过热汽温系统无记忆状态反馈H∞鲁棒预测控制

刘 淼， 王东风， 贾 昊

(华北电力大学 自动化系，河北省发电过程仿真与优化控制工程技术研究中心，河北保定 071003)

火电厂锅炉汽温直接影响全厂的热效率以及过热器管道、汽轮机等设备的安全运行.引起过热汽温变化的干扰因素较多，扰动量较大，并且过热汽温的大迟延、大惯性加大了过热汽温控制的难度[1].目前，大多数发电机组仍采用常规汽温控制系统，如串级汽温控制系统，或具有导前汽温微分信号的双回路控制系统.近年来，许多先进的控制算法在过热汽温系统中得到了广泛应用，如自适应模糊神经网络控制[2]、自适应预测PI控制[3]、非线性广义预测控制[4]、网络化预测控制[5]以及自适应Smith预估补偿[6]等.

预测控制(MPC)也称为滚动时域控制，实现MPC需要计算机承担很大的计算量，但因为具有较高的鲁棒性扩展性[7-8]，其被广泛应用于工业中[9].对于实际的过热汽温系统，不确定性和扰动是普遍存在的问题.在MPC中引入鲁棒控制对不确定性的处理方法，能使被控系统在满足可行性条件下达到渐近稳定，从而有效处理系统模型的不确定性和扰动等问题.此外，许多控制问题可以转化为一个线性矩阵不等式(LMI)系统的可行性问题，或是一个具有LMI约束的凸优化问题[10].因此，可以采用LMI方法对控制系统进行分析和求解[11].

黄鹤等[12]研究了线性时不变(LTI)系统的鲁棒模型预测(RMPC)控制器，采用兼顾了系统的抗干扰能力和闭环控制性能的混合H2/H∞控制方法.该方法可使系统稳定到某一稳定状态，但不能使系统的输出跟踪期望值变化；秦伟伟等[13]针对一类具有输入约束的离散线性不确定时滞系统，提出了一种改进的准Min-Max鲁棒预测控制方法，但由于设计了包含时滞状态的记忆状态反馈控制律，需要在线优化控制量；刘吉臻等[14]将基于LMI方法的非线性时滞系统鲁棒H∞控制技术引入到锅炉再热汽温的状态变量控制中，探讨了一种锅炉再热汽温控制的新方法.

笔者首先将火电厂过热汽温系统在不同负荷下的系统模型组成一个集合，并将该集合近似为一个多包线性不确定系统；然后采用闭环多步控制策略，结合鲁棒预测控制优点和无记忆反馈控制思想提出了基于无记忆反馈控制策略的H∞鲁棒预测控制(HRPC)方法.另外，笔者还研究了具有串级HRPC结构(HRPC-P)的控制器的设计方法，该方法不仅减少了控制器的优化参数，而且降低了对模型精度的要求.最后通过某600 MW火电厂锅炉过热汽温系统的仿真实验结果证明了HRPC-P控制器设计方法的可行性和有效性.

1 问题描述

考虑多包不确定离散系统：

(1)

式中：A(k)为已知的随时间变化的常数矩阵；B、Bw和C为已知的常数矩阵；k为采样时刻；x(k)∈Rn为实时可测状态；u(k)∈Rm、y(k)∈Rl分别为输入和输出；ω(k)∈Rn为外界扰动，[A(k)B(k)]∈Ω，集合Ω={[A1,B1],[A2,B2],…,[AL,BL]}.

系统的输入约束为：

(2)

即

|uj(k+i|k)|≤uj,max,

k≥0,i≥0,j=1,2,…,m

(3)

参考信号yr(k)由参考系统产生：

(4)

式中：xr(k)为参考状态；r(k)为期望输入；Ar为适当维数的Hurwitz矩阵；Br、Cr为适当维数的常数矩阵.

为使式(1)所示的多包不确定离散系统的状态变量跟踪预先设定的参考轨迹，设计线性无记忆反馈控制器：

(5)

式中：xc(k)∈Rn为控制器状态；K1、K2为待求的反馈控制器增益矩阵.

将式(5)所示的无记忆反馈控制器代入式(1)得到闭环系统：

(6)

整理式(5)、式(6)可得到跟踪系统：

(7)

其中，

(8)

2 H∞鲁棒预测控制器设计

2.1 H∞性能指标

对于所提出的无记忆反馈控制策略，选取李雅普诺夫函数：

i=0,…,N-1

(9)

式中：Pi为常数对称阵.当Pi>0，且i>N时，Pi=PN-1.

yT(k+i)y(k+i)+γ2vT(k+i)v(k+i)

(10)

(11)

式中：*为根据矩阵的对称性得到的矩阵子块，如：

(12)

根据上述二次函数，可以用引理1来保证H∞的性能指标.

2.1.1 引理1

i=0,…,N-1

(13)

2.1.2 引理1的证明

将式(10)左右两边从i=0到∞相加求和可得：

(14)

式(14)可写成：

(15)

当x(k)=0时，式(8)所示的性能指标等价于：

(16)

由式(14)可知，如果Wi(k)≤0，那么不等式(16)成立，即H∞的性能要求可以满足.

(17)

应用Schur补性质，将式(17)写成式(18)所示的LMI形式.

(18)

在实际过程中，i的最大取值N表示从当前时刻起之后N步的预测输出逼近期望值，N的长度应该包括对象的主要动态部分.若N取值较小，则快速性好，但稳定性和鲁棒性较差；若N取值较大，则稳定性好，但动态响应慢，且计算时间较长，降低了系统的实时性.因此需选择适当的N值，使系统既能获得所期望的稳定的鲁棒性，又能具有所需的动态快速性.

2.2 约束条件

2.2.1 引理2

对于约束条件，可以参考引理2[15]来处理.如果存在Qi∈R3n×3n和Yi∈R3m×3n(i=0,…,N-1)使引理1成立，且存在对称阵X满足式(19)，则约束条件满足.

j=1,2,…,nm

(19)

2.2.2 引理2的证明

在采样时刻k，考虑式(2)所示的系统输入约束，由式(7)所示的无记忆反馈控制器可以得到：

(20)

|uj(k+i|k)|≤uj,max，

i≥0,j=1,2,…,m

(21)

应用Cauchy Schwarz不等式[15]可得：

(22)

因此，存在对称矩阵X使得：

(23)

式中：Xjj为矩阵X的对角线元素.

综上所述，对于式(7)所示的跟踪系统，由引理1和引理2可以得出无记忆反馈多步H∞鲁棒预测控制算法，在k时刻，求解下列优化问题：

s.t. 式(12),式(19)

2.3 鲁棒稳定性

2.3.1 定理1

2.3.2 定理1的证明

如果该优化问题在k时刻可行，那么存在最优解：

{Q0,L,QN-1,Y0,L,YN-1,X0,L,XN-1,γ(k)}

由于扰动的存在，由引理1和引理2可得，在k+1时刻的优化问题存在可行解：

{Q1,L,QN-1,QN-1,Y1,L,YN-1,YN-1,

X1,L,XN-1,XN-1,γ*(k)}

其中，γ(k+1)=γ*(k).根据控制原理可知γ*(k+1)≤γ(k+1)≤γ*(k).

当扰动消失时，由于Wi(k)≤0，故V(k+1)

3 HRPC-P控制器设计

传统的过热汽温系统采用串级比例积分微分(PID)控制方式时，内回路PID控制器的整定目标是快速消除内扰以及燃烧系统和喷水减温水系统等带来的扰动，起到粗调的作用，不要求无差.因此，常采用比例调节器，将内回路整定为一个快速的随动系统.考虑到简化设计、保证鲁棒稳定以及便于实际应用等，在笔者设计的无记忆状态反馈多步H∞鲁棒预测串级控制方法中，内回路采用比例P调节器，其控制结构如图1所示.

图1 HRPC-P控制结构图

假设过热汽温系统在多个负荷状态下的导前区和惰性区的传递函数已知，则HRPC-P的设计步骤为：

(1)根据系统对快速性及稳定性的要求，选择合适的滚动优化步数N，控制器的可行域随N的增大而增大[11].

(2)优化内环PID控制器，若选择比例控制，则只需优化比例增益δ，使内环系统快速随动.

(3)设置期望值及参考轨迹系统.

(4)在采样时刻k，当i=0时，求解优化问题，得到此时的最优解{Q0,L,QN-1,Y0,L,YN-1,X0,L,XN-1,γ(k)}.

(5)i=i+1,…，N-1，并得到相应的最优解{Q1,L,QN-1,QN-1,Y1,L,YN-1,YN-1,X1,L,XN-1,XN-1,γ*(k)}

(7)令k=k+1，跳转到步骤(4).

4 仿真实验

以某600 MW超临界直流锅炉过热汽温系统作为被控对象，则300 MW、450 MW和600 MW负荷时的传递函数模型[2]分别为：

(24)

(25)

(26)

各传递函数的前半部分为导前区，后半部分为惰性区.选择离散采样时间t=1 s，将上述传递函数模型转化为离散状态空间模型，转化结果见表1.

表1 离散状态空间模型

以G45(s)为例，设置参考系统矩阵：

优化导前区比例控制器参数δ，使内环能够快速随动.观察HRPC-P控制系统输出跟踪参考轨迹yr的情况，并与串级PID控制(PID-P)及动态矩阵串级控制[16](DMC-P)比较控制品质.图2为不同控制器的阶跃响应输出.从图中的局部放大图可以看出，在HRPC-P控制下，系统输出能够较好地跟踪参考轨迹，无超调，并以最快的速度达到稳定；在PID-P控制下，系统上升时间快，但有10%的超调，稳定时间较长；在DMC-P控制下，系统超调较小，但稳定速度最慢.

图3为不同控制器阶跃响应实验对应的控制器输出曲线.从图中的局部放大图可以看出，HRPC-P控制器的调节速度最快，在500 s内就可完成系统的调整，输出的变化范围也较小；PID-P控制器和DMC-P控制器的调节速度都比较缓慢.

图2 不同控制器的阶跃响应输出

接下来进行变负荷运行实验，初始负荷为300 MW，设置参考轨迹系统矩阵Ar、Br，考虑到简化设计以及便于实际应用，在变负荷过程中，参考轨迹系统矩阵的参数保持不变.当t=4 000 s时，负荷为450 MW，当t=8 000 s时，负荷为600 MW，对HRPC-P、PID-P、DMC-P这3种串级控制器的控制效果进行比较，在该仿真实验中，负荷阶跃变化曲线如图4所示，着重考察状态突变情况下各控制器的稳定性、快速性及鲁棒性.图5为变负荷运行时不同控制系统的输出曲线，相应的各控制器输出曲线如图6所示.从图5和图6可以看出，在起始阶跃响应阶段，HRPC-P控制系统的输出表现出了较强的跟踪性和快速的稳定性.滚动优化的HRPC控制器参数分别为K1(30)=[-0.212 8 -0.001 0 0.030 6]和K2(30)=[0.155 9 0.000 1 0 0](Ki(j)表示第i个控制参数在负荷j下的系统稳态值)，控制器输出的调节速度也很快.系统稳定后，当负荷两次发生变化时，HRPC-P控制系统输出有10%～15%的超调，但衰减率φ都在0.85～0.9之间，满足热工系统对控制品质的要求[17](0.75<φ<0.98).HRPC-P控制的稳定速度很快，表现出较强的鲁棒性，相应的HRPC-P控制器输出调节速度也较快，各负荷下HRPC控制器参数稳态值分别为：

图3 不同控制器的输出

图4 负荷变化曲线

图5 变负荷运行时不同控制系统的输出曲线

对于PID-P和DMC-P控制，在初始阶跃响应阶段，若保证与HRPC-P控制有相近的上升速度，那么都会有一定的超调，且达到稳定的时间较长.PID-P控制器的输出范围较大，PID-P和DMC-P的调节速度都比较缓慢.系统稳定后，当负荷发生变化时，PID-P和DMC-P控制器的输出变化依然很慢，这会导致系统调节时间较长.

图6中，HRPC-P控制器的输出表现出了一定的周期性振荡，主要原因有：(1)仿真试验中的负荷是阶跃变化的；(2)负荷变化的跨度偏大，即不同工况下的模型数量不够多.在这2个因素的作用下，HRPC-P控制为了使输出更好地逼近期望值，就必须加快控制器的变化速度.但在实际工程中，负荷的变化往往是以一定的速率逐渐变化的，从而使得HRPC-P控制表现出更强的鲁棒性，控制器输出的周期性振荡也会减小.在实际工程应用中，根据工业过程的情况，需要适当增加不同工况的模型数量，并采用一些适当的方法，在变工况时保证模型的切换更加平稳[18-19]，从而进一步提高HRPC-P的控制效果，也使控制器的输出更加平稳.

图6 变负荷运行时不同控制器的输出曲线

5 结 论

针对火电厂锅炉蒸汽温度干扰因素多、干扰频繁、扰动量大，以及大迟延、大惯性、多模型的特点，在传统PID-P控制、预测控制和鲁棒控制的基础上，提出了针对过热汽温多包线性不确定系统的无记忆状态反馈HRPC，并设计了无记忆状态反馈H∞鲁棒预测串级控制器.该控制器具有较好的控制品质和跟踪性能，并具有较强的鲁棒性.与PID-P和DMC-P控制器相比，HRPC-P控制器的可行性和有效性更高.更重要的是，HRPC-P控制器减少了控制器优化参数的数量，在工程应用中具有一定优势.在今后的研究工作中，还需要根据具体机组的情况，采集现场数据，确定建立模型的数量，对控制算法的进一步实际工程应用进行更深入的研究.

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