计的基础。此处需要注意，此前所得的局部相似关系式，如式(12)和式(23)，为理论计算过程中给定的初始关系，不应作为应用的依据。而式(32)为最终所得单元位移相似关系表达式，对于具体伸缩臂间相似关系的计算仅以此式为基准。

由于这里的一些推导过程中不可避免地使用了近似替代，所得的相似关系并不是完全精确的理论公式，因而当原型与模型的某项参数的相似比较大时，结果会产生较大偏差。

在回转平面内，伸缩起重臂依然受到臂端轴向力T的作用，但横向上受力变为动载载荷和惯性力以及风载的合力，以P表示这部分力。此时轴向力与横向上的力依旧具有比例关系，则式(16)可改写为：

将式(29)和式(32)代入上式，得：

经典的有限单元法从位移方程出发计算整体位移，将位移相似比关系式代入有限单元法，以单元位移相似比关系替换原有的单元形函数，通过迭代计算可得整体臂架的位移相似关系，利用有限单元法的单元集结方法完成从单元的位移相似关系到整体臂架的位移相似关系的转换。

4 伸缩臂相似关系验证实验

研究安排了实验对所得的位移相似关系进行验证。实验主要验证变幅平面内臂架的挠度与各设计参数间的关系。设计并制造了4组实验模型，均为箱形臂的结构，主体结构相似，臂长和截面尺寸参数不相同。一号实验模型的结构示意图，如图6所示。

图6 实验模型一示意图Fig.6 Schematic Diagram of the Experimental Model

臂架的截面形状为矩形，为四块钢板焊接而成，钢板厚度均选为6毫米，材料为Q345B钢。模型一由三节臂拼接而成，各节臂截面尺寸不同，相互嵌套，在连接处布置有尼龙垫板并以螺栓螺母连接，保证连接处传力平稳。实验模型一具体尺寸参数，如表2所示。

表2 实验模型一尺寸参数Tab.2 Size Parameters of Experimental Model One

其余三组实验模型的结构相比于模型一取消了多节臂拼接的形式，而以恒截面臂形式替代，且后三组模型的臂长相同。这种多组不同截面尺寸的恒截面臂进行对比的实验方案更便于总结截面尺寸变化对力学性能的影响。材料方面仍采用6mm厚的Q345B钢板。其具体尺寸参数，如表3所示。

表3 实验模型二、三、四尺寸参数Tab.3 Experimental Model Second,Third and Fourth Size Parameters

实验中被吊物质量分别选取为1050kg和1680kg，每个实验模型都需按由轻到重的顺序进行两种载荷的测试。臂架的自然状态仰角选为20°和50°，每个实验模型都需按由小仰角到大仰角的顺序进行测试。实验模型实物图，如图7所示。

图7 实验模型Fig.7 Experimental Model

每个实验模型上都安排了三处测量点以安装传感器进行数据测量，测量点均布置在臂架的下表面，传感器置于测量点竖直下方的水平地面上。一号测量点靠近臂架顶端，但仍保持一段距离；二号测量点布置在顶节臂与中间节臂连接的位置，三号测点布置在支撑杆与臂架铰接位置处。传感器将记录下一段时间内测量点到地面的距离，其中一、二号测点是为描述测点位移量，而三号测点进行测距再以反三角函数关系计算臂架变形后的仰角。以仰角、臂长和测点位置信息可推导出臂架的自然状态位置，而一、二测点所测得的数据描述了变形后的位置，前后位置信息对比之下可得出一、二两处测点位置的位移量。实验模型一的测量点位置，如图8所示。

图8 模型一测量点示意图Fig.8 Schematic Diagram of the Measurement Point of Model One

设定工况一下吊物重量为1050kg，小仰角；工况二下吊物重量为1680kg，小仰角；工况三下吊物重量为1050kg，大仰角；工况四下吊物重量为1680kg，大仰角。各实验模型获得的仰角和两处测点位置的位移数据，如表4～表6所示。

表4 模型实测仰角Tab.4 The Measured Elevation Angle of the Model

表5 测点一位移Tab.5 Displacement of Point One

表6 测点二位移Tab.6 Displacement of Point Two

实验数据的对比分析分为3组，依次分别是：模型实验二对比模型实验三，模型实验三对比模型实验四，模型实验一对比模型实验三。均采用较大载荷的工况进行对比。每一对对比分析分为正向对比和反向对比，其区别在于对比实验中以何为原型，又以何为模型。取对比实验中的前者为原型称为正向对比，取后者为原型称为反向对比。每组对比皆包含两种工况下的对比。具体的对比结果，如表7～表8所示。基于表5和表6，直接考量载荷相似因素对于位移相似关系的影响，选择模型一和模型二的实验结果进行这方面的对比。此处规定以小载荷的工作情况为原型的对比称作正向对比，以大载荷的工作情况为原型的对比称作反向对比。对比之下研究所得的相似设计方法产生的误差结果，如表9所示。

表7 测点一位移相似设计方法相对误差Tab.7 Relative Error of Similar Design Method for Point 1 Displacement

表8 测点二位移相似设计方法相对误差Tab.8 Relative Error of Similar Design Method for Point 2 Displacement

表9 相似设计方法关于载荷相似的相对误差Tab.9 Similar Design Methods for Relative Errors of Load Similarity

分析表7～表9可知，相似关系计算与实验结果对比产生的误差数据中，同一实验模型的不同工况的相似对比误差接近，同组对比中的正向对比和反向对比得到的误差也很接近，而模型二与其他模型进行的对比所得的误差较大。由于实验模型的制造和安装过程中的不可控因素较多，而单纯的不同工况的对比仅进行不同载荷的实验，载荷数据可精确测得且基本无其他干扰因素，相同实验模型的不同工况的相似对比误差接近，因而研究所得的相似关系式具有很高的一致性。同组对比中的正向对比和反向对比基于相同的实验数据，同样有比较接近的误差值，再次验证相似关系式的一致性，且说明这种相似关系是相互的。模型二与其他模型进行的对比所得的误差较大，但模型二的不同工况间对比所得误差很低，推测模型二具有一定的制造或安装误差。研究所得的相似关系式具有较好的一致性，整体实验数据推导的误差符合预期。说明课题研究思路正确，所得的相似关系具有一定的可靠性。